§E1.5代数系

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同じ演算記号を用いる集合であっても、結合律、単位元、逆元などの条件が異なれば、その集合が備える代数的構造は異なる。代数系を公理によって分類すると、整数、写像、行列のように外見の異なる対象を、共通する演算の法則に基づいて比較することができる。

1 一つの演算をもつ代数系

定義 1.1.MMを空でない集合とし、∗*をMM上の二項演算とする。

  1. 組(M,∗)(M,*)をマグマ (magma) という。
  2. ∗*が結合的であるとき、(M,∗)(M,*)を半群 (semigroup) という。

本記事では、マグマと半群の台集合が空でないことを課す。空の台集合を許す流儀もある。

定義 1.2. 半群(M,∗)(M,*)に単位元が存在するとき、(M,∗)(M,*)をモノイド (monoid) という。

モノイド(G,∗)(G,*)のすべての元が逆元をもつとき、(G,∗)(G,*)を群 (group) という。さらに∗*が可換であるとき、(G,∗)(G,*)を可換群 (abelian group) という。

定義から、可換群は群であり、群はモノイドであり、モノイドは半群であり、半群はマグマである。逆向きの包含は一般には成り立たない。

例 1.3.

  1. (N≥0,+)(\mathbb N_{\ge0},+)は単位元00をもつ可換モノイドである。11の加法逆元はN≥0\mathbb N_{\ge0}に存在しないので、このモノイドは群ではない。
  2. (Z,+)(\mathbb Z,+)は可換群である。単位元は00であり、aaの逆元は−a-aである。
  3. 正の整数全体Z>0\mathbb Z_{>0}は加法について可換半群であるが、加法単位元をもたないのでモノイドではない。
  4. 集合XXに対して、(End⁡(X),∘)(\operatorname{End}(X),\circ)はモノイドである。単位元は恒等写像である。XXが二つ以上の元をもつ場合、定値写像は逆写像をもたないので、このモノイドは群ではない。
  5. XX上の全単射全体をSym⁡(X)\operatorname{Sym}(X)と書く。全単射の合成は全単射であり、恒等写像と逆写像もSym⁡(X)\operatorname{Sym}(X)に属するので、(Sym⁡(X),∘)(\operatorname{Sym}(X),\circ)は群である。XXが三つ以上の元をもつ場合、相異なる元x,y,z∈Xx,y,z\in Xを取り、xxとyyを入れ替えて他の元を動かさない写像をσ\sigma、yyとzzを入れ替えて他の元を動かさない写像をτ\tauとすると、(σ∘τ)(z)=σ(y)=x(\sigma\circ\tau)(z)=\sigma(y)=xかつ(τ∘σ)(z)=τ(z)=y(\tau\circ\sigma)(z)=\tau(z)=yでありx≠yx\ne yなので、この群は可換群ではない。
  6. S={0,1}S=\{0,1\}上でx∗y=yx*y=yと定める。この演算は結合的であり、任意のe∈Se\in Sは左単位元である。さらに、固定したeeはすべてのx∈Sx\in Sの右逆元である。実際、e∗x=xe*x=xかつx∗e=ex*e=eである。しかし、x≠ex\ne eならばx∗e=e≠xx*e=e\ne xなので、eeは右単位元ではない。
  7. 同じ集合SS上でx∗y=xx*y=xと定める。この演算も結合的であり、任意のe∈Se\in Sは右単位元である。固定したeeはすべてのx∈Sx\in Sの左逆元であるが、eeは左単位元ではない。

例 1.4.S={e,a,b}S=\{e,a,b\}上の二項演算∗*を、次の演算表によって定める。

∗* ee aa bb
ee ee aa bb
aa aa ee aa
bb bb bb ee

eeの行と列から、eeは両側単位元である。e∗e=ee*e=e、a∗a=ea*a=eおよびb∗b=eb*b=eから、各元は自分自身を両側逆元とする。一方

(a∗a)∗b=e∗b=b,a∗(a∗b)=a∗a=e(a*a)*b=e*b=b,\qquad a*(a*b)=a*a=e

でありb≠eb\ne eなので、∗*は結合的でない。したがって(S,∗)(S,*)はマグマであるが半群ではなく、両側単位元とすべての元の両側逆元をもちながら、群ではない。

群の定義では単位元と逆元の等式を左右の両方で要求した。しかし、結合律の下では、片側単位元と同じ向きの片側逆元だけから両側の等式を導くことができる。

定理 1.5.SSを空でない集合とし、∗*をSS上の結合的な二項演算とする。次のいずれかが成り立つならば、(S,∗)(S,*)は群である。

  1. 右単位元eeが存在し、すべてのa∈Sa\in Sがeeに関する右逆元をもつ。
  2. 左単位元eeが存在し、すべてのa∈Sa\in Sがeeに関する左逆元をもつ。

証明.条件 (a)を仮定する。a∈Sa\in Sを任意に取り、a∗b=ea*b=eとなるb∈Sb\in Sを取る。さらにb∗c=eb*c=eとなるc∈Sc\in Sを取る。eeは右単位元なので、結合律により

a=a∗e=a∗(b∗c)=(a∗b)∗c=e∗ca=a*e=a*(b*c)=(a*b)*c=e*c

である。したがって

b∗a=b∗(e∗c)=(b∗e)∗c=b∗c=e.b*a=b*(e*c)=(b*e)*c=b*c=e.

ゆえにbbはaaの左逆元でもある。また

e∗a=(a∗b)∗a=a∗(b∗a)=a∗e=ae*a=(a*b)*a=a*(b*a)=a*e=a

なので、eeは左単位元でもある。aaは任意であったから、eeは両側単位元であり、すべての元が両側逆元をもつ。したがって(S,∗)(S,*)は群である。

条件 (b)に対しては、x⋆y=y∗xx\mathbin{\star}y=y*xと定める。⋆\starは結合的であり、eeは⋆\starの右単位元である。また、∗*に関する左逆元は⋆\starに関する右逆元である。条件 (a)を⋆\starに適用すると(S,⋆)(S,\star)は群になる。x∗y=y⋆xx*y=y\mathbin{\star}xであるから、∗*も同じ単位元と逆元をもつ群である。▨

片側の向きを混ぜると、結合律があっても結論は従わない。実際、例 1.3の第6例は左単位元と右逆元をもち、第7例は右単位元と左逆元をもつが、いずれも群ではない。したがって、混合した向きの条件は群であるための十分条件ではない。

命題 1.6.(G,∗)(G,*)を群とし、eeをその単位元とする。u,v∈Gu,v\in Gに対して

(u∗v)−1=v−1∗u−1,(u−1)−1=u(u*v)^{-1}=v^{-1}*u^{-1},\qquad (u^{-1})^{-1}=u

が成り立つ。

証明.§E1.4 問題 4.3をA=GA=G、a=ua=u、b=vb=vとして適用すると、(u∗v)−1=v−1∗u−1(u*v)^{-1}=v^{-1}*u^{-1}を得る。またu−1∗u=e=u∗u−1u^{-1}*u=e=u*u^{-1}はuuがu−1u^{-1}の左逆元かつ右逆元であることを述べているので、逆元の一意性（§E1.4 命題 2.7）により(u−1)−1=u(u^{-1})^{-1}=uである。▨

通常の群の定義は、結合律、単位元および逆元という複数の条件からなる。積と逆演算だけを用いた一つの等式にも、同じ内容を符号化することができる。次の特徴づけは B. H. Neumann による。

定理 1.7.AAを空でない集合、∗*をAA上の任意の二項演算、a↦a−1a\mapsto a^{-1}をAA上の任意の単項演算とする。次の二条件は同値である。

  1. 任意のw,x,y,z∈Aw,x,y,z\in Aに対して w∗(((y−1∗(w−1∗x))−1∗z)∗(y∗z)−1)−1=x(N)w*\left(\left(\left(y^{-1}*(w^{-1}*x)\right)^{-1}*z\right)*(y*z)^{-1}\right)^{-1}=x \tag{N} が成り立つ。
  2. (A,∗)(A,*)は群であり、与えられた単項演算は各元の群における逆元を与える。

証明.(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。命題 1.6と結合律を順に用いると

((y−1∗(w−1∗x))−1∗z)∗(y∗z)−1=(((w−1∗x)−1∗y)∗z)∗(z−1∗y−1)=(((x−1∗w)∗y)∗z)∗(z−1∗y−1)=(((x−1∗w)∗y)∗(z∗z−1))∗y−1=((x−1∗w)∗y)∗y−1=(x−1∗w)∗(y∗y−1)=x−1∗w\begin{aligned} &\left(\left(y^{-1}*(w^{-1}*x)\right)^{-1}*z\right)*(y*z)^{-1}\\ &=\left(\left((w^{-1}*x)^{-1}*y\right)*z\right)*(z^{-1}*y^{-1})\\ &=\left(\left((x^{-1}*w)*y\right)*z\right)*(z^{-1}*y^{-1}) \\ &=\left(\left((x^{-1}*w)*y\right)*(z*z^{-1})\right)*y^{-1}\\ &=\left((x^{-1}*w)*y\right)*y^{-1}\\ &=(x^{-1}*w)*(y*y^{-1}) =x^{-1}*w \end{aligned}

となる。したがって (N) の左辺は

w∗(x−1∗w)−1=w∗(w−1∗x)=(w∗w−1)∗x=xw*(x^{-1}*w)^{-1}=w*(w^{-1}*x)=(w*w^{-1})*x=x

である。

(1)⇒\Rightarrow(2)の向きでは、単位元、結合律および逆元の性質をあらかじめ仮定することができない。Neumann は左移動、右移動および与えられた単項演算を表す写像を用い、各移動写像が全単射であること、単位元と両側逆元の存在、結合律の順に導いている。この向きは Neumann の原論文の証明に委ねる。□

この結果の適用範囲は、空でない台集合と積・逆の二演算だけをもつ代数系であり、単位元を表す定数を言語に加えた結果ではない。

2 二つの演算をもつ代数系

定義 2.1.RRを集合とし、++と⋅\cdotをRR上の二項演算とする。次の条件をすべて満たすとき、組(R,+,⋅)(R,+,\cdot)を環 (ring) という。

  1. (R,+)(R,+)は可換群である。
  2. 乗法⋅\cdotは結合的であり、乗法単位元11をもつ。
  3. 任意のa,b,c∈Ra,b,c\in Rに対して a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bca(b+c)=ab+ac,\qquad (a+b)c=ac+bc が成り立つ。これらを左右の分配律 (distributive laws) という。

乗法も可換である環を可換環 (commutative ring) という。

環の定義には乗法単位元を含める。また、0=10=1である零環も環に含める。環の台集合には空でないことを改めて課さない。(R,+)(R,+)が群であることから、RRが空でないことが従うためである。

定義 2.2.RRを環とする。非零元a∈Ra\in Rについて、ある非零元b∈Rb\in Rが存在してab=0ab=0またはba=0ba=0となるとき、aaを零因子 (zero divisor) という。

RRが0≠10\ne1である可換環であり、零因子をもたないとき、RRを整域 (integral domain) という。零因子をもたないことは、任意のa,b∈Ra,b\in Rに対してab=0ab=0ならばa=0a=0またはb=0b=0が成り立つことと同値である。

定義 2.3.DDを0≠10\ne1である環とする。DDのすべての非零元が乗法について逆元をもつとき、DDを斜体 (division ring) という。

乗法が可換である斜体を体 (field) という。

可換環は環であり、整域は可換環である。体は可換な斜体であり、斜体は環である。ただし、整域と斜体の間には一般の包含関係はない。整数環は整域であるが斜体ではない。逆に、実数体上の四元数体H\mathbb Hは乗法が可換でない斜体であり、可換環ではないので整域ではない。

例 2.4.

  1. (Z,+,⋅)(\mathbb Z,+,\cdot)は可換環である。零因子をもたず0≠10\ne1なので整域であるが、22は乗法逆元をもたないので体ではない。
  2. (Q,+,⋅)(\mathbb Q,+,\cdot)、(R,+,⋅)(\mathbb R,+,\cdot)および(C,+,⋅)(\mathbb C,+,\cdot)は体である。非零元aaの逆元は1/a1/aである。
  3. Z×Z\mathbb Z\times\mathbb Zに成分ごとの加法と乗法を定めると可換環になる。(1,0)(0,1)=(0,0)(1,0)(0,1)=(0,0)であり、(1,0)(1,0)と(0,1)(0,1)はいずれも非零元なので、この環は整域ではない。

例 2.5. 二元集合F2={0,1}\mathbb F_2=\{0,1\}上に、加法と乗法を次の二つの表で定める。

++ 00 11
00 00 11
11 11 00
⋅\cdot 00 11
00 00 00
11 00 11

どちらの演算も可換であり、結合律は各演算について88通りの三つ組を代入して確かめることができる。(F2,+)(\mathbb F_2,+)は単位元00をもつ可換群であり、各元は自分自身を加法逆元とする。乗法単位元は11である。分配律は、a=0a=0のときa(b+c)a(b+c)とab+acab+acがともに00になり、a=1a=1のときいずれもb+cb+cになるので成り立ち、右分配律は乗法の可換性から従う。唯一の非零元11は自分自身を乗法逆元とし、0≠10\ne1であるから、F2\mathbb F_2は体である。

例 2.6.M2(R)M_2(\mathbb R)を実数を成分とする2×22\times2行列全体とする。成分ごとの加法と通常の行列積により、M2(R)M_2(\mathbb R)は環になる。乗法単位元は単位行列である。行列

A=(0100),B=(0010)A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

について

AB=(1000),BA=(0001)AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

なので、乗法は可換ではない。また

A2=(0000)A^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

でありA≠0A\ne0なので、M2(R)M_2(\mathbb R)には零因子がある。

命題 2.7. 環RRとa,b∈Ra,b\in Rに対して、次が成り立つ。

a0=0=0a,a(−b)=−(ab)=(−a)b,(−a)(−b)=ab.a0=0=0a,\qquad a(-b)=-(ab)=(-a)b,\qquad (-a)(-b)=ab.

証明. 分配律によりa0=a(0+0)=a0+a0a0=a(0+0)=a0+a0である。加法群で両辺に−(a0)-(a0)を加えるとa0=0a0=0を得る。同様に、0a=(0+0)a=0a+0a0a=(0+0)a=0a+0aから0a=00a=0である。

ab+a(−b)=a(b+(−b))=a0=0ab+a(-b)=a(b+(-b))=a0=0なので、a(−b)a(-b)はababの加法逆元である。加法逆元の一意性（§E1.4 命題 2.7）からa(−b)=−(ab)a(-b)=-(ab)である。同じ議論を右分配律へ適用すると(−a)b=−(ab)(-a)b=-(ab)である。最後に、すでに示した等式を二度用いると

(−a)(−b)=−((−a)b)=−(−(ab))(-a)(-b)=-((-a)b)=-(-(ab))

であり、再び§E1.4 命題 2.7により−(−(ab))=ab-(-(ab))=abであるから(−a)(−b)=ab(-a)(-b)=abとなる。▨

命題 2.8. 斜体は零因子をもたない。

証明.DDを斜体とし、a,b∈Da,b\in Dがともに非零であるとする。a≠0a\ne0なのでa−1a^{-1}が存在する。ab=0ab=0とすると、命題 2.7により

b=1b=(a−1a)b=a−1(ab)=a−10=0b=1b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}0=0

となり、b≠0b\ne0に反する。ba=0ba=0とすると、同じく命題 2.7により

b=b1=b(aa−1)=(ba)a−1=0a−1=0b=b1=b(aa^{-1})=(ba)a^{-1}=0a^{-1}=0

となり、これもb≠0b\ne0に反する。したがってab≠0ab\ne0かつba≠0ba\ne0であり、DDの非零元はいずれも零因子ではない。▨

系 2.9. 任意の体は整域である。

証明. 体は定義により斜体であるから、命題 2.8により零因子をもたない。また、体は乗法が可換であり0≠10\ne1を満たす環であるから可換環である。したがって整域である。▨

3 基本例の比較

各公理の役割は、次の例によって区別することができる。

外した公理 残る構造の例 失われる結論
単位元の存在 (Z>0,+)(\mathbb Z_{>0},+) 半群ではあるがモノイドではない
すべての元の逆元 (N≥0,+)(\mathbb N_{\ge0},+) 可換モノイドではあるが群ではない
結合律 例 1.4の演算表 単位元と全元の逆元があっても群ではない
可換律 (Sym⁡(X),∘)(\operatorname{Sym}(X),\circ)、∣X∣≥3\lvert X\rvert\ge3 群ではあるが可換群ではない
乗法可換律 M2(R)M_2(\mathbb R) 環ではあるが可換環ではない
零因子がないこと Z×Z\mathbb Z\times\mathbb Z 可換環ではあるが整域ではない

4 演習

問題 4.1. 整数全体に演算a∗b=a+b+1a*b=a+b+1を定める。(Z,∗)(\mathbb Z,*)が可換群であることを証明し、その単位元とaaの逆元を求めよ。

解答.

整数a,b,ca,b,cに対して

(a∗b)∗c=(a+b+1)+c+1=a+b+c+2=a+(b+c+1)+1=a∗(b∗c)(a*b)*c=(a+b+1)+c+1=a+b+c+2=a+(b+c+1)+1=a*(b*c)

なので結合律が成り立つ。またa∗b=a+b+1=b+a+1=b∗aa*b=a+b+1=b+a+1=b*aなので可換である。e∗a=ae*a=aを満たすにはe+a+1=ae+a+1=a、すなわちe=−1e=-1が必要であり、実際−1-1は両側単位元である。a∗b=−1a*b=-1を満たすbbはa+b+1=−1a+b+1=-1からb=−a−2b=-a-2であり、可換性により両側逆元である。したがって(Z,∗)(\mathbb Z,*)は可換群である。▨

問題 4.2.(M,∗)(M,*)をモノイドとし、eeをその単位元とする。すべてのa∈Ma\in Mがeeに関する右逆元をもつならば、(M,∗)(M,*)は群であることを証明せよ。さらに、群の定義において「すべての元が逆元をもつ」を「すべての元が右逆元をもつ」に置き換えても、定まる代数系が変わらないことを証明せよ。

解答.

モノイドは半群であるから∗*は結合的であり、台集合MMは単位元eeを含むので空でない。eeは両側単位元であるから、とくに右単位元である。仮定により、すべてのa∈Ma\in Mはeeに関する右逆元をもつ。よって定理 1.5 条件 (a)が成り立ち、定理 1.5により(M,∗)(M,*)は群である。

置き換えについては、二つの条件が互いに他を導くことを見る。モノイド(M,∗)(M,*)のすべての元が逆元をもつならば、逆元は右逆元でもあるから、すべての元は右逆元をもつ。逆に、すべての元が右逆元をもつならば、前段落により(M,∗)(M,*)は群であり、群の定義からすべての元が逆元をもつ。したがって二つの条件はモノイドに対して同値であり、いずれを課しても同じ代数系が定まる。▨

5 後続記事との関係

本記事では、マグマ、半群、モノイド、群、可換群、環、可換環、整域、斜体および体を定義し、これらの包含関係、結合的な演算に対する片側条件からの群の判定、および積と逆演算による群の単一公理を扱った。次の記事「準同型と商」では、これらの代数系のあいだで各演算を保つ写像を定義し、演算について閉じた部分集合と、演算と両立する同値関係による商を構成する。部分群、正規部分群、イデアル、既約元および構造定理は、個々の代数系を主題とする後続の単元が扱う。

参考文献

  1. Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, Boston, 2011.群、環、体の標準的な公理と数および行列の基本例を参考にした。
  2. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.一つまたは二つの演算をもつ代数系の包含関係と、各公理の標準的な役割を参考にした。
  3. B. H. Neumann, Another single law for groups, Bulletin of the Australian Mathematical Society 23 (1981), 81–102.空でない集合上の任意の二項演算と任意の単項演算だけを仮定して群を特徴づける四変数の単一公理と、単一公理から通常の群公理を導く証明を参考にした。

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