§E1.23共終数と König の定理

証明.$\lambda$上の恒等写像は$\lambda$への共終写像であるから、$\lambda$への共終写像の定義域となる順序数のうちには$\lambda$自身がある。したがって、$\lambda+1$の元であって$\lambda$への共終写像の定義域となるもの全体は空でない順序数の集合であり、最小元$\delta$をもつ。$\delta$は$\lambda+1$の元であるから$\delta\leq\lambda$である。

$\lambda$への共終写像の定義域となる順序数$\beta$が$\beta<\delta$を満たすとすると、$\beta<\delta\leq\lambda$であるから$\beta$は$\lambda+1$の元であり、$\delta$の最小性に反する。したがって$\delta$は$\lambda$への共終写像の定義域となるすべての順序数のうちで最小であり、(1)と(2)がともに成り立つ。▨

証明.(1)$\operatorname{cf}(\lambda)$は補題 1.2 (1)が与える最小の順序数であるから、補題 1.2 (2)により$\operatorname{cf}(\lambda)\leq\lambda$である。

(2)空でない有限な順序数の集合は最大元をもつ。実際、一元集合についてはその元が最大元であり、$n+1$個の元をもつ集合$D$から一つの元$\gamma$を除いた集合の最大元を$\gamma'$とすると、$\gamma$と$\gamma'$の大きいほうが$D$の最大元である。

$\operatorname{cf}(\lambda)$が自然数$n$に等しいと仮定し、共終写像$f\colon n\to\lambda$の像を$C$とおく。$C$は$n$個以下の元をもつ有限集合である。$C=\emptyset$ならば、$\lambda$は極限順序数であるから$0<\lambda$であり、$0\leq\eta$を満たす$\eta\in C$は存在しないので$f$は共終でない。$C\neq\emptyset$ならば$C$の最大元$\mu$を取る。$\mu\in C\subseteq\lambda$から$\mu<\lambda$であり、$\lambda$は極限順序数であるから$\mu+1<\lambda$である。$f$が共終であることから$\mu+1\leq\eta$を満たす$\eta\in C$があるが、$\eta\leq\mu$に反する。いずれの場合も矛盾するので、$\operatorname{cf}(\lambda)$は自然数ではなく、$\omega\leq\operatorname{cf}(\lambda)$である。

(3)$C$は順序数の集合であるから、「順序数」§E1.16 補題 4.4により$\sup C$は$C$の最小上界である。$C\subseteq\lambda$から$\lambda$は$C$の上界であり、$\sup C\leq\lambda$である。

$C$が共終であるとし、$\sup C<\lambda$と仮定する。$\lambda$は極限順序数であるから$\sup C+1<\lambda$であり、共終性から$\sup C+1\leq\eta$を満たす$\eta\in C$がある。これは$\eta\leq\sup C$に反する。よって$\sup C=\lambda$である。

逆に$\sup C=\lambda$とし、$\xi<\lambda$とする。$\xi$が$C$の上界であるとすると、$\sup C$の最小性から$\lambda=\sup C\leq\xi<\lambda$となって矛盾する。したがって$\xi$は$C$の上界ではなく、$\xi<\eta$を満たす$\eta\in C$がある。とくに$\xi\leq\eta$であるから$C$は共終である。▨

証明.$\delta=\operatorname{cf}(\lambda)$とおき、$\beta<\delta$を満たす順序数$\beta$が$\delta$と等濃であると仮定する。全単射$h\colon\beta\to\delta$と共終写像$f\colon\delta\to\lambda$を取ると、$h$が全射であることから$f\circ h$の像は$f$の像に等しく、$\lambda$において共終である。よって$f\circ h$は$\lambda$への共終写像であり、その定義域は$\beta$であるから、定義 1.3の最小性により$\delta\leq\beta$となる。これは$\beta<\delta$に反する。したがって$\delta$はそれより小さいどの順序数とも等濃でなく、「基数とアレフ」§E1.21 定義 1.1により基数である。▨

証明.§E1.16 補題 4.4により$\lambda$は$\{\lambda_\xi\mid\xi<\beta\}$の最小上界である。$\beta$は極限順序数であるから、各$\xi<\beta$について$\xi+1<\beta$であり、族の単調性により$\lambda_\xi<\lambda_{\xi+1}\leq\lambda$である。とくに各$\lambda_\xi$は$\lambda$の元である。

$\lambda$が極限順序数であることを示す。$\lambda_0<\lambda$であるから$0<\lambda$である。$\lambda=\gamma+1$を満たす順序数$\gamma$があると仮定すると、$\gamma<\lambda$であるから$\gamma$は$\{\lambda_\xi\mid\xi<\beta\}$の上界ではなく、$\gamma<\lambda_\xi$を満たす$\xi<\beta$がある。このとき$\lambda=\gamma+1\leq\lambda_\xi$となり、$\lambda_\xi<\lambda$に反する。したがって$\lambda$は$0$でも後続順序数でもなく、極限順序数である。

$\operatorname{cf}(\lambda)\leq\operatorname{cf}(\beta)$を示す。$\beta$への共終写像$h\colon\operatorname{cf}(\beta)\to\beta$を取り、$i<\operatorname{cf}(\beta)$に対して$k(i)=\lambda_{h(i)}$と定めると、$k$は$\operatorname{cf}(\beta)$から$\lambda$への写像である。$\zeta<\lambda$とすると、$\zeta$は$\{\lambda_\xi\mid\xi<\beta\}$の上界ではないから$\zeta<\lambda_\xi$を満たす$\xi<\beta$があり、$h$の共終性から$\xi\leq h(i)$を満たす$i<\operatorname{cf}(\beta)$がある。族の単調性により$\xi\leq h(i)$から$\lambda_\xi\leq\lambda_{h(i)}$であるから$\zeta\leq k(i)$である。よって$k$は$\lambda$への共終写像であり、定義 1.3の最小性から$\operatorname{cf}(\lambda)\leq\operatorname{cf}(\beta)$である。

$\operatorname{cf}(\beta)\leq\operatorname{cf}(\lambda)$を示す。$\lambda$への共終写像$f\colon\operatorname{cf}(\lambda)\to\lambda$を取る。各$i<\operatorname{cf}(\lambda)$について$f(i)<\lambda$であるから、上と同じ理由で$f(i)<\lambda_\xi$を満たす$\xi<\beta$があり、そのうち最小のものを$g(i)$とおく。$\eta<\beta$とすると、$\lambda_\eta<\lambda$であるから、$f$の共終性により$\lambda_\eta\leq f(i)$を満たす$i<\operatorname{cf}(\lambda)$がある。$g(i)<\eta$であると仮定すると、$g(i)$の定め方から$f(i)<\lambda_{g(i)}$であり、族の単調性により$\lambda_{g(i)}<\lambda_\eta$であるから$f(i)<\lambda_\eta$となって、$\lambda_\eta\leq f(i)$に反する。よって$\eta\leq g(i)$であり、$g$は$\beta$への共終写像である。定義 1.3の最小性から$\operatorname{cf}(\beta)\leq\operatorname{cf}(\lambda)$である。▨

証明.$\delta=\operatorname{cf}(\lambda)$とおき、共終写像$f\colon\delta\to\lambda$を一つ取る。定義域が$\delta$未満の順序数である関数$u$に対して、$u$の値がすべて$\lambda$未満の順序数である場合には

と定め、そうでない場合には$F(u)=0$と定める。$F$は、定義域が$\delta$未満の順序数である各関数に対して集合をただ一つ定めるので、「超限帰納法と超限再帰」§E1.17 定理 2.1により、定義域が$\delta$であって、すべての$\xi<\delta$について$g(\xi)=F(g|\xi)$を満たす関数$g$が存在する。

$\xi<\delta$とし、すべての$\eta<\xi$について$g(\eta)<\lambda$が成り立つと仮定する。このとき$g|\xi$の値はすべて$\lambda$未満の順序数であるから、$g(\xi)$は上の第一の場合の値である。$\xi<\delta=\operatorname{cf}(\lambda)$であるから、定義域$\xi$をもつ写像$\eta\mapsto g(\eta)$は共終写像ではなく、その像は$\lambda$において共終でない。したがって、ある$\zeta<\lambda$が存在して、すべての$\eta<\xi$について$\zeta\leq g(\eta)$が成り立たない。すなわち$g(\eta)<\zeta$、言い換えれば$g(\eta)+1\leq\zeta$である。よって

であり、$f(\xi)<\lambda$とあわせて$g(\xi)<\lambda$を得る。§E1.17 定理 1.1により、すべての$\xi<\delta$について$g(\xi)<\lambda$である。したがって$g$は$\delta$から$\lambda$への写像である。

$\eta<\xi<\delta$とすると、$g(\xi)$の定め方から$g(\eta)+1\leq\sup_{\eta'<\xi}(g(\eta')+1)\leq g(\xi)$であり、$g(\eta)<g(\xi)$である。また各$\xi<\delta$について$f(\xi)\leq g(\xi)$であるから、$\zeta<\lambda$に対して$f$の共終性から$\zeta\leq f(\xi)$を満たす$\xi<\delta$を取ると$\zeta\leq g(\xi)$である。よって$g$の像は$\lambda$において共終である。▨

証明.$\kappa$を無限基数とする。$\kappa$は無限であるから$\kappa\neq0$である。$\kappa=\alpha+1$を満たす順序数$\alpha$があると仮定すると、$\alpha<\kappa$であるから§E1.22 補題 3.1により$\alpha+1<\kappa$となり、$\kappa<\kappa$を得て矛盾する。したがって$\kappa$は$0$でも後続順序数でもなく、極限順序数である。▨

証明.$\delta=\operatorname{cf}(\lambda)$とおく。命題 1.6と命題 1.5 (2)により$\delta$は無限基数であり、補題 1.10により極限順序数であるから、$\operatorname{cf}(\delta)$が定まる。$\beta=\operatorname{cf}(\delta)$とおき、$\delta$への共終写像$h\colon\beta\to\delta$と、補題 1.9が与える狭義単調な共終写像$g\colon\delta\to\lambda$を取る。

$\zeta<\lambda$とする。$g$の共終性から$\zeta\leq g(\xi)$を満たす$\xi<\delta$があり、$h$の共終性から$\xi\leq h(i)$を満たす$i<\beta$がある。$g$は狭義単調であるから$\xi\leq h(i)$より$g(\xi)\leq g(h(i))$であり、$\zeta\leq g(h(i))$である。よって$g\circ h$は$\lambda$への共終写像であり、その定義域は$\beta$であるから$\delta=\operatorname{cf}(\lambda)\leq\beta$である。一方命題 1.5 (1)を$\delta$に適用すると$\beta=\operatorname{cf}(\delta)\leq\delta$である。したがって$\beta=\delta$である。▨

証明.命題 1.6と命題 1.5 (2)により$\operatorname{cf}(\lambda)$は無限基数であり、命題 1.11により$\operatorname{cf}(\operatorname{cf}(\lambda))=\operatorname{cf}(\lambda)$であるから、定義 2.1により正則基数である。▨

証明.補題 1.10により$\theta$は極限順序数である。$A\subseteq\theta$に対して$\theta$は$A$の上界であるから、§E1.16 補題 4.4により$\sup A\leq\theta$である。

(1)$\Rightarrow$(2)$\theta$を正則基数とし、$A\subseteq\theta$が$\lvert A\rvert<\theta$を満たすとする。$\sup A=\theta$と仮定すると、命題 1.5 (3)により$A$は$\theta$において共終である。§E1.21 定理 2.2により全単射$h\colon\lvert A\rvert\to A$を取ると、$h$を$\theta$への写像とみなしたものの像は$A$であるから、$h$は$\theta$への共終写像である。よって定義 1.3の最小性から$\operatorname{cf}(\theta)\leq\lvert A\rvert<\theta$となり、$\theta$が正則であることに反する。したがって$\sup A<\theta$である。

(2)$\Rightarrow$(1)$\theta$が正則基数でないと仮定すると$\delta=\operatorname{cf}(\theta)<\theta$である。共終写像$f\colon\delta\to\theta$の像を$A$とおく。§E1.8 補題 5.9を整列集合$\delta$と写像$f$に適用すると、像$A$から$\delta$への単射が得られるから、§E1.21 命題 2.5により$\lvert A\rvert\leq\lvert\delta\rvert$である。$\lvert\delta\rvert\leq\delta<\theta$であるから$\lvert A\rvert<\theta$である。一方$A$は$\theta$において共終であるから命題 1.5 (3)により$\sup A=\theta$となり、(2)に反する。▨

証明. 集合$S=\{\lvert A_i\rvert\mid i<\delta\}$は$\theta$の部分集合である。§E1.8 補題 5.9を整列集合$\delta$と写像$\delta\to\theta, i\mapsto\lvert A_i\rvert$に適用すると、その像$S$から$\delta$への単射が得られるから、§E1.21 命題 2.5により$\lvert S\rvert\leq\lvert\delta\rvert\leq\delta<\theta$である。命題 2.3 (1)$\Rightarrow$(2)により

である。

各$i<\delta$について$\lvert A_i\rvert\leq\mu$であり、§E1.21 定理 2.2が与える全単射$A_i\to\lvert A_i\rvert$と包含写像$\lvert A_i\rvert\to\mu$の合成は単射である。したがって$A_i$から$\mu$への単射の全体は空でなく、選択公理（§E1.20 定理 2.1 (1)）により、各$u_i\colon A_i\to\mu$が単射である族$(u_i)_{i<\delta}$が定まる。$x\in\bigcup_{i<\delta}A_i$に対して$x\in A_i$を満たす最小の$i<\delta$を$i(x)$とおき、

と定める。$v(x)=v(y)$とすると$i(x)=i(y)$であり、$u_{i(x)}$が単射であることから$x=y$である。よって$v$は$\bigcup_{i<\delta}A_i$から$\delta\times\mu$への単射であり、§E1.21 命題 2.5と§E1.22 定義 1.1により

である。

$\lvert\delta\rvert\leq\delta<\theta$かつ$\lvert\mu\rvert\leq\mu<\theta$である。$\lvert\delta\rvert$と$\lvert\mu\rvert$の一方が$0$ならば積は$0$であり、$\theta$は無限であるから結論を得る。ともに$0$でなく、ともに有限ならば積も有限であり、同じく結論を得る。ともに$0$でなく、少なくとも一方が無限ならば、大きいほうを$\nu$とおくと$\nu$は無限基数であり、§E1.22 系 3.3により$\lvert\delta\rvert\cdot\lvert\mu\rvert=\nu$である。$\nu<\theta$であるから結論を得る。▨

証明.(1)を示す。$\lambda$が正則基数である場合、$\operatorname{cf}(\lambda)=\lambda$であるから$\lvert I\rvert<\lambda$であり、§E1.21 定理 2.2 (2)が与える全単射$\lvert I\rvert\to I$によって族を順序数$\lvert I\rvert$で添字づけ直し、定理 2.4を適用すれば結論を得る。以下、$\lambda$は特異基数であるとする。このとき$\operatorname{cf}(\lambda)<\lambda$であり、命題 1.5 (2)により$\omega\leq\operatorname{cf}(\lambda)$であるから$\omega<\lambda$である。

$S=\{\lvert A_i\rvert\mid i\in I\}$とおくと、$S$は$\lambda$の部分集合である。$i\mapsto\lvert A_i\rvert$は$I$から$S$への全射であるから、§E1.20 系 2.4 (2)により単射$S\to I$が存在し、§E1.21 命題 2.5 (1)により$\lvert S\rvert\leq\lvert I\rvert<\operatorname{cf}(\lambda)$である。$\mu=\bigcup S$とおくと、§E1.21 命題 1.2 (5)により$\mu$は基数であって$S$の最小上界であり、$\lambda$が$S$の上界であるから$\mu\leq\lambda$である。$\mu=\lambda$と仮定すると、命題 1.5 (3)により$S$は$\lambda$において共終である。§E1.21 定理 2.2 (2)が与える全単射$\lvert S\rvert\to S$を$\lambda$への写像とみなしたものは像$S$をもつから、定義 1.1により定義域$\lvert S\rvert$をもつ$\lambda$への共終写像である。よって定義 1.3の最小性により$\operatorname{cf}(\lambda)\leq\lvert S\rvert$となり、$\lvert S\rvert<\operatorname{cf}(\lambda)$に反する。ゆえに$\mu<\lambda$である。

三つの基数$\lvert I\rvert$、$\mu$、$\aleph_0$のうち最大のものを$\nu$とする。$\lvert I\rvert<\operatorname{cf}(\lambda)<\lambda$、$\mu<\lambda$、$\aleph_0=\omega<\lambda$であるから$\nu<\lambda$であり、$\nu$は無限基数である。$\lvert I\rvert\leq\nu$であり、各$i\in I$について$\lvert A_i\rvert\in S$であるから$\lvert A_i\rvert\leq\mu\leq\nu$である。ゆえに§E1.22 補題 3.7により$\bigl\lvert\bigcup_{i\in I}A_i\bigr\rvert\leq\nu<\lambda$である。これで(1)は示された。

(2)を示す。すべての$i\in I$について$\lvert S_i\rvert<\lambda$であると仮定すると、(1)により$\lvert S\rvert<\lambda$となり、$\lvert S\rvert=\lambda$に反する。したがって$\lvert S_i\rvert<\lambda$でない$i\in I$が存在する。$S_i\subseteq S$であるから§E1.21 命題 2.5 (1)により$\lvert S_i\rvert\leq\lambda$であり、§E1.21 命題 1.2 (1)により$\lvert S_i\rvert=\lambda$である。▨

証明.§E1.21 定義 3.4により$\kappa^{+}=\hbar(\kappa)$であり、§E1.21 定理 3.1 (2)により$\kappa^{+}$は基数、§E1.21 系 3.3により$\kappa<\kappa^{+}$である。$\kappa$は無限基数であるから§E1.21 命題 4.2 (4)により$\omega=\aleph_0\leq\kappa<\kappa^{+}$であり、$\omega\subseteq\kappa^{+}$であるから$\kappa^{+}$は無限基数である。$\omega<\kappa^{+}$であるから§E1.21 命題 1.2 (4)により$\kappa^{+}$から$\omega$への単射は存在せず、$\kappa^{+}$は非可算である。

$A\subseteq\kappa^{+}$を$\lvert A\rvert<\kappa^{+}$を満たす部分集合とする。$\lvert A\rvert$は基数であり、$\kappa<\lvert A\rvert$であるとすると§E1.21 系 3.3により$\kappa^{+}\leq\lvert A\rvert$となって矛盾するから、§E1.21 命題 1.2 (1)により$\lvert A\rvert\leq\kappa$である。各$\alpha\in A$について$\alpha<\hbar(\kappa)$であるから、§E1.21 定理 3.1における$\hbar(\kappa)$の最小性により$\alpha$から$\kappa$への単射が存在し、§E1.21 命題 2.5 (1)と§E1.21 定理 2.2 (3)により$\lvert\alpha\rvert\leq\lvert\kappa\rvert=\kappa$である。ゆえに§E1.22 補題 3.7を$\mu=\kappa$と族$(\alpha)_{\alpha\in A}$に適用すると$\bigl\lvert\bigcup A\bigr\rvert\leq\kappa=\lvert\kappa\rvert$であり、§E1.21 命題 2.5 (1)により$\bigcup A$から$\kappa$への単射が存在する。§E1.16 補題 4.4により$\bigcup A$は順序数であって$\sup A=\bigcup A$であるから、§E1.21 定理 3.1 (1)により$\sup A=\bigcup A<\hbar(\kappa)=\kappa^{+}$である。したがって命題 2.3 (2)$\Rightarrow$(1)により$\kappa^{+}$は正則基数である。▨

証明.§E1.21 定義 4.1により$\aleph_\omega$は族$(\aleph_n)_{n<\omega}$の上限であり、「基数とアレフ」§E1.21 命題 4.2 (2)により$m<n<\omega$ならば$\aleph_m<\aleph_n$である。$\omega$は極限順序数であるから、補題 1.7により$\aleph_\omega$は極限順序数であって$\operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\operatorname{cf}(\omega)$であり、例 1.8の$\operatorname{cf}(\omega)=\omega$とあわせて$\operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\omega$である。

§E1.21 定義 4.1の$\aleph_0=\omega$と§E1.21 命題 4.2 (2)により$\omega=\aleph_0<\aleph_\omega$であるから$\operatorname{cf}(\aleph_\omega)<\aleph_\omega$である。§E1.21 命題 4.2 (1)により$\aleph_\omega$は無限基数であるから、定義 2.1により$\aleph_\omega$は特異基数である。▨

証明.(1)§E1.16 補題 4.4により$\sup A$は順序数であり、和集合$\bigcup A$に等しい。$A=\emptyset$ならば$\sup A=0$であり、有限集合として高々可算である。

$A\neq\emptyset$とする。$A$は高々可算であるから、「等濃度と可算性」§E1.18 定理 3.3により全射$e\colon\mathbb N_{\geq0}\to A$が存在する。各$e(n)$は$A$の元であるから高々可算な集合であり、§E1.20 定理 4.6の可算選択公理のもとで§E1.18 定理 6.3 (2)を族$(e(n))_{n\in\mathbb N_{\geq0}}$へ適用すると、$\bigcup_{n\in\mathbb N_{\geq0}}e(n)=\bigcup A$は高々可算である。

(2)$n\mapsto\alpha_n$は$\mathbb N_{\geq0}$から$A=\{\alpha_n\mid n<\omega\}$への全射であるから、§E1.18 定理 3.3により$A$は高々可算であり、(1)により$\sup A$は高々可算である。さらに$\alpha_0\leq\sup A$、すなわち$\alpha_0\subseteq\sup A$であり、$\alpha_0$は可算であって無限であるから$\sup A$も無限である。したがって§E1.18 定理 3.3により$\sup A$は可算である。▨

証明.§E1.21 定理 5.1により$\omega_1$は非可算な基数であり、補題 1.10により極限順序数である。命題 1.5 (1)により$\operatorname{cf}(\omega_1)\leq\omega_1$であるから、$\delta=\operatorname{cf}(\omega_1)<\omega_1$と仮定して矛盾を導く。

共終写像$f\colon\delta\to\omega_1$を取り、その像を$C$とおく。$\delta<\omega_1$であるから§E1.21 定理 5.1により$\delta$は高々可算な集合であり、§E1.18 補題 3.5により$C$は高々可算である。$C$の元は$\omega_1$未満の順序数であるから、ふたたび§E1.21 定理 5.1により高々可算である。よって定理 2.9 (1)により$\sup C$は高々可算な順序数であり、§E1.21 定理 5.1により$\sup C<\omega_1$である。一方$C$は$\omega_1$において共終であるから、命題 1.5 (3)により$\sup C=\omega_1$である。これは矛盾であるから$\operatorname{cf}(\omega_1)=\omega_1$であり、定義 2.1により$\omega_1$は正則基数である。▨

証明. 各$i\in I$について$A_i$から$B_i$への全単射の全体は空でないから、選択公理（§E1.20 定理 2.1 (1)）により、各$b_i\colon A_i\to B_i$が全単射である族$(b_i)_{i\in I}$が定まる。写像

は$\bigcup_{i\in I}(A_i\times\{i\})$から$\bigcup_{i\in I}(B_i\times\{i\})$への写像であり、族$(b_i^{-1})_{i\in I}$から同じ形で定まる写像がその逆写像であるから、全単射である。また写像

は$\prod_{i\in I}A_i$から$\prod_{i\in I}B_i$への写像であり、同様に族$(b_i^{-1})_{i\in I}$から定まる写像を逆写像にもつので全単射である。▨

証明.$\lvert A_0\rvert=\kappa_0$と$\lvert A_1\rvert=\kappa_1$を満たす代表$A_0,A_1$を取ると、$\coprod_{i\in\{0,1\}}A_i=(A_0\times\{0\})\cup(A_1\times\{1\})$であり、これは§E1.22 定義 1.1が和に用いる互いに素な和と同じ集合である。また、$\prod_{i\in\{0,1\}}A_i$の元である族$f$に対する対応$f\mapsto(f(0),f(1))$は、$\prod_{i\in\{0,1\}}A_i$から$A_0\times A_1$への全単射である。実際、$(x,y)\in A_0\times A_1$に対して、$0$で値$x$を取り$1$で値$y$を取る$\{0,1\}$上の族を対応させると、これが逆写像になる。したがって§E1.22 定義 1.1の和と積に一致する。▨

証明. 代表として$A_i=\kappa$（$i\in I$）を取る。§E1.22 命題 1.3 (3)により、$\prod_{i\in I}A_i$と写像集合$\kappa^I$のあいだに全単射が存在し、その濃度は$\lvert\kappa\rvert^{\lvert I\rvert}$である。$\kappa$は基数であるから$\lvert\kappa\rvert=\kappa$であり、結論を得る。▨

証明. 各$x\in\bigcup_{i\in I}A_i$に対して、$x\in A_i$を満たす$i\in I$の全体は空でない。選択公理（§E1.20 定理 2.1 (1)）によりこの族の選択関数$c$を取ると、$x\mapsto(x,c(x))$は$\bigcup_{i\in I}A_i$から$\coprod_{i\in I}A_i$への写像であり、第一成分を比べることにより単射である。§E1.21 命題 2.5と定義 3.2により結論を得る。▨