Dedekind–MacNeille 完備化 | 数学の基礎

1 閉包と完備束

定義 1.1. poset $(P,\leq)$ と部分集合 $A\subseteq P$ に対して

A^u=\{p\in P\mid \forall a\in A,\ a\leq p\}, \qquad A^l=\{p\in P\mid \forall a\in A,\ p\leq a\}

と定める。 $A^u$ を $A$ の上界集合 (set of upper bounds)、 $A^l$ を $A$ の下界集合 (set of lower bounds) という。また、 $(A^u)^l$ を $A^{ul}$ 、 $(A^l)^u$ を $A^{lu}$ と書く。

補題 1.2. $P$ を poset とする。任意の $A,B\subseteq P$ に対して次が成り立つ。

$A\subseteq B$ ならば $B^u\subseteq A^u$ かつ $B^l\subseteq A^l$ である。
$A\subseteq A^{ul}$ 。
$A\subseteq B$ ならば $A^{ul}\subseteq B^{ul}$ 。
$(A^{ul})^{ul}=A^{ul}$ 。
$A^{ulu}=A^u$ 。
$A^{ul}$ は下方集合である。

証明. $A\subseteq B$ と $p\in B^u$ を取る。各 $a\in A$ は $B$ に属するので $a\leq p$ であり、 $p\in A^u$ となる。下界集合についても同じ議論が成り立つ。

$a\in A$ と $q\in A^u$ を取ると $a\leq q$ であるから、 $a\in(A^u)^l=A^{ul}$ である。よって $A\subseteq A^{ul}$ である。

$A\subseteq B$ とする。(1)から $B^u\subseteq A^u$ であり、この包含に同じ項を適用すると $A^{ul}\subseteq B^{ul}$ を得る。

(2)から $A^{ul}\subseteq(A^{ul})^{ul}$ を得る。また、 $A\subseteq A^{ul}$ に上界集合を取ると $A^{ulu}\subseteq A^u$ となる。一方、 $q\in A^u$ と $x\in A^{ul}$ に対して、 $x$ は $A$ のすべての上界以下であるから $x\leq q$ である。ゆえに $q\in A^{ulu}$ であり、 $A^{ulu}=A^u$ となる。両辺に下界集合を取ると $(A^{ul})^{ul}=A^{ul}$ を得る。

$x\in A^{ul}$ 、 $y\leq x$ および $q\in A^u$ を取ると $y\leq x\leq q$ であるから、 $y\in A^{ul}$ である。よって $A^{ul}$ は下方集合である。▨

定義 1.3 (Dedekind–MacNeille 完備化). 写像

\mathcal P(P)\longrightarrow\mathcal P(P), \qquad A\longmapsto A^{ul}

をDedekind–MacNeille 閉包 (Dedekind–MacNeille closure) という。 $A=A^{ul}$ を満たす部分集合をDedekind–MacNeille 切断 (Dedekind–MacNeille cut) という。切断全体

\operatorname{DM}(P)=\{A\subseteq P\mid A=A^{ul}\}

を包含関係で順序づけた poset を、 $P$ のDedekind–MacNeille 完備化 (Dedekind–MacNeille completion) という。

定理 1.4. $P$ を poset とし、 $\operatorname{DM}(P)$ を定義 1.3によって定める。 $\operatorname{DM}(P)$ は完備束である。任意の族 $\mathcal A\subseteq\operatorname{DM}(P)$ に対して

\bigwedge\mathcal A=\bigcap_{A\in\mathcal A}A, \qquad \bigvee\mathcal A=\left(\bigcup_{A\in\mathcal A}A\right)^{ul}

が成り立つ。空の族の共通部分は $P$ とする。

証明. $\mathcal A\neq\emptyset$ とし、 $M=\bigcap_{A\in\mathcal A}A$ とおく。補題 1.2 (2)から $M\subseteq M^{ul}$ である。各 $A\in\mathcal A$ について $M\subseteq A$ なので、閉包の単調性から $M^{ul}\subseteq A^{ul}=A$ となる。ゆえに $M^{ul}\subseteq M$ であり、 $M$ は切断である。共通部分の定義により、 $M$ は $\mathcal A$ の最大下界である。 $\mathcal A=\emptyset$ の場合には $M=P$ であり、 $P^{ul}=P$ なので同じ結論が成り立つ。

$J=(\bigcup_{A\in\mathcal A}A)^{ul}$ とおく。閉包の冪等性から $J$ は切断である。各 $A\in\mathcal A$ について $A\subseteq J$ なので $J$ は上界である。切断 $C$ が $\mathcal A$ の上界ならば $\bigcup_{A\in\mathcal A}A\subseteq C$ であり、閉包の単調性から

J\subseteq C^{ul}=C

となる。ゆえに $J$ は最小上界である。この議論は空の族にも適用でき、その場合には $J=\emptyset^{ul}$ となる。▨

注意 1.5 (空な演算と端点). $\operatorname{DM}(P)$ の最大元は $P$ 、最小元は $\emptyset^{ul}$ である。 $P$ に最小元 $0$ が存在すれば $\emptyset^{ul}=\{0\}$ であり、 $P$ に最小元が存在しなければ $\emptyset^{ul}=\emptyset$ である。したがって、完備化は空な結びと空な交わりに対応する端点も備える。

問題 1.6. $P=\{a,b\}$ に、 $a\leq a$ と $b\leq b$ だけが成り立つ半順序を入れる。各 $A\subseteq P$ について $A^{ul}$ を計算し、 $\operatorname{DM}(P)$ を求めよ。

解答.

$\emptyset^u=P$ であり、 $a$ と $b$ の両方以下である元は存在しないため、 $\emptyset^{ul}=\emptyset$ である。 $\{a\}^u=\{a\}$ かつ $\{a\}^l=\{a\}$ なので $\{a\}^{ul}=\{a\}$ である。同様に $\{b\}^{ul}=\{b\}$ である。 $P^u=\emptyset$ であり、空な全称条件から $P^{ul}=P$ となる。したがって

\operatorname{DM}(P)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},P\}=\mathcal P(P).

主下方集合 $\{a\}$ と $\{b\}$ に、交わり $\emptyset$ と結び $P$ が加わっている。▨

2 埋め込みと二重稠密性

定義 2.1. $p\in P$ に対して

\mathord\downarrow p=\{x\in P\mid x\leq p\}, \qquad \mathord\uparrow p=\{x\in P\mid p\leq x\}

と定める。 $\mathord\downarrow p$ を $p$ の主下方集合 (principal lower set)、 $\mathord\uparrow p$ を $p$ の主上方集合 (principal upper set) という。

命題 2.2. $P$ を poset とする。写像

\eta\colon P\longrightarrow\operatorname{DM}(P), \qquad \eta(p)=\mathord\downarrow p

は順序埋め込みである。

証明. $\{p\}^u=\mathord\uparrow p$ である。 $x\in(\mathord\uparrow p)^l$ ならば、とくに $p\in\mathord\uparrow p$ なので $x\leq p$ である。逆に $x\leq p$ ならば、 $p\leq y$ を満たすすべての $y$ に対して $x\leq y$ となる。したがって

\mathord\downarrow p=\{p\}^{ul}

であり、 $\mathord\downarrow p$ は切断である。

$p\leq q$ ならば $\mathord\downarrow p\subseteq\mathord\downarrow q$ である。逆にこの包含が成り立てば、 $p\in\mathord\downarrow p$ から $p\in\mathord\downarrow q$ 、すなわち $p\leq q$ を得る。よって $\eta$ は順序を保存し反映する。▨

定義 2.3. $e\colon P\to L$ を完備束 $L$ への順序埋め込みとする。すべての $x\in L$ について

x=\bigvee\{e(p)\mid e(p)\leq x\}

が成り立つとき、 $e(P)$ は $L$ で結び稠密 (join-dense) であるという。また、すべての $x\in L$ について

x=\bigwedge\{e(p)\mid x\leq e(p)\}

が成り立つとき、 $e(P)$ は $L$ で交わり稠密 (meet-dense) であるという。両方が成り立つことを二重稠密 (doubly dense) であるという。

命題 2.4. $P$ を poset とする。命題 2.2の像は $\operatorname{DM}(P)$ で二重稠密である。すなわち、任意の $C\in\operatorname{DM}(P)$ に対して

C=\bigvee_{p\in C}\mathord\downarrow p, \qquad C=\bigwedge_{q\in C^u}\mathord\downarrow q

が成り立つ。

証明. $C=C^{ul}$ であるから、補題 1.2 (6)により $C$ は下方集合である。したがって

\bigcup_{p\in C}\mathord\downarrow p=C

となり、定理 1.4の結びの式から

\bigvee_{p\in C}\mathord\downarrow p=C^{ul}=C

を得る。また、

\bigcap_{q\in C^u}\mathord\downarrow q =\{p\in P\mid \forall q\in C^u,\ p\leq q\} =C^{ul}=C

である。左辺は同じ定理による交わりである。▨

定理 2.5. $P$ を poset とし、 $e\colon P\to L$ を完備束 $L$ への順序埋め込みとする。 $e(P)$ が結び稠密かつ交わり稠密であるとき、

\Phi\colon\operatorname{DM}(P)\longrightarrow L, \qquad \Phi(C)=\bigvee_{p\in C}e(p)

は $\Phi(\mathord\downarrow p)=e(p)$ を満たす順序同型であり、任意の結びと交わりを保つ。この条件を満たす順序同型は一意である。

証明. $x\in L$ に対して

\Psi(x)=\{p\in P\mid e(p)\leq x\}

とおく。結び稠密性により、 $q\in P$ について

q\in\Psi(x)^u \Longleftrightarrow \forall p\in\Psi(x),\ e(p)\leq e(q) \Longleftrightarrow x\leq e(q)

である。したがって

\Psi(x)^{ul} =\{p\in P\mid \forall q\in P,\ x\leq e(q)\Longrightarrow e(p)\leq e(q)\}.

交わり稠密性から $x=\bigwedge\{e(q)\mid x\leq e(q)\}$ であるため、右辺は $\Psi(x)$ に等しい。よって $\Psi(x)\in\operatorname{DM}(P)$ である。

結び稠密性から

\Phi(\Psi(x))=\bigvee\{e(p)\mid e(p)\leq x\}=x

となる。次に $C\in\operatorname{DM}(P)$ とする。 $C\subseteq\Psi(\Phi(C))$ は $\Phi$ の定義から従う。 $r\in\Psi(\Phi(C))$ と $q\in C^u$ を取ると、すべての $p\in C$ について $e(p)\leq e(q)$ なので $\Phi(C)\leq e(q)$ である。ゆえに $e(r)\leq e(q)$ 、したがって $r\leq q$ である。これは任意の $q\in C^u$ について成り立つため、 $r\in C^{ul}=C$ となる。よって $\Psi(\Phi(C))=C$ である。

$\Phi$ と $\Psi$ は順序を保つ互いに逆な写像なので、 $\Phi$ は順序同型である。完備束の間の順序同型 $\Theta$ と部分集合 $S$ に対して、 $\Theta$ は単調であるから $\Theta(\bigvee S)$ は $\Theta(S)$ の上界であり、 $y$ が $\Theta(S)$ の上界ならば $\Theta^{-1}$ の単調性から $\Theta^{-1}(y)$ は $S$ の上界であるため $\bigvee S\leq\Theta^{-1}(y)$ 、すなわち $\Theta(\bigvee S)\leq y$ となる。ゆえに順序同型は任意の結びを保ち、双対の議論により任意の交わりも保つ。また、

\Phi(\mathord\downarrow p)=\bigvee\{e(r)\mid r\leq p\}=e(p)

である。別の順序同型 $F$ が主下方集合上で $e$ と一致するならば、命題 2.4から

F(C)=F\!\left(\bigvee_{p\in C}\mathord\downarrow p\right) =\bigvee_{p\in C}F(\mathord\downarrow p) =\bigvee_{p\in C}e(p)=\Phi(C)

となる。したがって $\Phi$ は一意である。▨

3 稠密全順序集合と拡張切断

注意 3.1 (切断による補完の位置づけ). 有理数には、二乗して $2$ になる元が存在しない。しかし、有理数をある境界より小さい側へ分ける下方集合を一つの元とみなせば、有理数の中に存在しない境界も表すことができる。命題 2.2は有理数 $a$ を閉じた主下方集合 $\{q\mid q\leq a\}$ へ送るのに対し、拡張切断との対応は同じ元を最大元のない下方集合 $\{q\mid q<a\}$ へ送る。

定義 3.2 (Dedekind 切断). 部分集合 $\alpha\subseteq\mathbb Q$ が次の三条件を満たすとき、 $\alpha$ をDedekind 切断 (Dedekind cut) という。

$\emptyset\neq\alpha\neq\mathbb Q$ 。
$\alpha$ は $\mathbb Q$ の下方集合である。
$\alpha$ は最大元をもたない。

Dedekind 切断全体

\mathcal D=\{\alpha\subseteq\mathbb Q\mid \alpha\text{ は Dedekind 切断である}\}

を切断集合 (set of Dedekind cuts) という。

注意 3.3 (切断集合の存在). $\mathcal D$ は冪集合 $\mathcal P(\mathbb Q)$ のうち定義 3.2の三条件を満たす元からなる部分集合である。したがって、切断を一つずつ選び集める操作を要せず、一つの集合として定まる。

例 3.4 (有理数が定める切断). $a\in\mathbb Q$ に対して

\alpha_a=\{q\in\mathbb Q\mid q<a\}

とおく。 $a-1\in\alpha_a$ かつ $a\notin\alpha_a$ なので、 $\alpha_a$ は空でない真の部分集合である。 $\alpha_a$ が下方集合であることは推移律から従う。 $q\in\alpha_a$ ならば

q<\frac{q+a}{2}<a

であるため、 $\alpha_a$ は最大元をもたない。よって $\alpha_a\in\mathcal D$ である。

定義 3.5. $\alpha,\beta\in\mathcal D$ に対して

\alpha\leq_{\mathcal D}\beta \Longleftrightarrow \alpha\subseteq\beta

と定める。この順序を切断の包含順序 (inclusion order on Dedekind cuts) という。

定義 3.6. 全順序集合 $D$ の下方集合であって最大元をもたないもの全体を $\operatorname{EC}(D)$ と書き、その元を $D$ の拡張切断 (extended cut) という。 $\emptyset$ は条件を空虚に満たすので、常に $\operatorname{EC}(D)$ に属する。 $D$ 自身は、 $D$ が最大元をもたない場合に $\operatorname{EC}(D)$ に属する。 $\operatorname{EC}(D)$ の元のうち $\emptyset$ と $D$ をimproper cut (improper cut)、残りをproper cut (proper cut) という。

命題 3.7. $D$ を全順序集合とし、 $L,M$ を $D$ の下方集合とする。

$x\in D\setminus L$ は $L$ の上界である。
$L\subseteq M$ または $M\subseteq L$ である。

証明. $x\in D\setminus L$ と $l\in L$ を取る。 $x<l$ ならば、 $L$ が下方集合であることから $x\in L$ となり、 $x$ の取り方に反する。 $D$ は全順序集合であるから $l\leq x$ である。よって $x$ は $L$ の上界である。

$L\subseteq M$ でないとし、 $x\in L\setminus M$ を取る。(1)から $x$ は $M$ の上界である。したがって各 $m\in M$ について $m\leq x$ であり、 $x\in L$ と $L$ が下方集合であることから $m\in L$ となる。よって $M\subseteq L$ である。▨

命題 3.8. $D$ を空でない全順序集合とし、次の二条件を満たすとする。

$x<z$ を満たす $x,z\in D$ に対して、 $x<y<z$ を満たす $y\in D$ が存在する。
各 $x\in D$ に対して、 $a<x<b$ を満たす $a,b\in D$ が存在する。

このとき、写像

\sigma\colon\operatorname{DM}(D)\longrightarrow\operatorname{EC}(D), \qquad \sigma(C)=\{x\in D\mid \exists c\in C,\ x<c\}

と

\tau\colon\operatorname{EC}(D)\longrightarrow\operatorname{DM}(D), \qquad \tau(L)=L^{ul}

は包含順序を保つ互いに逆な写像である。また、 $\operatorname{DM}(D)$ の最小元は $\emptyset$ 、最大元は $D$ であり、 $\sigma$ はこの相異なる二元を二つの improper cut へ移す。

証明. $C\in\operatorname{DM}(D)$ とする。 $\sigma(C)$ が下方集合であることは定義から従う。 $x\in\sigma(C)$ ならば、ある $c\in C$ について $x<c$ である。条件 (a)から $x<y<c$ を満たす $y\in D$ が存在し、 $y\in\sigma(C)$ となる。よって $\sigma(C)$ は最大元をもたず、 $\sigma(C)\in\operatorname{EC}(D)$ である。また、 $L\subseteq D$ に対して $\tau(L)=L^{ul}$ が Dedekind–MacNeille 切断であることは補題 1.2 (4)から従う。

$L\in\operatorname{EC}(D)$ とする。 $x\in L$ ならば、 $L$ が最大元をもたないことから $x<y$ を満たす $y\in L$ が存在する。 $L\subseteq L^{ul}$ なので $x\in\sigma(L^{ul})$ であり、 $L\subseteq\sigma(\tau(L))$ を得る。逆に、 $x\in\sigma(L^{ul})$ とすると、ある $c\in L^{ul}$ について $x<c$ である。もし $x\notin L$ ならば、命題 3.7 (1)から $x\in L^u$ であり、 $c\in L^{ul}$ から $c\leq x$ となって $x<c$ に反する。よって $\sigma(\tau(L))=L$ である。

次に $C\in\operatorname{DM}(D)$ とする。補題 1.2 (6)から $C$ は下方集合であり、 $\sigma(C)\subseteq C$ である。閉包の単調性から $\tau(\sigma(C))\subseteq C^{ul}=C$ を得る。 $c\in C$ と $u\in\sigma(C)^u$ を取る。もし $u<c$ ならば、条件 (a)から $u<x<c$ を満たす $x\in D$ が存在する。すると $x\in\sigma(C)$ であるが $x\nleq u$ となり、 $u$ が上界であることに反する。ゆえに $c\leq u$ である。これは任意の $u\in\sigma(C)^u$ について成り立つため、 $c\in\sigma(C)^{ul}$ である。したがって $C\subseteq\tau(\sigma(C))$ であり、等号を得る。

$C\subseteq C'$ ならば $\sigma(C)\subseteq\sigma(C')$ であり、 $L\subseteq L'$ ならば閉包の単調性から $\tau(L)\subseteq\tau(L')$ である。よって二つの写像は順序同型を与える。

条件 (b)により、各 $x\in D$ に対して $a<x$ を満たす $a\in D$ が存在するので $D^l=\emptyset$ であり、 $\emptyset^{ul}=D^l=\emptyset$ となる。同じ条件により $x<b$ を満たす $b\in D$ が存在するので $D^u=\emptyset$ であり、 $D^{ul}=\emptyset^l=D$ となる。したがって $\operatorname{DM}(D)$ の最小元は $\emptyset$ 、最大元は $D$ であり、 $D$ が空でないことからこの二元は相異なる。 $\sigma(\emptyset)=\emptyset$ であり、 $x<b$ を満たす $b\in D$ の存在から $\sigma(D)=D$ である。▨

例 3.9 (稠密性を外した場合). $D=\mathbb Z$ は命題 3.8 条件 (b)を満たすが、 $n$ と $n+1$ の間に元がないので命題 3.8 条件 (a)を満たさない。 $\mathbb Z$ の空でない下方集合は、上に有界ならば最大元 $m$ をもつので $\mathord\downarrow m$ に等しく、上に有界でなければ $\mathbb Z$ に等しい。 $\mathord\downarrow m$ は最大元をもつため、

\operatorname{EC}(\mathbb Z)=\{\emptyset,\mathbb Z\}

の二元だけになる。一方、 $\emptyset^{ul}=\mathbb Z^l=\emptyset$ であり、空でなく上に有界な $A$ については最大元 $m$ を用いて $A^u=\mathord\uparrow m$ 、 $A^{ul}=\mathord\downarrow m$ となり、上に有界でない $A$ については $A^u=\emptyset$ 、 $A^{ul}=\mathbb Z$ となる。したがって

\operatorname{DM}(\mathbb Z)=\{\emptyset,\mathbb Z\}\cup\{\mathord\downarrow m\mid m\in\mathbb Z\}

であり、 $\mathbb Z$ に両端点を加えたものである。実際 $\sigma(\mathord\downarrow m)=\mathord\downarrow(m-1)$ は最大元 $m-1$ をもつので $\operatorname{EC}(\mathbb Z)$ に属さず、 $\sigma$ は $\operatorname{EC}(\mathbb Z)$ への写像を与えない。

系 3.10. $\mathbb Q$ は命題 3.8の二条件を満たす。したがって $\operatorname{DM}(\mathbb Q)$ は同命題の $\sigma$ と $\tau$ によって $\operatorname{EC}(\mathbb Q)$ と順序同型であり、

\operatorname{EC}(\mathbb Q)=\mathcal D\cup\{\emptyset,\mathbb Q\}

が成り立つ。また、 $(\mathcal D,\leq_{\mathcal D})$ は全順序集合である。

証明. $q<r$ を満たす有理数について、例 3.4が用いた不等式 $q<(q+r)/2<r$ が成り立つので、命題 3.8 条件 (a)が満たされる。また各 $q\in\mathbb Q$ に対して $q-1<q<q+1$ であるから、命題 3.8 条件 (b)も満たされる。 $\mathbb Q$ は空でない全順序集合である。

$\operatorname{EC}(\mathbb Q)$ の元は $\mathbb Q$ の下方集合であって最大元をもたないものである。このうち $\emptyset$ と $\mathbb Q$ を除いたものは定義 3.2の三条件を満たす集合、すなわち $\mathcal D$ の元にほかならない。よって $\operatorname{EC}(\mathbb Q)=\mathcal D\cup\{\emptyset,\mathbb Q\}$ である。

$\mathcal D$ の元は $\mathbb Q$ の下方集合であるから、命題 3.7 (2)により包含について比較可能である。包含関係は半順序でもあるため、 $(\mathcal D,\leq_{\mathcal D})$ は全順序集合である。▨

定義 3.11 (有理数の Dedekind 埋め込み). 写像

\iota\colon\mathbb Q\longrightarrow\mathcal D, \qquad \iota(a)=\{q\in\mathbb Q\mid q<a\}

をDedekind 埋め込み (Dedekind embedding) という。

命題 3.12. 任意の $a,b\in\mathbb Q$ に対して

a\leq b\Longleftrightarrow\iota(a)\subseteq\iota(b)

が成り立つ。したがって $\iota$ は順序埋め込みである。

証明. $a\leq b$ ならば $q<a$ から $q<b$ が従うので、 $\iota(a)\subseteq\iota(b)$ である。逆に、 $\iota(a)\subseteq\iota(b)$ かつ $b<a$ と仮定する。有理数 $(a+b)/2$ は $\iota(a)$ に属するが $\iota(b)$ に属さないため、包含に反する。よって $a\leq b$ である。▨

注意 3.13 (最大元を除く理由). $a\in\mathbb Q$ を $\{q\mid q\leq a\}$ ではなく $\{q\mid q<a\}$ で表すことにより、有理数が定める境界も有理数では表すことのできない境界も、最大元をもたない下方集合という同じ形式で表される。

定理 3.14. $\mathcal A\subseteq\mathcal D$ を空でない族とする。ある $\beta\in\mathcal D$ が存在し、すべての $\alpha\in\mathcal A$ について $\alpha\subseteq\beta$ であると仮定する。このとき

U=\bigcup_{\alpha\in\mathcal A}\alpha

は Dedekind 切断であり、包含順序における $\mathcal A$ の上限である。

証明. $\mathcal A$ は空でないので、ある $\alpha_0\in\mathcal A$ が存在する。 $\alpha_0\neq\emptyset$ から $U\neq\emptyset$ である。また $U\subseteq\beta\neq\mathbb Q$ なので $U\neq\mathbb Q$ である。

$q\in U$ と $p<q$ を取る。ある $\alpha\in\mathcal A$ について $q\in\alpha$ であり、 $\alpha$ が下方集合であることから $p\in\alpha\subseteq U$ となる。さらに、 $q\in\alpha$ に対して $q<r$ を満たす $r\in\alpha$ が存在するため、 $U$ は最大元をもたない。よって $U\in\mathcal D$ である。

各 $\alpha\in\mathcal A$ は $U$ に含まれる。 $\gamma\in\mathcal D$ が $\mathcal A$ の上界ならば、和集合の定義から $U\subseteq\gamma$ である。したがって $U$ は最小上界である。▨

注意 3.15 (上限性の意味).定理 3.14は、有理数の中に存在しない場合がある上限を切断の和集合として構成する。ただし、この段階で得られた構造は全順序集合である。切断上の加法と乗法を定義し、順序体の公理を検証する仕事はここには含まれない。

注意 3.16 (二つの切断の関係). Dedekind–MacNeille 切断は一般の poset に対して定まる部分集合 $C=C^{ul}$ であり、完備束の元を表す。Dedekind 切断は $\mathbb Q$ に固有の概念であり、拡張切断のうち improper cut でないものにあたる。

注意 3.17 (拡張実直線との比較). proper cut 上に体演算を定義して実数体を構成した後では、順序集合として

\operatorname{DM}(\mathbb Q)\cong\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}

と同定することができる。 $\emptyset$ と $\mathbb Q$ が二端点に対応する。この同定は完備化の順序を記述するものであり、体演算を与えるものではない。

注意 3.18 (順序完備化と実数体の相違). $\operatorname{DM}(\mathbb Q)$ が直接備える演算は完備束の結びと交わりである。加法、乗法および逆元は Dedekind–MacNeille 完備化から自動的には定まらない。さらに、二つの improper cut を含む $\operatorname{DM}(\mathbb Q)$ を、この包含順序について順序体にすることはできない。順序体では各元 $x$ について $x<x+1$ が成り立つので最大元が存在しないが、この順序では $\mathbb Q$ が最大元だからである。実数体を得るには proper cut へ制限したうえで体演算を別に構成する必要がある。

問題 3.19. $\alpha,\beta\in\mathcal D$ とする。 $\alpha\cap\beta$ が Dedekind 切断であり、包含順序における $\{\alpha,\beta\}$ の下限であることを証明せよ。

解答.

$\alpha$ と $\beta$ はいずれも $\mathbb Q$ の下方集合であるから、命題 3.7 (2)により $\alpha\subseteq\beta$ または $\beta\subseteq\alpha$ である。いずれの場合にも $\alpha\cap\beta$ は $\alpha$ と $\beta$ の一方に等しいので、Dedekind 切断である。

$\alpha\cap\beta$ は $\alpha$ と $\beta$ の下界である。切断 $\gamma$ が両方の下界ならば $\gamma\subseteq\alpha\cap\beta$ なので、 $\alpha\cap\beta$ は最大下界である。▨

4 冪集合の不動点と Schröder–Bernstein の定理

第1節の $A\mapsto A^{ul}$ は補題 1.2 (3)により冪集合 $\mathcal P(P)$ 上の単調写像であり、定理 1.4はその不動点の全体を完備束として取り出した。以下では、同じ冪集合上の単調写像について不動点を一つ取り出すだけで足りる場面を扱う。

補題 4.1. 集合 $X$ と包含関係について単調な写像

T\colon\mathcal P(X)\longrightarrow\mathcal P(X)

に対して、 $T(A)=A$ を満たす $A\subseteq X$ が存在する。

証明. $T$ の下で増大する部分集合全体とその和集合を

\mathcal F=\{B\subseteq X\mid B\subseteq T(B)\}, \qquad A=\bigcup_{B\in\mathcal F}B

とおく。 $B\in\mathcal F$ ならば $B\subseteq A$ なので、単調性から $B\subseteq T(B)\subseteq T(A)$ である。すべての $B\in\mathcal F$ について和集合を取ると $A\subseteq T(A)$ となる。

この包含に単調性を適用すると $T(A)\subseteq T(T(A))$ である。したがって $T(A)\in\mathcal F$ であり、 $\mathcal F$ の和集合の定義から $T(A)\subseteq A$ となる。よって $T(A)=A$ である。▨

定理 4.2 (Schröder–Bernstein の定理). 集合 $X,Y$ の間に単射 $f\colon X\to Y$ と単射 $g\colon Y\to X$ が存在するならば、 $X$ から $Y$ への全単射が存在する。

証明. $A\subseteq X$ に対して

T(A)=X\setminus g\bigl(Y\setminus f(A)\bigr)

と定める。 $A\subseteq B$ ならば $f(A)\subseteq f(B)$ なので

Y\setminus f(B)\subseteq Y\setminus f(A).

$g$ による像を取り、続いて $X$ における差集合を取ると $T(A)\subseteq T(B)$ を得る。したがって $T$ は単調である。補題 4.1により $T(A)=A$ を満たす $A\subseteq X$ が存在する。

$x\in X\setminus A$ ならば

x\in g\bigl(Y\setminus f(A)\bigr)

である。 $g$ は単射なので、 $g(y)=x$ を満たす $y\in Y\setminus f(A)$ はただ一つである。この元を $g^{-1}(x)$ と書き、

h(x)= \begin{cases} f(x),&x\in A,\\ g^{-1}(x),&x\in X\setminus A \end{cases}

と定める。第1の場合の像は $f(A)$ に属し、第2の場合の像は $Y\setminus f(A)$ に属する。二つの部分で像は交わらず、それぞれの部分で $f$ と $g$ の単射性から $h$ は単射である。

$y\in Y$ とする。 $y\in f(A)$ ならば、ある $x\in A$ について $h(x)=f(x)=y$ である。 $y\notin f(A)$ ならば $x=g(y)$ とおく。もし $x\in A=T(A)$ ならば $x\notin g(Y\setminus f(A))$ であるが、 $y\in Y\setminus f(A)$ かつ $x=g(y)$ なので矛盾する。よって $x\in X\setminus A$ であり、 $h(x)=g^{-1}(x)=y$ となる。したがって $h$ は全射でもあり、全単射である。▨

注意 4.3 (選択公理との関係).定理 4.2の証明では、冪集合の部分族を一つ定めて和集合を取り、二つの単射を固定して写像を構成した。任意の非空集合族から元を選ぶ操作は用いていないため、この定理に選択公理は必要ない。

注意 4.4 (比較可能性との区別). Schröder–Bernstein の定理が与えるのは、二方向に単射が存在する場合の反対称性、すなわち単射による比較が全単射による同一視のもとで反対称的であることである。任意の二集合 $X,Y$ について、 $X$ から $Y$ への単射または $Y$ から $X$ への単射が存在するという比較可能性は別の主張であり、この定理だけからは従わない。

例 4.5 (構成の具体例). $Y=\mathbb N\mathbin{\dot\cup}\{\ast\}$ とし、 $f\colon\mathbb N\to Y$ を $f(n)=n$ 、 $g\colon Y\to\mathbb N$ を

g(\ast)=0, \qquad g(n)=n+1

と定める。どちらも単射である。この場合、証明で用いた写像は

T(A)=\{n+1\mid n\in A\}

となり、 $A=\emptyset$ が不動点である。したがって構成される全単射 $h\colon\mathbb N\to Y$ は

h(0)=\ast, \qquad h(n+1)=n

である。 $f$ が取りこぼした一元を、 $g$ が作る無限列に沿って移す操作が不動点の分割として表されている。

§E1.11Dedekind–MacNeille 完備化

1 閉包と完備束

2 埋め込みと二重稠密性

3 稠密全順序集合と拡張切断

4 冪集合の不動点と Schröder–Bernstein の定理

参考文献

前提記事