§E1.25Cauchy 列による実数の構成

証明.(1)$0\leq a$ならば$|a|=a$であり、$a<0$ならば§E1.12 命題 1.2 (3)により$0<-a=|a|$である。$a=0$ならば$|a|=0$である。逆に$|a|=0$ならば$a=0$または$-a=0$であるから、どちらの場合も$a=0$である。

(2)$0<a$のとき§E1.12 命題 1.2 (3)により$-a<0$であるから$|-a|=-(-a)=a=|a|$である。$a=0$のときは両辺とも$0$である。$a<0$のときは$0<-a$であるから$|-a|=-a=|a|$である。

(3)定義から$a\leq|a|$かつ$-a\leq|a|$である。$|a|<c$ならば$a\leq|a|<c$であり、$-a\leq|a|<c$と§E1.12 命題 1.2 (1)から$-c<a$である。逆に$-c<a<c$とすると、$0\leq a$のときは$|a|=a<c$であり、$a<0$のときは$-c<a$と§E1.12 命題 1.2 (1)から$|a|=-a<c$である。

(4)$a\leq|a|$と$b\leq|b|$から$a+b\leq|a|+|b|$であり、$-a\leq|a|$と$-b\leq|b|$から$-(a+b)\leq|a|+|b|$である。$|a+b|$は$a+b$と$-(a+b)$のいずれかであるから、$|a+b|\leq|a|+|b|$である。

(5)$0\leq a$かつ$0\leq b$のとき、$a=0$または$b=0$ならば$ab=0$であり、$0<a$かつ$0<b$ならば乗法と順序の両立（§E1.12 定義 1.1）により$0<ab$であるから、いずれの場合も$|ab|=ab=|a|\,|b|$である。$0\leq a$かつ$b<0$のとき、$0\leq a(-b)=-(ab)$から$ab\leq0$であり、$|ab|=-ab=a(-b)=|a|\,|b|$である。$a<0$かつ$0\leq b$のときも同様である。$a<0$かつ$b<0$のとき、$0<(-a)(-b)=ab$であるから$|ab|=ab=(-a)(-b)=|a|\,|b|$である。▨

証明.$a=(a_n)$を Cauchy 列とする。$\varepsilon=1$に対する番号$N$を取り、

とおく。$n\geq N$ならば$|a_n|\leq|a_n-a_N|+|a_N|<M$であり、$n<N$の場合も$|a_n|<M$である。したがって$a$は有界である。

$a=(a_n)$と$b=(b_n)$を Cauchy 列とする。和と差が Cauchy 列であることは三角不等式から従う。$|a_n|\leq M$および$|b_n|\leq M$となる正の有理数$M$を取ると、

である。二つの差をそれぞれ$\varepsilon/(2M)$より小さくする番号を取れば、積も Cauchy 列であることが分かる。▨

証明.$a-a$は零列なので反射律が成り立つ。$a-b$が零列ならば$b-a=-(a-b)$も零列なので、対称律が成り立つ。$a-b$と$b-c$が零列ならば

も零列である。実際、各差を最終的に$\varepsilon/2$より小さくすれば三角不等式を適用することができる。したがって推移律も成り立つ。▨

証明.$a\sim a'$かつ$b\sim b'$とする。和について

は零列である。加法逆元についても$(-a_n)-(-a'_n)=-(a_n-a'_n)$は零列である。

補題 1.5により、$a'$と$b$はある正の有理数$M$で有界である。積の差を

と分けると、右辺の絶対値は

以下である。二つの差が零列であるため、この上界も零列である。したがって積も代表元に依存しない。

結合律、交換律、分配律および単位元の公理は、有理数における対応する等式を各項で適用すると得られる。よって$\mathbb R_C$は可換環である。▨

証明.$a$が零列でないため、ある正の有理数$\varepsilon$が存在し、どの正の整数$N_0$に対しても$n\geq N_0$かつ$|a_n|\geq\varepsilon$を満たす$n$が存在する。$a$は Cauchy 列なので、ある$N$以後では$|a_m-a_n|<\varepsilon/2$が成り立つ。$a$が零列ではないことを用いて$n_0\geq N$かつ$|a_{n_0}|\geq\varepsilon$を取る。

$m\geq N$ならば$|a_m-a_{n_0}|<\varepsilon/2$である。$a_{n_0}\geq\varepsilon$の場合は$a_m>\varepsilon/2$であり、$a_{n_0}\leq-\varepsilon$の場合は$a_m<-\varepsilon/2$である。$\eta=\varepsilon/2$とおけば、絶対値の下界と符号の一定性を同時に得る。▨

証明.$x=[a]$とする。$x\neq0$であるため$a$は零列ではない。補題 2.3の$\eta$と$N$を取り、

と定める。$m,n\geq N$ならば

であるため、$b=(b_n)$は Cauchy 列である。積の列$(a_nb_n)$は$n\geq N$で$1$に等しいので、定数列$(1)$と Cauchy 同値である。したがって$y=[b]$とおけば$xy=1$である。

別の代表元や別の番号$N$から同じ方法で$y'$を作っても$xy'=1$である。可換環における逆元は一意なので、$y'=y$である。したがって逆元、ひいては非零元による除法も代表元の選び方に依存しない。▨

証明.$a\sim a'$とし、ある$\varepsilon>0$と$N$について$a_n\geq\varepsilon$が$n\geq N$で成り立つとする。$a-a'$は零列なので、十分大きな$n$について$|a_n-a'_n|<\varepsilon/2$である。このとき$a'_n\geq\varepsilon/2$であるため、正であるという条件は代表元に依存しない。

$x=[a]$と$y=[b]$が正であるとする。ある$\varepsilon,\delta>0$について、十分大きな$n$では$a_n\geq\varepsilon$かつ$b_n\geq\delta$である。したがって$a_n+b_n\geq\varepsilon+\delta$かつ$a_nb_n\geq\varepsilon\delta$であり、$x+y$と$xy$も正である。また、$x$と$-x$がともに正ならば、十分大きな$n$について同時に$a_n>0$と$-a_n>0$が必要になり、矛盾する。

$x=[a]\neq0$とする。補題 2.3により、十分大きな$n$では、ある$\eta>0$に対して$a_n\geq\eta$が常に成り立つか、$a_n\leq-\eta$が常に成り立つかのいずれかである。前者では$x\in P$、後者では$-x\in P$である。定数列$(1)$は正であり、定数列$(0)$は正ではないので$0\neq1$である。以上から$P$は§E1.12 命題 1.4の正錐の条件を満たす。したがって$x<y\iff y-x\in P$は全順序であり、加法および正の元による乗法と両立する。

命題 2.4と定理 2.2を合わせると、$\mathbb R_C$は体である。よって$\mathbb R_C$は順序体である。▨

証明. 定数列に項ごとの演算を行うと有理数の演算と一致するため、$\iota_C$は単位元と四則演算を保つ。定数列$(q)$が零列であることと$q=0$であることは同値なので、$\iota_C$は単射である。順序も定義から保たれる。定理 3.3により$\mathbb R_C$は順序体であり、単位元を保つ体準同型$\mathbb Q\to\mathbb R_C$は§E1.15 定義 2.1の$\iota_{\mathbb R_C}$に限る（§E1.15 命題 2.2）。したがって$\iota_C=\iota_{\mathbb R_C}$であり、$\iota_C$は標準有理数埋め込みである。

$x<y$とし、$x=[a]$、$y=[b]$と書く。$y-x$が正であるため、ある正の有理数$\delta$と番号$N_0$が存在し、$n\geq N_0$ならば$b_n-a_n\geq\delta$である。さらに$N\geq N_0$を、$n\geq N$ならば$|a_n-a_N|<\delta/6$かつ$|b_n-b_N|<\delta/6$となるように取る。有理数$q=a_N+\delta/3$とおく。$n\geq N$ならば命題 1.2 (3)により

であり、$N\geq N_0$から従う$b_N-a_N\geq\delta$とあわせて

である。$\iota_C(q)-x$の代表列は$(q-a_n)$、$y-\iota_C(q)$の代表列は$(b_n-q)$であり、いずれも$n\geq N$で一つの正の有理数（それぞれ$\delta/6$と$\delta/2$）を下回らない。したがって定義 3.1により$x<\iota_C(q)<y$である。▨

証明. 正の有理数$\varepsilon$を取り、$j,k\geq N$ならば$|r_j-r_k|<\varepsilon/3$となる番号$N$を取る。$k\geq N$を固定すると、$[r]-\iota_C(r_k)$の代表列は$(r_j-r_k)_{j\geq1}$であり、$j\geq N$について命題 1.2 (3)により

である。$\iota_C(\varepsilon/2)-([r]-\iota_C(r_k))$と$\iota_C(\varepsilon/2)+([r]-\iota_C(r_k))$の代表列が$j\geq N$で$\varepsilon/6$を下回らないので、定義 3.1により

である。したがって$k\geq N$ならば$-\varepsilon<\iota_C(r_k)-[r]<\varepsilon$であり、定義 4.1の意味で$(\iota_C(r_k))$は$[r]$へ収束する。▨

証明. 有理数$q$に対して

とおく。右辺の集合は空でない正の整数の集合であるから最小元をもち、$h(q)$は定まる。正の整数$d$に対して$|m|+n=d$を満たす対$(m,n)$は有限個であるから、$h(q)=d$を満たす有理数$q$は有限個である。異なる有理数$p,q$に対して、$h(p)<h(q)$であるとき、または$h(p)=h(q)$かつ$p<q$であるときに$p\prec q$と定める。これは$h$の値と有理数の通常の順序による辞書式順序であるから、$\mathbb Q$上の全順序である。

$S\subseteq\mathbb Q$を空でないとする。$\{h(q)\mid q\in S\}$は空でない正の整数の集合であるから最小元$d$をもち、$h(q)=d$を満たす$q\in S$の全体は空でない有限集合である。この有限集合の通常の順序に関する最小元は、$S$の$\prec$に関する最小元である。▨

証明.$(x_k)_{k\geq1}$を$\mathbb R_C$の Cauchy 列とし、補題 4.3の全順序$\prec$を一つ固定する。

命題 3.4により、各$k$について

を満たす有理数が存在する。そのような有理数のうち$\prec$に関する最小のものを$r_k$とする。各$r_k$は条件から一意に定まり、置換公理スキーマ（§E1.13 定義 5.1）によって列$(r_k)_{k\geq1}$が集合として得られる。

正の有理数$\varepsilon$を取り、$\varepsilon=a/b$（$a,b\in\mathbb Z_{>0}$）と表す。$k\geq3b+1$ならば$1/k<a/(3b)=\varepsilon/3$である。したがって十分大きな$k,l$について

が成り立つ。近似の定め方から

であり、$k,l$を入れ替えると$-\varepsilon<r_k-r_l$も得られる。したがって$r=(r_k)$は有理数の Cauchy 列であり、$x=[r]\in\mathbb R_C$とおくことができる。

再び正の有理数$\varepsilon=a/b$（$a,b\in\mathbb Z_{>0}$）を取る。$k\geq2b+1$ならば$1/k<a/(2b)=\varepsilon/2$であり、$-1/k<x_k-r_k<1/k$とあわせて

である。補題 4.2により$(r_k)$は$x$へ収束するので、十分大きな$k$について

である。二つの不等式を加えると

となる。したがって$x_k\to x$である。▨

証明.$A\subseteq\mathbb R_C$を空でなく上に有界とする。$a_0\in A$と上界$U$を取る。命題 3.4により、$p_0<a_0$および$U<q_0$を満たす有理数$p_0,q_0$を取る。特に$p_0$は$A$の上界ではなく、$q_0$は$A$の上界である。

写像$F:\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q\times\mathbb Q$を、$m=(p+q)/2$が$A$の上界であるとき

とし、$m$が$A$の上界でないとき

として定める。「帰納法と再帰的な定義」の§D2.1 定理 4.4を$V=\mathbb Q\times\mathbb Q$、$g(0)=(p_0,q_0)$、$h_S=F$に適用すると、$(p_{n+1},q_{n+1})=F(p_n,q_n)$を満たす対の列$((p_n,q_n))_{n\geq0}$がただ一つ定まる。各$n$について、$p_n$は上界ではなく、$q_n$は上界であり、

である。

$m>n$ならば$p_n\leq p_m\leq q_n$かつ$p_n\leq q_m\leq q_n$である。$L=q_0-p_0=u/v$（$u,v\in\mathbb Z_{>0}$）と表す。正の有理数$\varepsilon=c/d$（$c,d\in\mathbb Z_{>0}$）に対し、$n\geq ud$ならば$2^n\geq n+1>ud/(vc)=L/\varepsilon$である。ここで$2^n\geq n+1$は$n$に関する帰納法から従う。したがって$2^{-n}L<\varepsilon$であり、区間の長さは零列をなす。この評価と上の包含から、$(p_n)_{n\geq1}$と$(q_n)_{n\geq1}$は有理数の Cauchy 列であり、その差も零列である。したがって

とおくことができる。

補題 4.2により、$(p_n)$と$(q_n)$はいずれも$s$へ収束する。定義 4.1により、収束の$\varepsilon$として$\mathbb R_C$の任意の正の元を取ることができる。

$a\in A$とする。すべての$n$について$a\leq q_n$である。$s<a$と仮定すると、命題 3.4により$s<t<a$を満たす有理数$t$が存在し、正の元$t-s$に対して、十分大きな$n$について$q_n-s<t-s$、すなわち$q_n<t<a$である。これは$a\leq q_n$に反する。よって$a\leq s$であり、$s$は$A$の上界である。

$y<s$とする。命題 3.4により$y<t<s$を満たす有理数$t$を取ると、正の元$s-t$に対して、十分大きな$n$について$s-p_n<s-t$、すなわち$t<p_n$である。$p_n$は$A$の上界ではないため、$p_n<a$を満たす$a\in A$が存在する。したがって$y<t<p_n<a$であり、$y$は上界ではない。$s$より小さい元は上界ではないので、$s=\sup A$である。▨

証明.定理 5.1により$\mathbb R_C$は完備順序体である。$\mathbb R_D$も§E1.14 定理 3.1により完備順序体である。したがって「完備順序体の一意性」§E1.15 定理 4.4により、単位元と順序を保つ体同型$\Phi:\mathbb R_C\to\mathbb R_D$がただ一つ存在する。

$\Phi\circ\iota_C$は単位元を保つ体準同型$\mathbb Q\to\mathbb R_D$であるから、§E1.15 命題 2.2により$\Phi\circ\iota_C=\iota_{\mathbb R_D}$である。命題 3.4により$\iota_C$は$\mathbb R_C$への標準有理数埋め込みであるから、$\Phi$は二つの標準有理数埋め込みを一致させる。標準有理数埋め込みを一致させる順序体同型は、とくに単位元と順序を保つ体同型であるから、$\Phi$のほかにない。▨