§B2.6合成関数

最終更新 2026-08-18

合成では、内側の関数の値が外側の関数の定義域へ入るかを先に確かめます。

定義 1 (合成関数と自然な定義域). $f:D_f\to E_f$ 、 $g:D_g\to E_g$ に対し、

$D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$

とおく。 $x\in D_{g\circ f}$ に $g(f(x))$ を対応させる関数を $g\circ f$ と書き、合成関数という。

例 2 (合成により定義域が狭まる). $f(x)=x-3$ を実数全体で、 $g(x)=\sqrt{x}$ を $[0,\infty)$ で定める。 $g\circ f$ の定義域は $x-3\ge0$ を満たす $[3,\infty)$ であり、 $(g\circ f)(x)=\sqrt{x-3}$ です。一方、 $(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-3$ の定義域は $[0,\infty)$ です。

定理 3 (合成の順序は一般に交換できない). 合成 $g\circ f$ と $f\circ g$ は、両方が定義されても一般には一致しない。

例 4 (順序が異なる例). $f(x)=x+1$ 、 $g(x)=x^2$ とする。このとき $(g\circ f)(x)=(x+1)^2$ 、 $(f\circ g)(x)=x^2+1$ です。 $x=1$ で前者は $4$ 、後者は $2$ となるため、二つの関数は一致しません。

注意 5 (結合法則). 必要な合成がすべて定義される範囲では $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$ が成り立ちます。式を比較するときも、両辺の定義域を同時に確認します。

1 演習

$f(x)=x-2$ 、 $g(x)=\sqrt{x}$ について、 $(g\circ f)(x)$ と $(f\circ g)(x)$ を求め、それぞれの定義域を答えなさい。
$f(x)=2x+1$ 、 $g(x)=x^2$ について、二つの合成が一般に一致しないことを示しなさい。

証明 (演習の要点). 1 では $(g\circ f)(x)=\sqrt{x-2}$ の定義域が $x\ge2$ 、 $(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-2$ の定義域が $x\ge0$ です。2 では $(g\circ f)(x)=(2x+1)^2$ 、 $(f\circ g)(x)=2x^2+1$ と計算し、 $x=1$ で値が異なることを確かめます。▨

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

次の f, g について (f∘g)(x) と (g∘f)(x) を求め、両者が一致するかどうか答えよ。定義域が狭まる場合は明示すること。

次の f, g について (f∘g)(x) と (g∘f)(x) を求め、両者が一致するかどうか答えよ。

解法の型(f∘g)(x) $=$ f(g(x))。内側の g を先に計算する。定義域は「g の定義域」かつ「g の値域が f の定義域に入る条件」で絞る

例題 1
$f(x) = \sqrt{x},\qquad g(x) = x-3$
例題 2
$f(x) = -3x+4,\qquad g(x) = 2x-3$
例題 3
$f(x) = 2x,\qquad g(x) = \dfrac{x}{2}$
例題 4
$f(x) = -3x,\qquad g(x) = 3x+1$
例題 5
$f(x) = 5x-4,\qquad g(x) = \dfrac{x+4}{5}$
例題 6
$f(x) = 3x-1,\qquad g(x) = \dfrac{x+1}{3}$
例題 7
$f(x) = -2x-2,\qquad g(x) = x^{2}+3$
例題 8
$f(x) = 2x+3,\qquad g(x) = 2x+1$
例題 9
$f(x) = 3x+4,\qquad g(x) = \dfrac{x-4}{3}$
例題 10
$f(x) = 3x,\qquad g(x) = -3x+4$

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

次の f, g について (f∘g)(x) と (g∘f)(x) を求め、両者が一致するかどうか答えよ。定義域が狭まる場合は明示すること。

演習を読み込み中…

前提記事

§A1数と式の計算