§B2.8逆関数

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単射・全射・全単射と逆写像 では、写像f:X→Yf : X \to Yが全単射であるとき、YYの各要素に対して、その要素を値とするXXの要素をただ一つ対応させる写像f−1:Y→Xf^{-1} : Y \to Xが定まることを示しました。本記事は、この対応を逆関数とよび、条件を逆の向きから調べます。すなわち、終域YYを変えないまま、ffと合成すると恒等写像になる写像が存在したとすると、もとのffは全単射でなければならないことを示します。この向きと、さきの記事が示した向きを合わせると、終域を固定した逆関数が定まるための必要十分条件が、ffが全単射であることだと分かります。

単射であるだけの写像については、終域を値域に取り替えれば逆関数が定まります。本記事では、この場合と、終域を固定したまま逆関数が定まる場合とを区別します。そのうえで、xxの2乗をx≥0x \ge 0に制限した関数の逆関数が平方根であることを確かめ、もとの関数の値域が逆関数の定義域になること、および二つのグラフが直線y=xy = xに関して対称になることを示します。

以下では、XXとYYを空でない集合とします。逆関数という呼び方は、XXとYYがどちらも実数の部分集合である場合に用います。

1 逆関数と、その値の対応

定義 1.1 (逆関数).XX、YYを空でない実数の部分集合とし、f:X→Yf : X \to Yを全単射とする。§B2.7 定理 3.1によってただ一つ定まるffの逆写像f−1:Y→Xf^{-1} : Y \to Xを、ffの逆関数という。

逆関数の値がどのように定まるか、および逆関数の定義域と値域がもとの関数の何にあたるかを、はじめに確かめます。

定理 1.2 (値の対応と、定義域・値域の入れ替わり).f:X→Yf : X \to Yを全単射とし、f−1:Y→Xf^{-1} : Y \to Xをその逆関数とする。このとき次が成り立つ。

  1. XXの要素aaとYYの要素bbについて、b=f(a)b = f(a)であることとa=f−1(b)a = f^{-1}(b)であることは同値である。
  2. f−1f^{-1}の定義域はYYであり、これはffの値域f(X)f(X)に等しい。
  3. f−1f^{-1}の値域は、ffの定義域XXに等しい。

証明. 1 を示します。b=f(a)b = f(a)とすると、§B2.7 定理 3.1の条件f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xをx=ax = aに適用してf−1(b)=f−1(f(a))=af^{-1}(b) = f^{-1}(f(a)) = aです。逆にa=f−1(b)a = f^{-1}(b)とすると、条件f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y)) = yをy=by = bに適用してf(a)=f(f−1(b))=bf(a) = f(f^{-1}(b)) = bです。

2 を示します。f−1f^{-1}はYYからXXへの写像であるから、その定義域はYYです。またffは全射であるから、YYのどの要素もffによる値としてあらわれ、f(X)=Yf(X) = Yが成り立ちます。

3 を示します。§B2.7 定理 3.1によりf−1f^{-1}は全単射であり、とくにXXへの全射であるから、f−1f^{-1}の値域は終域XXに等しくなります。▨

2 終域を固定した逆関数が定まる条件

さきの記事は、ffが全単射であれば逆写像が定まることを示しました。ここでは逆の向きを示します。すなわち、§B2.7 定理 3.1が逆写像に課した二つの等式を満たす写像が存在することから、ffが全単射であることを導きます。次の定理は、XXとYYが実数の部分集合であるかどうかによらず、写像について成り立ちます。

定理 2.1 (二つの等式を満たす写像が存在すれば全単射である).f:X→Yf : X \to Yを写像とする。写像g:Y→Xg : Y \to Xが

g(f(x))=x(すべての x∈X),f(g(y))=y(すべての y∈Y)g(f(x)) = x \quad (\text{すべての } x \in X), \qquad f(g(y)) = y \quad (\text{すべての } y \in Y)

をともに満たすならば、ffは全単射である。

証明. はじめにffが単射であることを示します。XXの要素x1x_1、x2x_2がf(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)を満たすとします。両辺へggを施すとg(f(x1))=g(f(x2))g(f(x_1)) = g(f(x_2))であり、条件g(f(x))=xg(f(x)) = xをx=x1x = x_1とx=x2x = x_2に適用してx1=x2x_1 = x_2となります。値が等しいことから入力が等しいことが従うので、これは§B2.7 定義 2.1の単射の条件の対偶にあたり、ffは単射です。

次にffが全射であることを示します。YYの要素yyを任意にとり、x=g(y)x = g(y)と置きます。ggはYYからXXへの写像であるからxxはXXの要素であり、条件f(g(y))=yf(g(y)) = yからf(x)=yf(x) = yです。したがって、YYのどの要素についても、それを値とするXXの要素が存在します。

単射性と全射性が示されたので、ffは全単射です。▨

この証明では、二つの条件をそれぞれ別の箇所で用いています。g(f(x))=xg(f(x)) = xからは単射性が従い、f(g(y))=yf(g(y)) = yからは全射性が従います。片方だけを仮定しても、もう一方は従いません。実際、§B2.7 注意 3.2は、ffが単射であって全射でない場合にもg(f(x))=xg(f(x)) = xを満たす写像ggが存在することを述べています。

注意 2.2 (終域を固定した逆関数が定まる必要十分条件).f:X→Yf : X \to Yを写像とする。§B2.7 定理 3.1と定理 2.1を合わせると、g(f(x))=xg(f(x)) = xとf(g(y))=yf(g(y)) = yをともに満たす写像g:Y→Xg : Y \to Xが存在するための必要十分条件は、ffが全単射であることである。存在するとき、このggはただ一つであり、ffの逆写像f−1f^{-1}である。とくにXXとYYが実数の部分集合であるとき、終域YYを変えないまま逆関数が定まるための必要十分条件は、ffが全単射であることである。

3 単射であるだけの写像は、終域を値域へ絞る

ffが単射であって全射でないとき、注意 2.2により、終域をYYのままにして逆関数を定めることはできません。値域に入らないYYの要素に対して、対応させるべきXXの要素が無いからです。この場合には、終域を値域f(X)f(X)に取り替えたうえで逆関数を定めます。

定理 3.1 (単射である写像は、終域を値域に取り替えると逆関数をもつ).f:X→Yf : X \to Yを単射とし、f~:X→f(X)\tilde{f} : X \to f(X)をffの終域を値域に取り替えた写像とする。このときf~\tilde{f}は全単射であり、その逆写像f~−1:f(X)→X\tilde{f}^{-1} : f(X) \to Xがただ一つ定まる。このf~−1\tilde{f}^{-1}は、f(X)f(X)の要素yyに対して、f(x)=yf(x) = yを満たすXXの要素xxを対応させる写像である。

証明.§B2.7 定理 4.2により、ffが単射であるからf~\tilde{f}は全単射です。したがって§B2.7 定理 3.1により、逆写像f~−1\tilde{f}^{-1}がただ一つ定まります。f(X)f(X)の要素yyについてx=f~−1(y)x = \tilde{f}^{-1}(y)と置くと、§B2.7 定理 3.1の条件f~(f~−1(y))=y\tilde{f}(\tilde{f}^{-1}(y)) = yによりf~(x)=y\tilde{f}(x) = yであり、f~\tilde{f}の定め方からf(x)=yf(x) = yです。ffは単射であるから、f(x)=yf(x) = yを満たすXXの要素はxxのほかにありません。▨

例 3.2 (xxの2乗をx≥0x \ge 0に制限した関数の逆関数).f:[0, ∞)→Rf : [0,\,\infty) \to \mathbb{R}をf(x)=x2f(x) = x^2で定める。§B2.7 例 4.3のとおり、ffは単射であって全射ではない。値域は、00以上のすべての実数xxについてx2≥0x^2 \ge 0であること、および00以上の実数yyに対してy\sqrt{y}が00以上で(y)2=y(\sqrt{y})^2 = yを満たすことから、f([0, ∞))=[0, ∞)f([0,\,\infty)) = [0,\,\infty)である。

ffは全射でないから、注意 2.2により、終域R\mathbb{R}を変えないままでは逆関数は定まらない。そこで定理 3.1に従い、終域を値域に取り替えた写像h:[0, ∞)→[0, ∞)h : [0,\,\infty) \to [0,\,\infty)、h(x)=x2h(x) = x^2を考える。hhは全単射であり、逆関数h−1:[0, ∞)→[0, ∞)h^{-1} : [0,\,\infty) \to [0,\,\infty)がただ一つ定まる。00以上の実数yyに対してh−1(y)h^{-1}(y)はx2=yx^2 = yを満たす00以上の実数xxであり、これはy\sqrt{y}である。すなわちh−1(y)=yh^{-1}(y) = \sqrt{y}である。

定理 1.2の 2 と 3 のとおり、h−1h^{-1}の定義域[0, ∞)[0,\,\infty)はhhの値域であり、h−1h^{-1}の値域[0, ∞)[0,\,\infty)はhhの定義域である。

4 グラフが直線y=xy = xに関して対称であること

定理 4.1 (逆関数のグラフの対称性).XX、YYを空でない実数の部分集合とし、f:X→Yf : X \to Yを全単射とする。座標平面において、y=f(x)y = f(x)のグラフとy=f−1(x)y = f^{-1}(x)のグラフは、直線y=xy = xに関して対称である。

証明. はじめに、実数aa、bbについて、点(a, b)(a,\,b)と点(b, a)(b,\,a)が直線y=xy = xに関して対称であることを確かめます。a=ba = bのとき、二つの点は一致し、直線y=xy = xの上にあります。a≠ba \ne bのとき、二点を結ぶ線分の中点は(a+b2, a+b2)\left(\dfrac{a+b}{2},\,\dfrac{a+b}{2}\right)であり、これは直線y=xy = xの上にあります。また、二点を通る直線の傾きはa−bb−a=−1\dfrac{a-b}{b-a} = -1であり、直線y=xy = xの傾き11との積が−1-1であるから、二つの直線は垂直に交わります。よって(a, b)(a,\,b)と(b, a)(b,\,a)は直線y=xy = xに関して対称です。

次に、点(a, b)(a,\,b)がy=f(x)y = f(x)のグラフ上にあることと、点(b, a)(b,\,a)がy=f−1(x)y = f^{-1}(x)のグラフ上にあることが同値であることを示します。前者は、aaがXXの要素であってb=f(a)b = f(a)が成り立つことです。定理 1.2の 1 により、これはbbがYYの要素であってa=f−1(b)a = f^{-1}(b)が成り立つことと同値であり、後者にあたります。

したがって、y=f(x)y = f(x)のグラフの各点は、直線y=xy = xに関する対称移動によってy=f−1(x)y = f^{-1}(x)のグラフの点へ写り、その逆も成り立ちます。二つのグラフは直線y=xy = xに関して対称です。▨

例 3.2のhhとh−1h^{-1}について、この対称性を図に示します。

5 逆関数を求める

ffが全単射であることが分かっているとき、逆関数の値f−1(y)f^{-1}(y)は、y=f(x)y = f(x)をxxについて解くことで得られます。定理 1.2の 1 により、y=f(x)y = f(x)を満たすxxがf−1(y)f^{-1}(y)そのものだからです。二つのグラフを同じ座標平面へ描くために変数の名前をそろえるときは、得られた式のyyをxxに書き換えてy=f−1(x)y = f^{-1}(x)とします。

例 5.1 (逆関数と、その定義域・値域を求める).f:[0, ∞)→[1, ∞)f : [0,\,\infty) \to [1,\,\infty)をf(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1で定める。

はじめにffが全単射であることを確かめる。0≤x10 \le x_1、0≤x20 \le x_2がx12+1=x22+1x_1^2 + 1 = x_2^2 + 1を満たすとするとx12=x22x_1^2 = x_2^2であり、§B2.7 例 4.3と同じ計算によりx1=x2x_1 = x_2であるから、ffは単射である。また、11以上の実数yyに対してx=y−1x = \sqrt{y-1}とおくと、y−1≥0y - 1 \ge 0であるからxxは00以上の実数であり、f(x)=(y−1)+1=yf(x) = (y-1) + 1 = yである。よってffは全射であり、全単射である。

y=x2+1y = x^2 + 1をxxについて解くとx2=y−1x^2 = y - 1であり、x≥0x \ge 0であるからx=y−1x = \sqrt{y-1}である。したがってf−1(y)=y−1f^{-1}(y) = \sqrt{y-1}である。f−1f^{-1}の定義域はffの値域[1, ∞)[1,\,\infty)であり、f−1f^{-1}の値域はffの定義域[0, ∞)[0,\,\infty)である。変数の名前をそろえると、逆関数のグラフはy=x−1y = \sqrt{x-1}である。

注意 5.2 (記号f−1f^{-1}の読み方). 記号f−1f^{-1}は逆関数を表すものであり、1f\dfrac{1}{f}を表すものではない。−1-1を書く位置で両者を区別する。例 3.2のhhを例にとると、h−1(4)=2h^{-1}(4) = 2である一方、(h(4))−1=116\left(h(4)\right)^{-1} = \dfrac{1}{16}である。

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

次の関数の逆関数を求め、その定義域と値域も答えよ。

解法の型y == f(x) を x について解き、x と y を入れ替える。もとの関数の値域が逆関数の定義域になる（定義域と値域が入れ替わる）

  1. 関数 f(x) == (x-3)²（定義域 x ≥\ge 3）の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=(x−3)2(x≥3)f(x) = \left(x-3\right)^{2} \quad (x \ge 3)

  2. 関数 f(x) == (-1)/(2x-2) の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=−12x−2f(x) = \dfrac{-1}{2x-2}

  3. 関数 f(x) == (3x-1)/(x-3) の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=3x−1x−3f(x) = \dfrac{3x-1}{x-3}

  4. 関数 f(x) == (-x-2)/(x+1) の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=−x−2x+1f(x) = \dfrac{-x-2}{x+1}

  5. 関数 f(x) == (x+1)²（定義域 x ≥\ge -1）の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=(x+1)2(x≥−1)f(x) = \left(x+1\right)^{2} \quad (x \ge -1)

  6. 関数 f(x) == (x+2)²（定義域 x ≥\ge -2）の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=(x+2)2(x≥−2)f(x) = \left(x+2\right)^{2} \quad (x \ge -2)

  7. 関数 f(x) == x³ − 2 の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=x3−2f(x) = x^{3}-2

  8. 関数 f(x) == (-3x-3)/(2x-3) の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=−3x−32x−3f(x) = \dfrac{-3x-3}{2x-3}

  9. 関数 f(x) == (x-1)²（定義域 x ≥\ge 1）の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=(x−1)2(x≥1)f(x) = \left(x-1\right)^{2} \quad (x \ge 1)

  10. 関数 f(x) == (2x-3)/(x-3) の逆関数を求め、その定義域と値域を答えよ。

    f(x)=2x−3x−3f(x) = \dfrac{2x-3}{x-3}

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

次の関数の逆関数を求め、その定義域と値域も答えよ。

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