関数の概念とグラフ | 関数の性質

1 関数、定義域、値域

定義 1.1 (関数・定義域・値域). 集合 $D$ の各要素 $x$ に実数 $f(x)$ をただ一つ対応させる規則を、 $D$ 上の関数 (function) という。 $D$ を関数の定義域、 $\{f(x)\mid x\in D\}$ を関数の値域という。関数は、対応の規則と定義域をともに指定して定める。

たとえば $f(x)=\sqrt{x}$ を実数値の関数として扱うとき、根号の中身が $0$ 以上でなければならないため、定義域は $[0,\infty)$ 、値域も $[0,\infty)$ です。

例 1.2 (同じ式でも定義域が異なる二つの関数). $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ と $g:\mathbb R\to\mathbb R$ を、ともに $f(x)=x^2$ 、 $g(x)=x^2$ で定める。二つの式は同じであるが、 $f$ は負の入力を受け入れず、 $g$ は受け入れる。したがって $f$ と $g$ は別の関数である。

さらに、 $f$ と $g$ の値域はいずれも $[0,\infty)$ である。値域が同じであっても、定義域が異なれば関数は一致しない。

注意 1.3 (式を変形しても定義域は自動では広がらない). $h(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ の定義域は $\mathbb R\setminus\{1\}$ である。 $x\ne1$ では $h(x)=x+1$ と約分できるが、約分後の式 $x+1$ を定義域全体で扱う関数とは異なる。もとの関数では $x=1$ に値がない。

2 グラフ

定義 2.1 (関数のグラフ). 定義域 $D$ 上の関数 $f$ に対して、座標平面上の点 $(x,f(x))$ （ $x\in D$ ）の全体を $f$ のグラフという。

定理 2.2 (縦線による判定). 座標平面上の図形が、ある定義域上の実数値関数のグラフであるための必要十分条件は、各実数 $a$ に対し、直線 $x=a$ との共有点が高々一つであることである。

証明. 図形が定義域 $D$ 上の関数 $f$ のグラフであるとし、任意の実数 $a$ を固定する。 $a\notin D$ ならば直線 $x=a$ はグラフと交わらず、 $a\in D$ ならば共有点は $(a,f(a))$ だけである。したがって、各直線 $x=a$ とグラフとの共有点は高々一つである。

逆に、各直線 $x=a$ との共有点が高々一つである図形 $C$ に対して、 $D=\{a\in\mathbb R\mid (a,y)\in C\text{ となる実数 }y\text{ が存在する}\}$ とおく。各 $a\in D$ について $(a,y)\in C$ を満たす実数 $y$ は存在し、仮定によりただ一つである。その実数を $f(a)$ と定めると、 $f$ は $D$ 上の実数値関数であり、 $C$ は点 $(a,f(a))$ （ $a\in D$ ）の全体に一致する。ゆえに $C$ は $f$ のグラフである。▨

円 $x^2+y^2=1$ は、 $x=0$ で $y=1$ と $y=-1$ の二つの値をもつため、関数のグラフではありません。

3 演習

$f:[0,\infty)\to\mathbb R$ 、 $g:\mathbb R\to\mathbb R$ を、ともに $x\mapsto x^2$ で定める。 $f$ と $g$ が同じ関数でない理由を、定義域を用いて説明せよ。
$h(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ の定義域と、約分した後の式を答えよ。 $x=2$ を定義域に加えてよいかを説明せよ。
円 $x^2+y^2=4$ が関数のグラフでないことを、縦線による判定を用いて示せ。

証明 (演習の要点).

$f$ の定義域は $[0,\infty)$ 、 $g$ の定義域は $\mathbb R$ であり、たとえば $-1$ は $g$ の定義域だけに属する。したがって $f$ と $g$ は同じ関数ではない。
$h$ の定義域は $\mathbb R\setminus\{2\}$ であり、 $x\ne2$ では $h(x)=x+2$ である。もとの式は $x=2$ で分母が $0$ になるため、約分後も $2$ を定義域に加えることはできない。
直線 $x=0$ は円と $(0,2)$ 、 $(0,-2)$ の二点で交わる。したがって定理 2.2により、この円は実数値関数のグラフではない。

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§B2.1関数の概念とグラフ

1 関数、定義域、値域

2 グラフ

3 演習

例題

演習

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