1 平行移動
定理 1.1 (平行移動の式と定義域).f:D→Rを関数とし、p,qを実数とする。y=f(x)のグラフを右へp、上へqだけ平行移動したグラフは
y=f(x−p)+q
で表される。変換後の定義域はD+p={x+p∣x∈D}、値域はf(D)+q={y+q∣y∈f(D)}である。
証明. 移動後の任意の点(x,y)を固定すると、対応する移動前の点は(x−p,y−q)である。したがってy−q=f(x−p)、すなわちy=f(x−p)+qが成り立つ。さらに、x−p∈Dとx∈D+pは同値であるから、変換後の定義域はD+pである。y−q∈f(D)とy∈f(D)+qも同値であるから、変換後の値域はf(D)+qである。▨
例 1.2 (半直線のグラフを移動する).f(x)=x（定義域[0,∞)、値域[0,∞)）を右へ2、下へ3だけ移動する。変換後の関数はy=x−2−3、定義域は[2,∞)、値域は[−3,∞)である。
2 対称移動
定理 2.1 (対称移動の式).f:D→Rを関数とする。y=f(x)のグラフをx軸、y軸、原点に関して対称移動したグラフは、それぞれ
y=−f(x),y=f(−x),y=−f(−x)
で表される。x軸対称の定義域と値域はそれぞれDと−f(D)={−y∣y∈f(D)}、y軸対称の定義域と値域はそれぞれ−D={−x∣x∈D}とf(D)、原点対称の定義域と値域はそれぞれ−Dと−f(D)である。
証明. もとのグラフ上の任意の点(x,f(x))を固定する。x軸、y軸、原点に関する対称移動によって、この点はそれぞれ(x,−f(x))、(−x,f(x))、(−x,−f(x))へ移る。第一の点では入力がx、出力が−f(x)であるから、式はy=−f(x)、定義域はD、値域は−f(D)である。第二の点で新しい入力をu=−xとおくと、出力はf(−u)であるから、式はy=f(−u)、定義域は−D、値域はf(D)である。第三の点でもu=−xとおくと、出力は−f(−u)であるから、式はy=−f(−u)、定義域は−D、値域は−f(D)である。▨
例 2.2 (定義域と値域を含む対称移動).y=xをy軸に関して対称移動するとy=−xとなる。定義域は(−∞,0]、値域は[0,∞)である。x軸に関して対称移動するとy=−xとなり、定義域は[0,∞)、値域は(−∞,0]である。
3 演習
- y=xを左へ1、上へ2だけ平行移動した式、定義域、値域を求めよ。
- y=xをy軸、次にx軸に関して対称移動した式、定義域、値域を求めよ。
証明 (演習の要点). 1 の式はy=x+1+2、定義域は[−1,∞)、値域は[2,∞)である。2 の式はy=−−x、定義域は(−∞,0]、値域は(−∞,0]である。▨