分数関数・無理関数 | 関数の性質

1 分数関数

定義 1.1 (分数関数). 実係数多項式 $P(x)$ と、零多項式でない実係数多項式 $Q(x)$ を用いて

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

と表される関数を分数関数 (rational function) という。その定義域は $Q(x)\ne0$ を満たす実数全体である。

例 1.2 (約分しても穴は残る). $f(x)=\dfrac{2x+4}{x+2}$ の定義域は $x\ne-2$ である。 $x\ne-2$ では $f(x)=2$ であるが、 $x=-2$ における値は定義されていない。グラフは点 $(-2,2)$ を除いた水平な直線であり、水平線全体でも双曲線でもない。

注意 1.3 (漸近線を述べる条件). $c\ne0$ とする。 $ad-bc\ne0$ ならば

\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\frac{1}{x+d/c} =\frac{k}{x-p}+q,

ただし

p=-\frac dc,\qquad q=\frac ac,\qquad k=\frac{bc-ad}{c^2}\ne0

である。定義域から $x=p$ が除かれ、 $x=p$ と $y=q$ が漸近線になる。一方、 $ad-bc=0$ ならば $k=0$ となり、関数は $x=p$ を除いて定数 $q$ に等しい。この場合のグラフには穴があり、 $x=p$ は漸近線ではない。

例 1.4 (一次分数関数のグラフ). $f(x)=\dfrac{1}{x-1}+2$ とする。分母が $0$ でない条件から定義域は $\mathbb R\setminus\{1\}$ である。 $y=f(x)$ とおくと $y-2=1/(x-1)$ であるから $y\ne2$ であり、逆に $y\ne2$ に対して $x=1+1/(y-2)$ とおけば $f(x)=y$ となる。したがって値域は $\mathbb R\setminus\{2\}$ である。 $x=1$ と $y=2$ が漸近線である。

2 無理関数

定義 2.1 (無理関数). 実数値関数 $R$ に対して $f(x)=\sqrt{R(x)}$ と表される関数を無理関数 (irrational function) と呼び、その定義域は $R(x)$ が定義され、かつ $R(x)\ge0$ を満たす実数 $x$ 全体である。

例 2.2 (根号の定義域). $g(x)=\sqrt{2x-6}$ の定義域は $2x-6\ge0$ 、すなわち $x\ge3$ である。 $g(x)\ge0$ であり、任意の $y\ge0$ に対して $x=(y^2+6)/2$ とおけば $g(x)=y$ となるので、値域は $[0,\infty)$ である。グラフは端点 $(3,0)$ から右上へ延びる。また、 $g(x)$ は負の値をとらないため、方程式 $\sqrt{2x-6}=-1$ は解をもたない。

3 両辺を二乗する場合

定理 3.1 (二乗は一般には同値変形でない). 実数 $A$ 、 $B$ について $A=B$ ならば $A^2=B^2$ である。しかし $A^2=B^2$ からは $A=B$ または $A=-B$ が従うだけであり、一般には $A=B$ は従わない。

証明. 実数 $A,B$ をとる。等式

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

が成り立つ。 $A=B$ ならば $A^2=B^2$ である。一方、 $A^2=B^2$ ならば $(A-B)(A+B)=0$ であるから、 $A=B$ または $A=-B$ である。実際、 $A=1$ 、 $B=-1$ では $A^2=B^2$ であるが $A\ne B$ であるため、逆向きは一般には成り立たない。▨

例 3.2 (無縁解を除く). $\sqrt{x+1}=x-1$ を解く。根号の内部が $0$ 以上であるためには $x\ge-1$ が必要であり、左辺が $0$ 以上であるためには $x-1\ge0$ 、すなわち $x\ge1$ が必要である。この条件のもとで両辺を二乗すると

x+1=(x-1)^2,

すなわち $x^2-3x=0$ となり、候補 $x=0,3$ を得る。 $x=0$ は必要条件 $x\ge1$ を満たさず、もとの式も満たさない。 $x=3$ はもとの式を満たす。したがって、解は $x=3$ だけである。

4 演習

$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ の定義域と、約分後の式を答えなさい。穴の位置も答えなさい。
$\sqrt{3-x}$ の定義域と値域を答えなさい。
$\sqrt{x+2}=x$ を解き、二乗で得た候補をもとの式へ代入して確認しなさい。
$\dfrac1{x-1}+2$ と $\sqrt{2x-6}$ について、定義域と値域を記し、前者では漸近線、後者では端点を示してグラフの概形を描きなさい。

解答 (演習の解答).

分母が $0$ にならないため、定義域は $x\ne1$ である。 $x\ne1$ では

\frac{x^2-1}{x-1}=x+1

である。 $x=1$ における値は定義されていないので、穴の位置は $(1,2)$ である。 2. 根号の内部について $3-x\ge0$ が必要であるから、定義域は $x\le3$ である。関数の値は $0$ 以上であり、任意の $y\ge0$ に対して $x=3-y^2$ とおけば $\sqrt{3-x}=y$ となる。したがって、値域は $[0,\infty)$ である。 3. 根号の内部と右辺の符号から $x\ge0$ が必要である。両辺を二乗すると

x+2=x^2,

すなわち $(x-2)(x+1)=0$ であるから、候補は $x=2,-1$ である。 $x=-1$ は $x\ge0$ を満たさず、もとの式も満たさない。 $x=2$ は $\sqrt{2+2}=2$ を満たす。したがって、解は $x=2$ だけである。 4. $f(x)=1/(x-1)+2$ の定義域は $\mathbb R\setminus\{1\}$ 、値域は $\mathbb R\setminus\{2\}$ であり、漸近線は $x=1$ と $y=2$ である。グラフは二つの漸近線に近づく二つの枝からなる。 $g(x)=\sqrt{2x-6}$ の定義域は $[3,\infty)$ 、値域は $[0,\infty)$ である。グラフは端点 $(3,0)$ から右上へ延びる。▨

§B2.9分数関数・無理関数

1 分数関数

2 無理関数

3 両辺を二乗する場合

4 演習

例題

演習

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