§B2.14関数方程式入門

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関数方程式では、未知数は数ではなく関数です。以下では、問題文に定義域と終域を指定した関数だけを扱い、式に現れる入力が定義域に属することを常に確認します。

定義 1 (関数方程式). 定義域DD、終域EEをもつ未知の関数f:D→Ef:D\to Eに対して、DDの要素に関する等式を課し、その等式を満たす関数を求める問題を関数方程式という。

関係式がすべての入力で成り立つとき、00、互いに反対の数、等しい数などを代入して情報を取り出します。得た候補を最後に元の等式へ代入し、十分性を確かめます。

1 コーシーの関数方程式

定理 1.1 (連続な加法的関数の分類). 連続な関数f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb Rが、すべての実数x,yx,yについて

f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)

を満たすとする。このとき、c=f(1)c=f(1)とおけば、すべての実数xxについてf(x)=cxf(x)=cxである。逆に、任意の実数ccに対してx↦cxx\mapsto cxはこの等式を満たす。

証明. まずx=y=0x=y=0を代入するとf(0)=2f(0)f(0)=2f(0)であるからf(0)=0f(0)=0です。正の整数nnに対しては、等式を繰り返し用いてf(nx)=nf(x)f(nx)=nf(x)が成り立ちます。f(0)=f(x+(−x))f(0)=f(x+(-x))からf(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)であるため、これはすべての整数nnに拡張されます。

nnを正の整数とすると、f(x)=f(n⋅x/n)=nf(x/n)f(x)=f(n\cdot x/n)=nf(x/n)であるからf(x/n)=f(x)/nf(x/n)=f(x)/nです。したがって有理数q=m/nq=m/nについて

f(q)=f(mn)=mf(1n)=mnf(1)=cqf(q)=f\left(\frac mn\right)=m f\left(\frac1n\right)=\frac mn f(1)=cq

が成り立ちます。

実数xxを任意にとります。実数の連続性（上限公理） の§D1.4 系 2.2が示す有理数の稠密性により、各正の整数kkに対して∣qk−x∣<1/k|q_k-x|<1/kを満たす有理数qkq_kを選ぶことができます。するとqk→xq_k\to xです。ffはxxで連続であるからf(qk)→f(x)f(q_k)\to f(x)です。一方f(qk)=cqk→cxf(q_k)=cq_k\to cxであるため、極限の一意性からf(x)=cxf(x)=cxです。

最後にf(x)=cxf(x)=cxを元の等式へ代入するとc(x+y)=cx+cyc(x+y)=cx+cyであり、十分性も確かめられます。▨

注意 1.2 (連続性を外す場合). 連続性を仮定しない加法的関数について、本記事の証明は有理数上までしか結論を与えません。実数全体での非連続な解の構成と分類は、本記事の範囲外です。

2 代入で決まる例

例 2.1 (二つの式を連立する). すべての実数xxについて2f(x)+f(−x)=3x+62f(x)+f(-x)=3x+6が成り立つとする。xxを−x-xに置き換えると2f(−x)+f(x)=−3x+62f(-x)+f(x)=-3x+6です。最初の式を2倍して後の式を引けば3f(x)=9x+63f(x)=9x+6、したがってf(x)=3x+2f(x)=3x+2です。元の式へ代入すると確かに成り立ちます。

注意 2.2 (本記事で扱う範囲). 指数型、対数型、三角関数型の関数方程式や、正則性の仮定を変えた一般分類は本記事では扱いません。競技数学としてのより複雑な関数方程式は 雑多な話題 が扱います。

3 演習

  1. 連続なf:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb Rが加法的でf(1)=5f(1)=5を満たすとき、f(x)f(x)を求めなさい。証明では、有理数上の値を定める段階と、連続性を用いる段階を分けなさい。
  2. すべての実数xxについて2f(x)+f(−x)=4x−32f(x)+f(-x)=4x-3を満たす関数を求め、元の式へ代入して確認しなさい。

証明 (演習の要点). 1 は定理 1.1をc=5c=5に適用してf(x)=5xf(x)=5xを得る。2 はxxと−x-xの二式を連立してf(x)=4x−1f(x)=4x-1を得る。どちらも最後に関係式へ代入して十分性を確かめる。▨

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

次の関数方程式と条件を満たす関数 f を求めよ。

解法の型代入（x == 0, y == x, x を −x に）で手がかりを取り出し、有理点を押さえてから連続性で実数全体へ延ばす。多項式に限る場合は係数比較で決まる

  1. 多項式 f が、すべての実数 x で f(x+1) == f(x) + 4x-1 を満たし、f(0) == -3 である。f を求めよ。

    f(x+1)=f(x)+4x−1,f(0)=−3,f は多項式f(x+1) = f(x) + 4x-1,\qquad f(0) = -3,\qquad f \text{ は多項式}

  2. すべての実数 x, y で f(x+y) == f(x) + f(y) を満たす連続関数 f で、f(1) == -2 であるものを求めよ。

    f(x+y)=f(x)+f(y)(すべての実数 x, y),f は連続,f(1)=−2f(x+y) = f(x) + f(y)\quad(\text{すべての実数 } x,\ y),\qquad f \text{ は連続},\qquad f(1) = -2

  3. すべての実数 x で 2f(x) + f(−x) == -3x-3 を満たす関数 f を求めよ。

    2f(x)+f(−x)=−3x−3(すべての実数 x)2f(x) + f(-x) = -3x-3\quad(\text{すべての実数 } x)

  4. 多項式 f が、すべての実数 x で f(x+1) == f(x) + 6x+4 を満たし、f(0) == 2 である。f を求めよ。

    f(x+1)=f(x)+6x+4,f(0)=2,f は多項式f(x+1) = f(x) + 6x+4,\qquad f(0) = 2,\qquad f \text{ は多項式}

  5. すべての実数 x, y で f(x+y) == f(x) + f(y) を満たす連続関数 f で、f(1) == 3 であるものを求めよ。

    f(x+y)=f(x)+f(y)(すべての実数 x, y),f は連続,f(1)=3f(x+y) = f(x) + f(y)\quad(\text{すべての実数 } x,\ y),\qquad f \text{ は連続},\qquad f(1) = 3

  6. すべての実数 x で 2f(x) + f(−x) == -4x-3 を満たす関数 f を求めよ。

    2f(x)+f(−x)=−4x−3(すべての実数 x)2f(x) + f(-x) = -4x-3\quad(\text{すべての実数 } x)

  7. 多項式 f が、すべての実数 x で f(x+1) == f(x) + 2x+2 を満たし、f(0) == 2 である。f を求めよ。

    f(x+1)=f(x)+2x+2,f(0)=2,f は多項式f(x+1) = f(x) + 2x+2,\qquad f(0) = 2,\qquad f \text{ は多項式}

  8. すべての実数 x で 2f(x) + f(−x) == x-6 を満たす関数 f を求めよ。

    2f(x)+f(−x)=x−6(すべての実数 x)2f(x) + f(-x) = x-6\quad(\text{すべての実数 } x)

  9. すべての実数 x, y で f(x+y) == f(x) + f(y) を満たす連続関数 f で、f(1) == -1 であるものを求めよ。

    f(x+y)=f(x)+f(y)(すべての実数 x, y),f は連続,f(1)=−1f(x+y) = f(x) + f(y)\quad(\text{すべての実数 } x,\ y),\qquad f \text{ は連続},\qquad f(1) = -1

  10. すべての実数 x, y で f(x+y) == f(x) + f(y) を満たす連続関数 f で、f(1) == 1 であるものを求めよ。

    f(x+y)=f(x)+f(y)(すべての実数 x, y),f は連続,f(1)=1f(x+y) = f(x) + f(y)\quad(\text{すべての実数 } x,\ y),\qquad f \text{ は連続},\qquad f(1) = 1

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

次の関数方程式と条件を満たす関数 f を求めよ。

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