§E8.26正多角形の作図

証明.$m$に関する帰納法を用いる。$m=0$では自明である。$m>0$とする。有限$2$群の中心に関する定理を類等式から導く。$G$を共役によって自身へ作用させる。中心の元の軌道は一点であり、中心に属さない$x\in G$の軌道の大きさは

である。$C_G(x)$は$G$の真の部分群なので、この指数は$2$の正の冪であり、偶数である。共役類を中心の一点軌道とそれ以外の軌道に分けると

となる。左辺と総和の各項が偶数なので、$|Z(G)|$も偶数である。したがって$Z(G)$は非自明である。

$1\ne z\in Z(G)$を取る。Lagrange の定理により$z$の位数は$2$の正の冪$2^r$である。$z^{2^{r-1}}$は位数$2$の中心元であるため、この元が生成する部分群を$N$とすると$N\trianglelefteq G$かつ$|N|=2$である。

$G/N$は位数$2^{m-1}$の群なので、帰納法の仮定による指数$2$の列をもつ。その列を商写像によって$G$へ引き戻すと、$G$から$N$までの各段が指数$2$の正規包含である列を得る。最後に$N\triangleright\{1\}$を加えれば求める列になる。▨

証明.$q^e$を法とする$q^e$個の剰余類のうち、単元でない類は$q$で割り切れる類に限る。そのような類は

の$q^{e-1}$個である。したがって

となる。

次に$(m,n)=1$とする。剰余類の写像

を考える。$\Psi([x]_{mn})=\Psi([y]_{mn})$なら$m$と$n$はともに$x-y$を割る。互いに素であることから$mn$が$x-y$を割るため、$\Psi$は単射である。Bézout の等式$rm+sn=1$を満たす整数$r,s$を取る。任意の剰余類の組$([a]_m,[b]_n)$に対して

とおけば$x\equiv a\pmod m$かつ$x\equiv b\pmod n$なので、$\Psi$は全射でもある。

$[x]_{mn}$が単元であることは$(x,mn)=1$と同値であり、これは$(x,m)=1$かつ$(x,n)=1$と同値である。したがって$\Psi$は単元群の間の全単射も与える。両辺の単元の個数を数えると$\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$を得る。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。正$n$角形が作図可能なら、命題 1により$\zeta_n$は作図可能である。§E8.20 定理 2.4は

を与えるため、作図可能数の次数に対する必要条件§E8.25 系 2.2により$\varphi(n)$は$2$の冪である。

逆に$\varphi(n)=2^m$とする。§E8.20 定理 2.4により$L=\mathbb Q(\zeta_n)$は$\mathbb Q$上の有限 Galois 拡大であり、

である。補題 1.1の列を取り、$E_j=L^{H_j}$とおく。Galois の基本定理§E8.10 定理 4.1によって

となる。したがって§E8.25 定理 2.1により$\zeta_n$は作図可能であり、命題 1により正$n$角形を作図することができる。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。$n$の素因数分解を

と書く。ただし$q_j$は相異なる奇素数である。補題 1.2を互いに素な素数冪へ反復して適用すると

を得る。ここで$a=0$なら$\varphi(2^a)=\varphi(1)=1$とする。$\varphi(n)$が$2$の冪なら、奇数$q_j^{e_j-1}$は$1$でなければならないため$e_j=1$である。また$q_j-1$は式 (1) の約数なので、これも$2$の冪である。

$q_j=1+2^b$と書く。$b$が$2$の冪でないなら$b=2^s c$と書ける奇数$c>1$が存在する。このとき

は、$c$が奇数であるため$2^{2^s}+1$で割り切れ、素数であることに反する。ゆえに$b=2^s$であり、$q_j=2^{2^s}+1$は Fermat 素数である。これで(3)が従う。

逆に(3)を仮定する。各$p_j=2^{2^{s_j}}+1$は一度だけ現れるため

である。また$\varphi(2^a)$も$2$の冪である。式 (1) により$\varphi(n)$は$2$の冪となる。▨