§E8.10有限次 Galois 理論

証明.$E=F(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$と書き、$F_i=F(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$とおく。$\tau_{i-1}:F_{i-1}\to\Omega$が構成されているとする。$\alpha_i$の$F_{i-1}$上の最小多項式を$m_i$とする。$\tau_{i-1}$を係数へ施した多項式$\tau_{i-1}m_i$は、代数的閉体$\Omega$に根$\beta_i$をもつ。§E8.8 補題 2.1により、$\alpha_i\mapsto\beta_i$として$\tau_{i-1}$を$F_i$へ延長することができる。この操作を有限回反復して得られる$\tau_r$が$\widetilde\tau$である。この証明は最小多項式の分離性を仮定していない。▨

証明. 非自明な関係が存在すると仮定し、非零係数をもつ項の個数が最小の関係を取る。番号を付け直して、すべての$c_i$が非零であるとする。項が一つなら$x=1$を代入して矛盾するため、$n\ge2$である。

$\sigma_1\ne\sigma_n$なので、$\sigma_1(y)\ne\sigma_n(y)$となる$y\in L$が存在する。$x$を$xy$に置き換えた関係から、元の関係の$\sigma_n(y)$倍を引くと

を得る。第一係数は非零なので、この式は元より項数が少ない非自明な関係である。最小性に反するため、非自明な関係は存在しない。▨

証明.$H=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$、$K=L^H$とおく。

まず$[L:K]\ge n$を示す。$[L:K]=d<n$と仮定し、$w_1,\ldots,w_d$を$L$の$K$-基底とする。$n$個のベクトル

は$L$上一次従属である。したがって、すべてが零ではない$c_1,\ldots,c_n\in L$が存在して$\sum_i c_i\sigma_i(w_j)=0$が各$j$について成り立つ。任意の$x\in L$を$x=\sum_j a_jw_j$、$a_j\in K$と書くと、各$\sigma_i$は$K$を固定するので

となる。これは補題 2.1に反する。

次に$[L:K]\le n$を示す。$[L:K]>n$と仮定し、$K$上一次独立な$\alpha_1,\ldots,\alpha_{n+1}\in L$を取る。未知数$x_1,\ldots,x_{n+1}\in L$に関する方程式

は、未知数の個数が式の個数より多いので非自明解をもつ。非零成分の個数が最小の非自明解を取り、番号を付け直して$x_1\ne0$とし、全成分を$x_1$で割って$x_1=1$とする。

すべての$x_j$が$K$に属すれば、恒等写像に対応する式 (2) が$\alpha_j$の非自明な$K$-係数一次関係になる。したがって、ある$x_k$は$K$に属さず、ある$\tau\in H$について$\tau(x_k)\ne x_k$である。式 (2) の各式へ$\tau$を施すと、$\tau\sigma_i$は$H$の元を並べ替えるため、$(\tau(x_1),\ldots,\tau(x_{n+1}))$も同じ方程式系の解である。元の解との差も解であり、第一成分は$1-1=0$、第$k$成分は非零である。この差は元の解より非零成分が少ない非自明解なので、最小性に反する。

二つの不等式から$[L:K]=n=|H|$を得る。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。$L^G$は$K$を含む。Artin の固定体定理定理 2.2を有限群$G$へ適用すると

である。したがって$L^G=K$と$|G|=[L:K]$は同値である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$G$は$K$-埋め込み$L\to\Omega$の集合に含まれる。§E8.8 定理 2.3により

両端が等しいので、すべての不等式が等号である。したがって$L/K$は分離的であり、すべての$K$-埋め込み$L\to\Omega$は$G$に属するため、その像は$L$である。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。$\alpha\in L$とし、$\beta\in\Omega$を$m_{\alpha,K}$の根とする。$\alpha\mapsto\beta$は$K$-同型$K(\alpha)\to K(\beta)$を定める。補題 1.3により、この同型は$K$-埋め込み$L\to\Omega$へ延長する。(3)により像は$L$なので$\beta\in L$である。また$L/K$は分離的なので$m_{\alpha,K}$に重根はない。ゆえに$m_{\alpha,K}$は$L[x]$で相異なる一次式の積に分解する。

(4)$\Rightarrow$(3)を示す。(4)から各元の最小多項式は分離的なので、$L/K$は分離拡大である。$\tau:L\to\Omega$を$K$-埋め込みとする。各$\alpha\in L$について$\tau(\alpha)$は$m_{\alpha,K}$の根であり、(4)により$L$に属する。したがって$\tau(L)\subseteq L$である。$\tau$は有限次元$K$-線形空間$L$の単射線形自己写像なので全射であり、$\tau(L)=L$となる。

(2)$\Rightarrow$(5)を示す。既に示した(3)と原始元定理§E8.9 定理 3.1により$L=K(\alpha)$となる$\alpha$を取ることができる。$m=m_{\alpha,K}$とすると、(4)により

であり、根は相異なる。したがって

となる。最後の同型は中国剰余定理による。この合成は$a\otimes b$を$(a\sigma(b))_{\sigma}$へ写すので、式 (1) の$\Phi_{L/K}$である。

(5)$\Rightarrow$(2)を示す。定義域の$L$-次元は$[L:K]$、終域の$L$-次元は$|G|$なので、同型なら$[L:K]=|G|$である。以上ですべての条件が同値になった。▨

証明.$H\le G$とする。定義から$H\subseteq\operatorname{Gal}(L/L^H)$である。定理 2.2により$[L:L^H]=|H|$なので、埋め込み数の評価から$|\operatorname{Gal}(L/L^H)|\le[L:L^H]=|H|$である。したがって$\operatorname{Gal}(L/L^H)=H$となる。

中間体$M$を取る。$\alpha\in L$の$M$上の最小多項式は、$K$上の最小多項式を$M[x]$で割り切る。定理 3.1 (4)により後者は$L[x]$で相異なる一次式の積に分解するため、前者も同じ性質をもつ。したがって$L/M$は Galois 拡大であり、$L^{\operatorname{Gal}(L/M)}=M$である。二つの対応が互いに逆であることが示された。包含が反転することは定義から従う。次数の二式は Artin の固定体定理と塔の公式から従う。

正規部分群と商群の主張を示す。まず、任意の$\sigma\in G$と$H\le G$に対して

である。実際、$a\in L^H$なら$(\sigma h\sigma^{-1})(\sigma a)=\sigma h(a)=\sigma a$であり、逆向きは$\sigma^{-1}$を用いて得られる。したがって$H$が正規であることと、対応する$M=L^H$がすべての$\sigma\in G$で$\sigma(M)=M$を満たすことは同値である。

$H$が正規なら、制限写像

が定義され、その核は$H$である。この写像は全射である。実際、$\tau\in\operatorname{Gal}(M/K)$を$M\to L\subseteq\Omega$という$K$-埋め込みとみなし、補題 1.3で$L\to\Omega$へ延長する。$L/K$は Galois なので定理 3.1 (3)により延長の像は$L$であり、延長は$G$の元である。準同型定理から$G/H\cong\operatorname{Gal}(M/K)$を得る。また

なので、定理 3.1 (2)により$M/K$は Galois 拡大である。

逆に$M/K$が Galois 拡大なら、$\sigma\in G$と$a\in M$に対して$\sigma(a)$は$m_{a,K}$の根である。この最小多項式は$M[x]$で分解するため$\sigma(a)\in M$であり、$\sigma(M)=M$となる。式 (3) により$H$は正規である。▨

証明.$L$は$f$の根で生成される。各根は$K$上分離的なので、§E8.8 系 2.4により$L/K$は分離拡大である。また、任意の$K$-埋め込み$L\to\Omega$は$f$の根を$f$の根へ写すため、$L$を保つ。定理 3.1 (3)により$L/K$は Galois 拡大である。

$G=\operatorname{Gal}(L/K)$は$f$の相異なる$n$個の根を置換する。すべての根を固定する自己同型は、それらで生成される$L$の全元を固定するため恒等写像である。したがって作用は単射準同型$G\hookrightarrow S_n$を与える。Lagrange の定理と$[L:K]=|G|$により

を得る。▨

証明. 各$\tau\in G$に対する式 (4) の写像は、テンソル積上の誘導写像$\operatorname{id}_L\otimes\tau$である（§E6.14 命題 6.1）。したがって写像は良定義な$K$線形自己同型であり、群作用の等式から左$R$加群構造が定まる。

$e_1,\ldots,e_n$を$L$の$K$-基底とする。写像

を考える。基底の双対写像$e_i^*:L\to K$を第一因子へ施すと各$y_i$を回収できるため、式 (6) の表示は一意である。逆写像は$(y_i)_i\mapsto\sum_i e_i\otimes y_i$であり、$G$は第二因子と各成分だけへ作用する。よって$\alpha$は$R$線形同型である。

次に、定理 3.1 (5)の自己テンソル積同型

を用いる。この同型へ至る固定体と次数の議論は補題 2.1を用いている。終域に

と作用させる。純テンソルについて

であるから、$\Phi$は$R$線形同型である。

$v=(v_\sigma)_{\sigma\in G}$の各成分を基底表示

で書き、

と定める。係数族$(c_{i,\sigma})$と群環の係数は一対一に対応するため、$\beta$は$K$線形全単射である。さらに、$\rho=\sigma\tau$と添字を置き換えると

となる。したがって$\beta:\prod_{\sigma\in G}L\to R^{\oplus n}$は$R$線形同型である。$\alpha$と$\beta\circ\Phi$が式 (5) の二つの同型を与える。▨

証明.§E6.26 定理 2.2により、$M$と$N$を有限個の直既約加群の直和へ分解できる。両方の分解に現れる直既約加群の同型類を$U_1,\ldots,U_s$とし、その多重度をそれぞれ$a_j,b_j$と書く。零回の直和を許せば

となる。仮定の同型と Krull–Schmidt の一意性から、各$j$について

を得る。$r\ge1$なので整数の等式として$r$を消去でき、$a_j=b_j$となる。したがって二つの直既約分解は置換を除いて一致し、$M\cong N$である。▨

証明.$n=[L:K]=|G|$、$R=K[G]$と置く。命題 5.2により

が左$R$加群として成り立つ。$L$と$R$は有限次元$K$-ベクトル空間である。$R$-部分加群の真の包含鎖は$K$-部分空間の次元を真に増加させるため、$L$と$R$は有限長$R$加群である。補題 5.3を$r=n$として適用すると、左$R$加群同型

を得る。群環の単位元に対応する群の単位元を$1_G$と書き、$\theta=f(1_G)$と置く。任意の$\sigma\in G$について$R$線形性から

である。群の元$\sigma\in G$は$R$の$K$-基底をなすため、その像$\{\sigma(\theta)\mid\sigma\in G\}$は$L$の$K$-基底である。▨