代数閉包 | 体論入門 | 天游ヶ丘数理学院

定義 1.1. 体 $\Omega$ が代数的閉体 (algebraically closed field) であるとは、 $\Omega[t]$ の任意の非定数多項式が $\Omega$ に根をもつことをいう。

体 $K$ の拡大 $\Omega/K$ が代数的閉包 (algebraic closure) であるとは、 $\Omega/K$ が代数拡大であり、 $\Omega$ が代数的閉体であることをいう。

命題 1.2. 体 $\Omega$ に対して、次の二条件は同値である。

$\Omega$ は代数的閉体である。
次数 $n\geq1$ の任意の多項式 $f\in\Omega[t]$ に対して、 $c\in\Omega^\times$ と、重複を許した元 $a_1,\ldots,a_n\in\Omega$ が存在して $f(t)=c\prod_{i=1}^n(t-a_i)$ が成り立つ。

証明.(1)を仮定する。 $n=1$ ならば、 $f(t)=ct+b$ と書き、 $a_1=-c^{-1}b$ と置くと $f(t)=c(t-a_1)$ となる。 $n>1$ とし、次数が $n$ より小さい多項式に対して結論を仮定する。(1)から $f$ は根 $a_1\in\Omega$ をもつ。因数定理§E6.28 定理 4.2により、次数 $n-1$ の多項式 $q\in\Omega[t]$ が存在して $f(t)=(t-a_1)q(t)$ となる。 $q$ の最高次係数は $f$ の最高次係数 $c$ に等しい。帰納法の仮定を $q$ に適用すると、重複を許した $a_2,\ldots,a_n\in\Omega$ が存在して

q(t)=c\prod_{i=2}^n(t-a_i)

となり、所要の分解を得る。

(2)を仮定し、非定数多項式 $f\in\Omega[t]$ を任意に取る。 $f$ の次数を $n$ とすると $n\geq1$ である。(2)の分解に現れる $a_1$ を代入すると $f(a_1)=0$ となる。したがって、 $\Omega$ 上の任意の非定数多項式は $\Omega$ に根をもち、 $\Omega$ は代数的閉体である。▨

補題 2.1. 任意の体 $L$ に対して、 $L$ 上代数的な拡大体 $L^+$ で、 $L[t]$ のすべての非定数多項式が $L^+$ に根をもつものが存在する。

証明. 不定元 $t$ を固定し、各非定数多項式 $f\in L[t]\setminus L$ に対して不定元 $x_f$ を一つ用意する。多項式環

R_L:=L[x_f\mid f\in L[t]\setminus L]

とそのイデアル

I_L:=\bigl(f(x_f)\mid f\in L[t]\setminus L\bigr)

主張 2.1.1 (モニック多項式による商). $A$ を零環でない可換単位的 $L$ -代数とし、 $f\in L[t]$ の次数を $d\geq1$ とする。このとき、 $A[x]/(f(x))$ は

1,\bar x,\ldots,\bar x^{d-1}

を基底とする自由 $A$ -加群であり、零環ではない。

証明. 構造写像 $L\to A$ の核は体 $L$ のイデアルである。この写像は単位元を保ち、 $A$ は零環でないから、核は $L$ ではない。したがって核は $0$ であり、構造写像は単射である。

$f$ の最高次係数を $c\in L^\times$ とする。 $A$ における $c$ の像は単元であり、 $g:=c^{-1}f\in A[x]$ は次数 $d$ のモニック多項式である。 $c$ は単元であるため、 $(f(x))=(g(x))$ が成り立つ。

任意の $p\in A[x]$ を取る。 $p=0$ ならば $q=r=0$ とすればよい。 $p\neq0$ の場合には、 $p$ の次数が $d$ 以上である間、その最高次項 $a_mx^m$ を $a_mx^{m-d}g$ を引くことによって消去する。 $g$ の最高次係数が $1$ であるため、多項式が零になるか、次数が毎回真に下がる。したがって、有限回の操作の後に

p=qg+r, \qquad r=0\quad\text{または}\quad\deg r<d

となる $q,r\in A[x]$ を得る。この余りは一意的である。実際、 $qg+r=q'g+r'$ とし、 $h:=q-q'$ が非零であると仮定する。 $g$ はモニックであるから、 $hg$ の最高次係数は $h$ の最高次係数そのものであり、特に零ではない。ゆえに $\deg(hg)=\deg h+d\geq d$ である。一方、 $hg=r'-r$ の右辺は零であるか、次数が $d$ より小さいから矛盾する。したがって $h=0$ であり、 $r=r'$ となる。

この存在と一意性により、次数が $d$ より小さい多項式の係数列と商環 $A[x]/(g)$ とが $A$ -線形同型によって対応する。したがって、 $1,\bar x,\ldots,\bar x^{d-1}$ は $A[x]/(f(x))$ の基底である。 $A$ は零環でないからこの自由加群も零加群ではなく、 $A[x]/(f(x))$ は零環ではない。▨

$1\in I_L$ と仮定する。このとき、ある $r\geq1$ 、相異なる $f_1,\ldots,f_r\in L[t]\setminus L$ および $a_1,\ldots,a_r\in R_L$ が存在して

1=\sum_{j=1}^r a_jf_j(x_{f_j})

となる。この等式に現れる不定元のうち $x_{f_1},\ldots,x_{f_r}$ 以外のものを $z_1,\ldots,z_s$ とする。 $A_0:=L[z_1,\ldots,z_s]$ と置き、 $1\leq j\leq r$ に対して

A_j:=A_{j-1}[x_{f_j}]/\bigl(f_j(x_{f_j})\bigr)

と定める。 $A_0$ は零環ではない。上の主張を順に適用すると、すべての $A_j$ が零環でないことが分かる。

係数の包含から誘導される単位的環準同型を $\iota_j\colon A_{j-1}\to A_j$ とする。 $j<k$ に対して、 $\iota_{j,k}\colon A_j\to A_k$ を $\iota_{j+1},\ldots,\iota_k$ の合成とし、 $\iota_{j,j}$ は恒等写像とする。 $A_j$ における $x_{f_j}$ の剰余類を $\bar x_{f_j}$ と書く。係数写像 $L\to A_r$ を固定する。有限な順序 $z_1,\ldots,z_s,x_{f_1},\ldots,x_{f_r}$ に従い、一変数多項式環の普遍性§E6.1 定理 7.3を反復して適用する。各段階では、すでに構成した係数環から $A_r$ への準同型を、次の不定元を表示された $A_r$ の元へ送る準同型に拡張する。各段階の係数環と標的 $A_r$ は可換環であるため、指定した像は係数環の像を中心化し、普遍性の仮定を満たす。これにより、

z_k\longmapsto\iota_{0,r}(z_k), \qquad x_{f_j}\longmapsto\iota_{j,r}(\bar x_{f_j})

と指定する唯一の $L$ -代数準同型

\Phi\colon L[z_1,\ldots,z_s,x_{f_1},\ldots,x_{f_r}] \longrightarrow A_r

が定まる。各 $j$ に対して $f_j(\bar x_{f_j})=0$ が $A_j$ で成り立つから、 $\Phi(f_j(x_{f_j}))=0$ である。仮定した等式に $\Phi$ を適用すると $A_r$ で $1=0$ となる。この結論は $A_r$ が零環でないことに反する。したがって $I_L$ は真のイデアルである。

$R_L$ を単位元をもつ環とみなし、真の左イデアル $I_L$ に§E6.7 命題 3.2を適用する。 $I_L$ を含む極大左イデアル $\mathfrak m_L$ が存在する。 $R_L$ は可換環であるから、 $\mathfrak m_L$ は $R_L$ の極大イデアルである。したがって§E6.4 命題 3.2により、

L^+:=R_L/\mathfrak m_L

は体である。非零元 $c\in L$ は $R_L$ の単元であるから、 $c\notin\mathfrak m_L$ である。ゆえに自然な写像 $L\to L^+$ は単射であり、この写像によって $L^+$ を $L$ の拡大体とみなす。

任意の $f\in L[t]\setminus L$ に対して、 $x_f$ の剰余類 $\alpha_f\in L^+$ は $f(\alpha_f)=0$ を満たす。したがって、 $L$ 上のすべての非定数多項式は $L^+$ に根をもつ。

任意の $u\in L^+$ を取る。 $u\in L$ ならば $u$ は $L$ 上代数的である。 $u\notin L$ とする。 $u$ の代表多項式は定数ではないから、その代表多項式に現れる不定元は少なくとも一つで有限個である。したがって、ある $s\geq1$ と $f_1,\ldots,f_s\in L[t]\setminus L$ に対して

u\in L[\alpha_{f_1},\ldots,\alpha_{f_s}] \subseteq L(\alpha_{f_1},\ldots,\alpha_{f_s})

となる。各 $\alpha_{f_j}$ は $L$ 上代数的であるから、§E8.2 定理 4.2により $L(\alpha_{f_1},\ldots,\alpha_{f_s})/L$ は有限次拡大である。§E8.2 命題 4.1により、この中間体は $L$ 上代数的である。したがって、その元 $u$ は $L$ 上代数的であり、 $L^+/L$ は代数拡大である。▨

定理 2.2. 任意の体 $K$ は代数閉包をもつ。

証明. 体 $L$ に対して、前補題で定めた $R_L$ と $I_L$ 、 $I_L$ を含む極大イデアル $\mathfrak m_L$ 、商体 $R_L/\mathfrak m_L$ および自然な単射 $L\to R_L/\mathfrak m_L$ からなる有限組を一段階の資料と定める。有限な構成履歴は、体の有限列、隣り合う体の間の埋め込み、および各段階で用いる極大イデアルの有限列として符号化する。

長さ $0$ の初期履歴を $x_0:=K$ と表し、 $H_0:=\{x_0\}$ と置く。 $H_n$ が定まったとき、 $H_{n+1}$ を、 $H_n$ の各履歴の末尾の体 $L$ に対する一段階の資料を一つ付け加えて得られるすべての履歴の集合とする。候補となる $\mathfrak m_L$ の全体は $R_L$ のべき集合の部分集合である。したがって、分出、置換および合併によって $H_{n+1}$ は集合として定まる。この再帰的定義では、一つの候補を選ばず、すべての候補を次段に残している。ゆえに、 $H_n$ の構成自体に選択は要らない。

X:=\bigcup_{n\geq0}H_n

と置く。 $x_0\in X$ であるから $X$ は空ではない。 $h,h'\in X$ に対して、 $hRh'$ を、 $h'$ が $h$ に一段階の資料を付け加えた履歴であることと定める。前補題の証明により、任意の $h\in X$ に対して $hRh'$ を満たす $h'\in X$ が存在する。選択公理の下では§E1.20 定理 4.6により従属選択公理が成り立つ。これを空でない集合 $X$ と関係 $R$ に適用し、

h_nRh_{n+1} \qquad(n\geq0)

を満たす履歴の列 $(h_n)_{n\geq0}$ を得る。

$h_0$ はある $m\geq0$ に対して $H_m$ に属する有限履歴である。その体の列を

K_0=K\longrightarrow K_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow K_m

と書き、その各段階に記録された埋め込みと極大イデアルをそれぞれ $\iota_0,\ldots,\iota_{m-1}$ および $\mathfrak m_0,\ldots,\mathfrak m_{m-1}$ とする。 $n\geq1$ に対して、 $K_{m+n}$ を $h_n$ の末尾の体と定める。また、 $h_{n-1}Rh_n$ によって付け加わった埋め込みと極大イデアルをそれぞれ

\iota_{m+n-1}\colon K_{m+n-1}\longrightarrow K_{m+n}, \qquad \mathfrak m_{m+n-1}

と書く。この定義は $h_n$ が $h_{n-1}$ を一段階だけ延長することと整合する。このように、 $h_0$ の有限接頭辞と従属選択が与えた列の終端をつなぎ、 $K_0=K$ から始まる体の列を得る。各 $q\geq0$ に対して $K_{q+1}$ は対応する商体 $R_{K_q}/\mathfrak m_q$ である。補題 2.1により、 $K_{q+1}$ は $K_q$ 上代数的であり、 $K_q[t]$ のすべての非定数多項式は $K_{q+1}$ に根をもつ。

$n\leq m$ に対して、 $\iota_{n,m}\colon K_n\to K_m$ を連続する埋め込みの合成とし、 $\iota_{n,n}$ は恒等写像とする。直和集合

S:=\{(n,a)\mid n\geq0,\ a\in K_n\}

上の関係を、 $(n,a)\sim(m,b)$ が成り立つことを、ある $\ell\geq n,m$ に対して

\iota_{n,\ell}(a)=\iota_{m,\ell}(b)

が成り立つこととして定める。各 $\iota_n$ が単射であることから、 $\sim$ は同値関係である。 $\Omega:=S/{\sim}$ と置き、二つの元を共通の $K_\ell$ へ写してから和と積を取り、非零元を代表する元に対して逆元を取ることによって $\Omega$ の体構造を定める。同値関係の定義によりこれらの演算は代表元によらず、 $\Omega$ は体となる。準同型

j_n\colon K_n\longrightarrow\Omega, \qquad a\longmapsto[(n,a)]

は単射であり、 $j_{n+1}\circ\iota_n=j_n$ を満たす。

$j_n(K_n)$ を $\Omega$ の部分体とみなす。代数性の推移性§E8.2 定理 5.1を帰納的に適用すると、すべての $j_n(K_n)/j_0(K)$ が代数拡大であることが分かる。任意の $u\in\Omega$ はある $n$ に対して $j_n(K_n)$ に属するから、 $u$ は $j_0(K)$ 上代数的である。ゆえに $\Omega/j_0(K)$ は代数拡大である。

非定数多項式 $g\in\Omega[t]$ を取る。 $g$ の係数は有限個であるから、ある $n$ に対してすべての係数が $j_n(K_n)$ に属する。したがって、ある非定数多項式 $g_n\in K_n[t]$ が $j_n$ の係数ごとの適用によって $g$ へ写る。前補題により、 $g_n$ は $K_{n+1}$ に根 $b$ をもつ。すると $j_{n+1}(b)$ は $g$ の根である。よって $\Omega$ は代数的閉体である。 $K$ を $j_0(K)$ と同一視すると、 $\Omega/K$ は代数拡大であり $\Omega$ は代数的閉体である。したがって $\Omega$ は $K$ の代数的閉包である。▨

注意 2.3 (一意性). 得られる代数閉包が基礎体を固定する同型を除いて一意的に定まることは、「正規拡大と共役」の§E8.11 定理 5.2で証明する。

注意 2.4 (選択公理の使用範囲). 一段階の同時根添加では、§E6.7 命題 3.2が依拠する Zorn の補題を用いて、 $I_L$ を含む極大左イデアルを得る。Zorn の補題は選択公理と同値である。主定理では、有限な構成履歴の集合を各長さごとにすべて保持し、その全体を選択を用いずに集合として構成する。従属選択公理が与える任意の無限鎖の先頭はこのような有限履歴であるから、その有限接頭辞を鎖の後続部分の前に置くことによって、指定した基礎体 $K$ から始まる列を得る。各多項式の根を個別に選ぶ操作は行っておらず、一つの極大左イデアルによる商が一段階に必要なすべての根を同時に与える。

例 2.5 (有限部分で真性を確認する). $K=\mathbb Q$ とし、 $f_1(t):=t^2-2$ および $f_2(t):=t^2+1$ に対応する二つの関係式

x_{f_1}^2-2=0, \qquad x_{f_2}^2+1=0

だけを取り出す。有限個の根を逐次的に添加して得られる有限拡大 $\mathbb Q(\sqrt2,i)$ への評価準同型を

x_{f_1}\longmapsto\sqrt2, \qquad x_{f_2}\longmapsto i

で定めると、二つの関係式はともに $0$ へ写る。したがって、この有限部分が生成するイデアルは $1$ を含まない。一般の証明では、仮定した式 $1\in I_K$ に実際に現れる有限個の関係式と係数中の不定元を取り出し、根の逐次添加によって同じ真性確認を行う。

§E8.5代数閉包

1 代数閉体と代数閉包

2 代数閉包の存在

参考文献

前提記事