有限生成拡大と代数拡大 | 体論入門

1 生成される体と代数性

生成される体は、指定した元を含む中間体のうち最小のものとして定義する。

定義 1.1. 体の包含 $K\subseteq L$ と部分集合 $S\subseteq L$ に対し、 $K$ と $S$ を含む $L$ の部分体すべての共通部分を $K(S)$ と書く。有限個の元 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in L$ が存在して

L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)

となるとき、 $L/K$ を有限生成拡大 (finitely generated extension) と呼ぶ。特に、ある $\alpha\in L$ に対して $L=K(\alpha)$ となる拡大を単拡大 (simple extension) と呼ぶ。

多項式関係の有無によって、拡大体の元を代数的な元と超越的な元に分ける。

定義 1.2. 体の包含 $K\subseteq L$ と元 $\alpha\in L$ を考える。 $0$ でない多項式 $f\in K[x]$ が存在して $f(\alpha)=0$ となるとき、 $\alpha$ は $K$ 上代数的 (algebraic) であるという。そのような多項式が存在しないとき、 $\alpha$ は $K$ 上超越的 (transcendental) であるという。

$L$ のすべての元が $K$ 上代数的であるとき、 $L/K$ を代数拡大 (algebraic extension) と呼ぶ。

例えば、 $\sqrt2$ は $\mathbb Q$ 上代数的であり、 $x^2-2$ を満たす。一方、超越的であるという条件は、基礎体係数のどの非零多項式も満たさないという全称条件である。

有限生成性は体の塔に沿って合成することができる。

命題 1.3. 体の包含 $K\subseteq E\subseteq L$ を考える。 $E/K$ と $L/E$ が有限生成拡大ならば、 $L/K$ も有限生成拡大である。

証明. $E=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ および $L=E(\beta_1,\ldots,\beta_n)$ と書く。このとき

L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\beta_1,\ldots,\beta_n)

であるから、 $L/K$ は有限生成拡大である。▨

2 最小多項式

代数的な元を消す多項式全体は、多項式環の一つの非零イデアルをなす。

定理 2.1. 体の包含 $K\subseteq L$ と、 $K$ 上代数的な元 $\alpha\in L$ を考える。このとき、次の条件を満たす多項式 $m_{\alpha,K}\in K[x]$ が一意に存在する。

$m_{\alpha,K}$ はモニックかつ既約である。
$m_{\alpha,K}(\alpha)=0$ である。
任意の $f\in K[x]$ に対して、 $f(\alpha)=0$ であることと $m_{\alpha,K}\mid f$ であることは同値である。

証明. 写像

\operatorname{ev}_\alpha\colon K[x]\longrightarrow L, \qquad f\longmapsto f(\alpha)

は加法と乗法を保ち、 $K$ の各元をそのまま $L$ へ送るので $K$ -代数準同型である。その核を $I$ とおく。 $\operatorname{ev}_\alpha(1)=1$ であるから $I$ は真のイデアルであり、元 $\alpha$ は $K$ 上代数的であるから $I$ は零イデアルではない。§E6.28 命題 3.1により $K[x]$ は単項イデアル整域であるから、あるモニック多項式 $m\in K[x]$ が一意に存在して $I=(m)$ となる。この等式から、任意の $f\in K[x]$ について

f(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad f\in I \quad\Longleftrightarrow\quad m\mid f

が成り立つ。

多項式 $m$ が $m=gh$ と分解し、 $g,h$ がともに正の次数をもつと仮定する。体 $L$ には零因子がないため、

0=m(\alpha)=g(\alpha)h(\alpha)

から $g(\alpha)=0$ または $h(\alpha)=0$ が従う。したがって $m\mid g$ または $m\mid h$ となるが、 $\deg g,\deg h<\deg m$ であることに矛盾する。ゆえに $m$ は既約である。 $m_{\alpha,K}=m$ とおけば、三条件がすべて成り立つ。

同じ三条件を満たすモニック多項式 $m'$ が存在すると仮定する。第三条件から $m\mid m'$ かつ $m'\mid m$ であり、両者はモニックであるから $m=m'$ である。したがって三条件を満たす多項式は一意である。▨

定義 2.2. 体の包含 $K\subseteq L$ と、 $K$ 上代数的な元 $\alpha\in L$ を考える。定理 2.1によって一意に定まる多項式 $m_{\alpha,K}$ を、 $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式 (minimal polynomial) と呼ぶ。

基礎体を変えると最小多項式も変わる。例えば、 $\sqrt2$ の $\mathbb Q$ 上の最小多項式は $x^2-2$ であるが、 $\mathbb R$ 上の最小多項式は $x-\sqrt2$ である。

3 単拡大の商表示

最小多項式は、代数的な元を一つ添加した体の加法と乗法を完全に決定する。

定理 3.1. 体の包含 $K\subseteq L$ と、 $K$ 上代数的な元 $\alpha\in L$ を考える。 $m=m_{\alpha,K}$ および $n=\deg m$ とおく。このとき評価準同型が誘導する $K$ -代数同型

K[x]/(m)\xrightarrow{\ \sim\ }K(\alpha), \qquad f+(m)\longmapsto f(\alpha)

が存在する。さらに、 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}$ は $K(\alpha)$ の $K$ 上の基底であり、

[K(\alpha):K]=n

である。

証明.定理 2.1より、評価準同型 $\operatorname{ev}_\alpha\colon K[x]\to L$ の核は $(m)$ である。第一同型定理§E6.3 定理 6.2により、評価準同型は $K$ -代数同型

K[x]/(m)\xrightarrow{\ \sim\ }K[\alpha]

を誘導する。多項式 $m$ は $K[x]$ で既約であるから、§E6.28 定理 6.1により $K[x]/(m)$ は体である。したがって、その像 $K[\alpha]$ も体であり、 $K$ と $\alpha$ を含む最小の体 $K(\alpha)$ に一致する。

§E6.28 定理 2.1により、 $K[x]/(m)$ の各元は次数が $n$ 未満の多項式によって一意に表される。したがって、 $1,x,\ldots,x^{n-1}$ の剰余類が $K[x]/(m)$ の $K$ 上の基底である。同型によって剰余類を移せば、 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}$ が $K(\alpha)$ の $K$ 上の基底になる。ゆえに $[K(\alpha):K]=n$ である。▨

二つの平方根を添加する拡大も、一つの元で生成される場合がある。

例 3.2 ( $\sqrt2+\sqrt3$ が生成する体). $\alpha=\sqrt2+\sqrt3$ とおく。 $\alpha(\sqrt3-\sqrt2)=1$ であるから

\sqrt3=\frac{\alpha+\alpha^{-1}}2, \qquad \sqrt2=\frac{\alpha-\alpha^{-1}}2

である。したがって

\mathbb Q(\alpha)=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)

が成り立つ。さらに

\alpha^2=5+2\sqrt6, \qquad (\alpha^2-5)^2=24

であるから、 $\alpha$ は

x^4-10x^2+1

を満たす。§E8.1 例 2.2により $[\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb Q]=4$ であるから、定理 3.1により $\alpha$ の最小多項式の次数も $4$ である。したがって $x^4-10x^2+1$ が $\alpha$ の $\mathbb Q$ 上の最小多項式である。

4 有限次拡大と代数拡大

有限次元の線形空間では、任意の元の冪列が一次従属になる。

命題 4.1. 体の包含 $K\subseteq L$ に対して $[L:K]$ が有限であると仮定する。このとき $L/K$ は代数拡大である。

証明. $d=[L:K]$ とし、任意の $\gamma\in L$ を取る。 $d+1$ 個の元

1,\gamma,\gamma^2,\ldots,\gamma^d

は $d$ 次元の $K$ -線形空間 $L$ に属するから、 $K$ 上一次従属である。したがって、すべてが零ではない $a_0,\ldots,a_d\in K$ が存在して

a_0+a_1\gamma+\cdots+a_d\gamma^d=0

となる。非零多項式 $a_0+a_1x+\cdots+a_dx^d\in K[x]$ が $\gamma$ を根にもつため、 $\gamma$ は $K$ 上代数的である。 $\gamma$ は任意であったから、 $L/K$ は代数拡大である。▨

有限個の代数的な元を順に添加すると、各段の次数が有限になる。

定理 4.2. 体の包含 $K\subseteq L$ を考える。ある $K$ 上代数的な元 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in L$ が存在して

L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)

となるならば、 $[L:K]$ は有限である。

証明. $K_0=K$ および

K_i=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_i) \qquad(1\le i\le n)

とおく。各 $\alpha_i$ は $K$ 上代数的であるから、 $K\subseteq K_{i-1}$ により $K_{i-1}$ 上でも代数的である。定理 3.1により、各次数 $[K_i:K_{i-1}]$ は有限である。塔の公式§E8.1 定理 2.1を繰り返し適用すると

[L:K]=[K_n:K_0]=\prod_{i=1}^n[K_i:K_{i-1}]

となる。右辺は有限個の正の整数の積であるから、 $[L:K]$ は有限である。▨

5 代数性の推移性

中間拡大が無限次であっても、ある一つの代数関係に現れる係数は有限個だけである。その有限個の係数が生成する有限次拡大へ問題を制限する。

定理 5.1. 体の包含 $K\subseteq E\subseteq L$ を考える。 $E/K$ と $L/E$ が代数拡大ならば、 $L/K$ も代数拡大である。

証明. 任意の $\alpha\in L$ を取る。 $\alpha$ は $E$ 上代数的であるから、 $0$ でない多項式

a_0+a_1x+\cdots+a_rx^r\in E[x]

が存在して

a_0+a_1\alpha+\cdots+a_r\alpha^r=0

となる。各係数 $a_i$ は $K$ 上代数的である。したがって

E_0=K(a_0,\ldots,a_r)

は定理 4.2により $K$ 上有限次である。元 $\alpha$ は係数が $E_0$ に属する多項式 $a_0+a_1x+\cdots+a_rx^r$ を満たすから $E_0$ 上代数的であり、定理 3.1により $E_0(\alpha)/E_0$ は有限次である。塔の公式§E8.1 定理 2.1から $E_0(\alpha)/K$ は有限次である。命題 4.1により $\alpha$ は $K$ 上代数的である。

$\alpha\in L$ は任意であったから、 $L/K$ は代数拡大である。▨

代数性の推移性を用いると、拡大体の中にある代数的な元を一つの中間体としてまとめることができる。

命題 5.2. 体の包含 $K\subseteq L$ に対し、

L_{\mathrm{alg}/K} :=\{\alpha\in L\mid \alpha\text{ は }K\text{ 上代数的である}\}

とおく。このとき $L_{\mathrm{alg}/K}$ は $K$ と $L$ の中間体である。

証明. 任意の $a\in K$ は $x-a\in K[x]$ の根であるから、 $K\subseteq L_{\mathrm{alg}/K}$ である。

$\alpha,\beta\in L_{\mathrm{alg}/K}$ を取る。定理 4.2により $K(\alpha,\beta)/K$ は有限次であり、命題 4.1により $K(\alpha,\beta)/K$ は代数拡大である。したがって

\alpha-\beta,\qquad \alpha\beta, \qquad \alpha/\beta\quad(\beta\ne0)

はすべて $K$ 上代数的である。ゆえに $L_{\mathrm{alg}/K}$ は減法、乗法および非零元の逆元について閉じている。 $L_{\mathrm{alg}/K}$ は $K$ を含む $L$ の部分体である。▨

6 演習

問題 6.1 (有限生成拡大の次数). 体の包含 $K\subseteq E\subseteq L$ と元 $\beta\in E$ 、 $\alpha\in L$ を考える。 $\beta$ の $K$ 上の最小多項式の次数が $m$ であり、 $\alpha$ の $K(\beta)$ 上の最小多項式の次数が $n$ であると仮定する。 $[K(\alpha,\beta):K]=mn$ を証明し、 $\alpha$ が $K$ 上代数的であることを示せ。

解答.

定理 3.1により

[K(\beta):K]=m, \qquad [K(\beta)(\alpha):K(\beta)]=n

である。 $K(\beta)(\alpha)=K(\alpha,\beta)$ であるから、塔の公式§E8.1 定理 2.1により

[K(\alpha,\beta):K] =[K(\alpha,\beta):K(\beta)][K(\beta):K] =nm

となる。したがって $K(\alpha,\beta)/K$ は有限次拡大である。元 $\alpha$ はこの有限次拡大の元であるから、命題 4.1により $K$ 上代数的である。▨

§E8.2有限生成拡大と代数拡大