§E8.22Artin–Schreier–Witt 理論

証明. 最初に、帰納構成で現れる商が整数係数になることを証明する。不定元をすべて$p$乗する多項式環の自己準同型を$\phi$と書く。任意の整数係数多項式$H$について

である。また、$A\equiv B\pmod {p^s}$、$s\ge1$ならば、二項展開から$A^p\equiv B^p\pmod {p^{s+1}}$となる。式 (3) にこの事実を繰り返し適用すると

を得る。

整数係数多項式の列$q_0,\ldots,q_{m-1}$が

を満たすと仮定する。$w_j(U)=q_j$となる多項式$U_j$を$j$について構成する。$U_0=q_0$とし、$U_0,\ldots,U_{j-1}$が構成済みならば

と置く。帰納法の仮定を$w_{j-1}(U)=q_{j-1}$に代入して$\phi$を作用させると

である。式 (4) により、右辺の第$i$項と$p^iU_i^{p^{j-i}}$との差は$p^j$で割り切れる。式 (5) も用いると、式 (6) の右辺全体は$p^j$で割り切れる。したがって$U_j$は整数係数多項式である。式 (6) は$U_j$を一意に定める。

加法では$q_j=w_j(X)+w_j(Y)$、乗法では$q_j=w_j(X)w_j(Y)$とする。恒等式

を加法の場合に適用すると、$q_j-\phi(q_{j-1})=p^j(X_j+Y_j)$となる。乗法の場合には

となる。したがって、どちらの列も式 (5) を満たすため、前者から$S_j$、後者から$P_j$を得る。$q_j=-w_j(X)$とすれば、同じ構成が加法逆元の多項式を与える。

最後に環公理を確認する。整数係数多項式環のように、$p$の冪による乗法が単射である環では、ghost 写像は単射である。実際、二つの Witt ベクトルの第$0$成分から順に比較すると、第$j$段では$p^j$と第$j$成分の差との積が零になるため、第$j$成分も等しい。ghost 成分上では式 (2) により通常の可換環の演算を行っているので、加法と乗法の結合則・交換則、分配則、零元、単位元および加法逆元の各恒等式は、不定元を係数にもつ整数係数多項式環上で ghost 写像の単射性から従う。これらは整数係数多項式の恒等式であるため、任意の可換環$R$へ代入しても成り立つ。多項式の代入は環準同型と可換するので、構成は$R$について関手的である。▨

証明.補題 1.1の演算は整数係数多項式で定まる。標数$p$では多項式の値の$p$乗が各入力を$p$乗して得る値に等しいため、座標 Frobenius は加法と乗法を保つ。

任意の Witt ベクトル$x$に対して

である。普遍多項式環上で$V(x+_Wy)$と$Vx+_WVy$の ghost 成分を比較すると一致する。この環は$p$-torsion-free で ghost 写像が単射なので両者は等しい。この多項式恒等式を$R$へ代入すると、$V$が加法を保つことが分かる。切断が環準同型であることは、第$j$Witt 演算が第$j$以下の成分だけで定まることから従う。切断は集合として全射であり、その核は$(0,\ldots,0,a)$という元全体である。最後の成分への包含は$V^{m-1}$なので加法を保ち、式 (9) は完全である。

式 (8) を証明する。整数係数多項式環上の普遍 Witt ベクトルを$X$とし、$p\cdot X$の第$i$成分を$M_i(X)$、$(0,X_0^p,\ldots,X_{m-2}^p)$の第$i$成分を$T_i(X)$と書く。ghost 成分について

また$j\ge1$では

である。$M_i\equiv T_i\pmod p$を$i$について帰納する。$i=0$は明らかである。$i<j$について合同を仮定すると、補題 1.1の証明で用いた式 (4) と同じ二項展開により

は$p^{j+1}$で割り切れる。第$j$ghost 成分の差から下位成分の差を引くと$p^j(M_j-T_j)$が$p^{j+1}$で割り切れるため、$M_j\equiv T_j\pmod p$である。したがって標数$p$の$R$へ代入すると$p\cdot x=V(F(x))$を得る。

$F(V^j(1))=V^j(1)$なので、式 (8) を繰り返すと$p^j\cdot1=V^j(1)$となる。$V^m(1)=0$である一方、$V^{m-1}(1)=(0,\ldots,0,1)\ne0$なので、$1$の加法位数は$p^m$である。集合$W_m(\mathbb F_p)=\mathbb F_p^m$の位数も$p^m$であるから、式 (10) の準同型は全単射である。▨

証明. 式 (6) の再帰式を加法に適用すると、新しい変数$X_j,Y_j$は第$j$段の右辺に$p^j(X_j+Y_j)$としてだけ現れる。したがって加法多項式は

という形である。同様に、$S_j(X,N(X))=0$を第$j$成分について解くと、加法逆元多項式は

という形になる。Witt 加法における差$F(x)+_WN(x)$の第$j$成分へ座標 Frobenius を代入すると、$x_j$を含む項は$x_j^p-x_j$だけであり、残りは第$j$未満の成分だけからなる。係数を標数$p$へ還元して式 (11) の$Q_j$を得る。普遍多項式への代入で構成したため、関手性と自己同型との可換性も従う。▨

証明.$F(x)=x$であることは、各成分について$x_i^p=x_i$であることと同値なので、$\ker\wp_m=W_m(\mathbb F_p)$である。補題 1.4の式 (10) により、この核は$\mathbb Z/p^m\mathbb Z$と同型である。各成分が$\mathbb F_p$に属するので、$G_K$はこの核を固定する。

全射性を示す。補題 2.1により、$\wp_m(x)=a$という方程式の第$j$成分は

という形になり、$c_j$は$a_0,\ldots,a_j$と既に選んだ$x_0,\ldots,x_{j-1}$だけで決まる。$x_0$から順に式 (13) を解く。多項式$T^p-T-c_j$の微分は$-1$なので分離的であり、分離閉体$K_s$に根をもつ。したがってすべての成分を順に選ぶことができ、$\wp_m$は全射である。

補題 1.4により$F$と恒等写像は加法群準同型なので、$\wp_m$も加法群準同型である。Witt 演算と式 (11) は整数係数または$\mathbb F_p$係数の普遍多項式で定まるため、$G_K$の成分ごとの作用と可換する。よって式 (12) は離散$G_K$-加群の完全列である。▨

証明.$m$について帰納する。$m=1$では$W_1(K_s)=K_s$の加法群なので、加法版 Hilbert の定理 90§E8.18 定理 4.2により主張が成り立つ。

$m>1$とする。切断写像と最後の成分への包含は、離散$G_K$-加群の短完全列

を与える。$\operatorname{tr}\circ z$は$W_{m-1}(K_s)$値一次コサイクルなので、帰納法の仮定によりある$\bar x\in W_{m-1}(K_s)$が存在して

となる。$\bar x$の持上げ$x\in W_m(K_s)$を一つ選び、

とおく。$z'$も一次コサイクルであり、$\operatorname{tr}(z'_\sigma)=0$である。式 (14) の完全性により、一意な$c_\sigma\in K_s$が存在して

となる。最後の成分への包含は$G_K$-同変な単射加法準同型なので、$z'$のコサイクル条件から$c_{\sigma\tau}=c_\sigma+\sigma(c_\tau)$が従う。加法版 Hilbert の定理 90 により、ある$d\in K_s$が存在して$c_\sigma=\sigma(d)-d$となる。$y=x+_W(0,\ldots,0,d)$とおけば$z_\sigma=\sigma(y)-_W y$である。▨

証明.$\wp_m(x)=a\in W_m(K)$とする。$\wp_m$は$G_K$の作用と可換するので

定理 2.2により式 (16) の値は$W_m(\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/p^m\mathbb Z$に属する。この定数部分への$G_K$の作用は自明であり、

なので、$\chi_a$は連続準同型である。

解を$x+_W c$、$c\in W_m(\mathbb F_p)$へ替えても$c$は$G_K$に固定されるため、$\chi_a$は変わらない。$a+_W \wp_m(b)$、$b\in W_m(K)$という同じ類の代表元へ替えた場合には解を$x+_W b$と選ぶことができ、やはり指標は変わらない。Witt 加法に関する和を取れば指標も和になるので、式 (15) の群準同型が定まる。

この準同型の核を調べる。$\chi_a=0$なら$x$は$G_K$に固定されるため$x\in W_m(K)$であり、$a=\wp_m(x)$である。したがって$[a]=0$となり、式 (15) は単射である。

全射性を示す。連続準同型$\chi:G_K\to\mathbb Z/p^m\mathbb Z\cong W_m(\mathbb F_p)$を$W_m(K_s)$値一次コサイクルとみなす。命題 2.3により、ある$x\in W_m(K_s)$が存在して$\chi(\sigma)=\sigma(x)-_W x$となる。$\wp_m(\chi(\sigma))=0$であり、$\wp_m$は$G_K$-同変なので、

ゆえに$a=\wp_m(x)$は$W_m(K)$に属し、$\chi=\chi_a$である。したがって式 (15) は全射である。▨

証明. 式 (15) は群同型なので、$[a]$の位数は指標$\chi_a$の位数に等しい。準同型からなる群における一つの指標の位数は、その像の位数に等しいため$\#\operatorname{im}\chi_a=p^r$である。Galois 対応により$L_a/K$はこの像と同型な Galois 群をもつ巡回拡大であり、次数は$p^r$である。

式 (16) から、$\sigma$が Witt ベクトル$x$の全成分を固定することと$\chi_a(\sigma)=0$は同値である。したがって$K(x_0,\ldots,x_{m-1})$の固定部分群は$\ker\chi_a$であり、その固定体は$L_a$である。▨

証明.$[b]=u[a]$なら$\chi_b=u\chi_a$であり、$u$は単元なので二つの指標の核は等しい。したがって固定体も等しい。

逆に固定体が等しければ$\ker\chi_a=\ker\chi_b$である。二つの指標は同じ巡回商群$\operatorname{Gal}(L_a/K)$から位数$p^r$の部分群への同型を定めるので、その差は$\mathbb Z/p^r\mathbb Z$の自己同型、すなわちある単元による乗法である。この単元を$\mathbb Z/p^m\mathbb Z$の単元へ持ち上げると$\chi_b=u\chi_a$となり、式 (15) から$[b]=u[a]$を得る。▨

証明. 有限アーベル群の基本定理§E7.18 定理 6.3により、整数$1\le e_i\le m$を用いて

と書くことができる。巡回群$C_{p^{e_i}}$から$\mathbb Z/p^m\mathbb Z$への準同型は、生成元の像によって一意に定まる。その像として選ぶことができる元は$p^{e_i}$倍すると零になる元、すなわち部分群

の元である。この部分群は$p^{e_i}$個の元をもつため

となる。直積の各成分へ制限すると

であるから、位数を比較して最初の主張を得る。

$a\ne0$とし、表示した直積分解における第$i$成分を$k$と書いたとき、$k\not\equiv0\pmod {p^{e_i}}$となる添字$i$を選ぶ。第$i$巡回因子の生成元を$p^{m-e_i}$へ写し、他の因子を零へ写す準同型を$\psi$とする。このとき

であるから、指標は非零元$a$を分離する。▨

証明.$B$は有限個の連続指標からなるため$N_B$は開正規部分群であり、$L_B/K$は有限 Galois 拡大である。商群$G_K/N_B$は有限個の$\mathbb Z/p^m\mathbb Z$の直積へ埋め込まれるので、アーベル群で指数が$p^m$を割る。

式 (17) は双線形である。左側で$B$のすべての元と零に対をなす元は$N_B$に由来するため、$\operatorname{Gal}(L_B/K)$では恒等元である。右側で Galois 群のすべての元と零に対をなす$[a]$は、$G_K$上で零指標を定めるため、式 (15) により零類である。したがって対は両側で非退化である。

$B$と$\operatorname{Gal}(L_B/K)$は指数が$p^m$を割る有限アーベル群である。補題 4.1により、この係数群への双対は元の群と同じ位数をもつ。両側の非退化性から得られる二つの単射の位数を比較すると、両方が同型になり、式 (18) を得る。▨

証明.定理 4.3により$B$は$\operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L_B/K),\mathbb Z/p^m\mathbb Z)$全体へ写るので$B_{L_B}=B$である。

逆に$L/K$を指定された型の拡大とする。補題 4.1により有限アーベル群の指標は各非自明な元を分離するため、$B_L$に属する全指標の核の共通部分は$G_K\to\operatorname{Gal}(L/K)$の核に等しい。したがってその固定体は$L$であり、$L_{B_L}=L$となる。二つの対応は互いに逆である。▨