§E8.13無限次 Galois 理論

証明.$\alpha\in L$を取る。$L/K$は代数的かつ分離的なので、$\alpha$の最小多項式は分離的である。$L/K$は正規なので、その最小多項式のすべての根は$L$に属する。それらの根が生成する分解体$E$は$L$に含まれる有限 Galois 拡大であり、$\alpha\in E$である。したがって$L$は$\mathcal E(L/K)$の元の合併である。

$E,F\in\mathcal E(L/K)$に対し、合成体$EF$は有限拡大である。$E/K$と$F/K$が分離的かつ正規なので、$EF/K$も分離的かつ正規である。ゆえに$EF\in\mathcal E(L/K)$であり、$E,F\subseteq EF$となる。したがって$\mathcal E(L/K)$は有向集合である。▨

証明.$L$は有限 Galois 部分拡大の合併であるから、すべての$E$上で恒等写像となる$\sigma$は$L$上でも恒等写像である。したがって$\Phi$は単射である。

整合的な族$(\sigma_E)_E$を取る。$x\in L$に対し、$x\in E$となる$E\in\mathcal E(L/K)$を選んで$\sigma(x)=\sigma_E(x)$と定める。$x\in E\cap F$なら、合成体$EF$に対する整合性から$\sigma_E(x)=\sigma_{EF}(x)=\sigma_F(x)$であるため、この定義は$E$の選択に依存しない。$x,y$を同時に含む有限 Galois 部分拡大上で計算すれば、$\sigma$が加法と乗法を保ち、$K$を固定することが分かる。同じ構成を$(\sigma_E^{-1})_E$に適用すると$\sigma$の逆写像が得られる。よって$\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)$であり、$\Phi(\sigma)=(\sigma_E)_E$である。したがって$\Phi$は全射である。▨

証明. 逆極限の座標射影$\pi_E$に対し、$\Phi^{-1}(\ker\pi_E)=G_E$である。積位相の基本開集合は有限個の座標だけを指定するが、その有限個の部分拡大の合成体を取れば、一つの剰余類$\sigma G_E$に書き直すことができる。したがって$\Phi$と$\Phi^{-1}$は連続である。

各有限離散群$\operatorname{Gal}(E/K)$はコンパクト Hausdorff である。ここで用いる§E2.19 定理 8.2は、任意個のコンパクト空間の積が積位相でコンパクトになるという主張である。したがって積$\prod_E\operatorname{Gal}(E/K)$はコンパクト Hausdorff である。逆極限を定める各整合条件は有限離散群の対角集合の逆像なので閉条件であり、逆極限は積の閉部分空間である。ゆえに逆極限はコンパクト Hausdorff である。さらに、相異なる二点はある有限座標で異なり、その座標の原像で互いに素な開閉集合へ分離される。したがって連結部分集合は一点だけであり、逆極限は完全不連結である。群演算の連続性は各有限座標での群演算の連続性から従う。▨

証明. 各$x\in L$の固定化群は、$x$を含む有限 Galois 部分拡大$E$に対して$G_E$を含むので開であり、有限個の剰余類の合併として閉でもある。$L^H$の各元を固定する条件を交わすと$\operatorname{Gal}(L/L^H)$を得るため、この群は閉である。さらに$H$を含むので$\overline H\subseteq\operatorname{Gal}(L/L^H)$である。

逆の包含を示す。$\sigma\notin\overline H$とする。$\overline H$は閉であるから、ある有限 Galois 部分拡大$E/K$が存在して

となる。制限像を$H_E=\{h|_E\mid h\in H\}\leq\operatorname{Gal}(E/K)$と書くと、$\sigma|_E\notin H_E$である。有限次 Galois 対応§E8.10 定理 4.1を$E/K$と部分群$H_E$に適用する。同定理の結論は

である。$\sigma|_E\notin H_E$なので、ある$x\in E^{H_E}$が存在して$\sigma(x)\ne x$となる。任意の$h\in H$は$h|_E\in H_E$であるから$h(x)=x$であり、$x\in L^H$である。したがって$\sigma\notin\operatorname{Gal}(L/L^H)$である。これで逆の包含が従う。▨

証明. 中間体$M$に対し、

であり、各固定化群は閉であるから$G_M$は閉である。

$L^{G_M}=M$を示す。包含$M\subseteq L^{G_M}$は定義から従う。$x\in L\setminus M$とする。$L/M$は代数的かつ分離的である。$L$の任意の$M$-埋め込みは$K$-埋め込みでもあり、$L/K$の正規性により$L$を保つ。したがって$L/M$は正規であり、$x$の$M$上の最小多項式の根はすべて$L$に属する。分離性から$x$と異なる根$y$が存在する。$M(x)\to L$を$x\mapsto y$で定める$M$-埋め込みを考え、$L$を含む代数閉体$\Omega$を固定する。§E8.11 定理 2.1により、この埋め込みは$L\to\Omega$へ延長される。$L/M$の正規性により延長は$L$の$M$-自己同型である。したがって$x$を動かす元が$G_M$に存在し、$x\notin L^{G_M}$である。ゆえに$L^{G_M}=M$である。

閉部分群$H$に対しては、補題 3.1により$G_{L^H}=\overline H=H$である。二つの写像は互いに逆であり、固定する元または固定する自己同型を増やすと他方が減るので、包含関係を逆にする。▨

証明.$H$が開なら、ある有限 Galois 部分拡大$E/K$に対して$G_E\subseteq H$である。固定体を取ると$M=L^H\subseteq L^{G_E}=E$であるから$[M:K]<\infty$である。逆に$[M:K]<\infty$とする。$M$を含む有限 Galois 部分拡大$E/K$が存在し、$G_E\subseteq G_M=H$であるから$H$は開である。作用$G\curvearrowright M$の軌道安定化群定理、または$M$の$K$-埋め込みの個数を用いると$[G:H]=[M:K]$となる。実際、$L/K$が正規であるため$M$の各$K$-埋め込みは$L$の$K$-自己同型へ延長され、$M/K$は分離的なので埋め込みは$[M:K]$個ある。

$H$が正規であるとする。$x\in M=L^H$、$g\in G$、$h\in H$に対して

であるから$gx\in M$である。したがってすべての$K$-埋め込みに対して$M$は安定であり、$M/K$は正規である。$M/K$は分離的でもあるので Galois 拡大である。

逆に$M/K$が Galois 拡大なら、$g(M)=M$がすべての$g\in G$について成り立つ。ゆえに$gG_Mg^{-1}=G_{g(M)}=G_M$であり、$H=G_M$は正規である。制限写像

の核は$H$である。$M$の任意の$K$-自己同型は、埋め込みの延長定理と$L/K$の正規性により$L$の$K$-自己同型へ延長されるため、この制限写像は全射である。したがって抽象群として$G/H\cong\operatorname{Gal}(M/K)$である。制限写像は Krull 位相について連続であるから、誘導された写像$G/H\to\operatorname{Gal}(M/K)$も連続である。$G/H$はコンパクトであり、$\operatorname{Gal}(M/K)$は Hausdorff である。したがって、この連続全単射は同相であり、位相群の同型である。

(3)は(1)と(2)を組み合わせれば従う。▨