§E8.27多項式の可解性

証明.$r=0$なら$M=K$と取ればよい。以下では$r\ge1$とする。$N$をすべての$n_i$の公倍数とし、$M_0=K(\mu_N)$とおく。§E8.20 命題 1.4により$M_0/K$は有限 Galois 拡大であり、その Galois 群は$(\mathbb Z/N\mathbb Z)^\times$の部分群なのでアーベル群である。とくに可解群である。

$M_{i-1}/K$が有限 Galois 拡大で、Galois 群が可解であり、$F_{i-1}\subseteq M_{i-1}$であると仮定する。$\alpha_i=0$の段は体を変えないため、あらかじめ塔から除いてよい。$a_i=\alpha_i^{n_i}\in F_{i-1}^\times$とおき、$\Gamma_{i-1}=\operatorname{Gal}(M_{i-1}/K)$とする。各$\sigma\in\Gamma_{i-1}$に対して$\beta_\sigma^{n_i}=\sigma(a_i)$となる根を選び、$\sigma=1$では$\beta_1=\alpha_i$と選ぶ。次の体を取る。

$\mu_{n_i}\subseteq M_0\subseteq M_{i-1}$なので、$M_i$は

の$M_{i-1}$上の分解体である。$K$を固定する埋め込みは$\Gamma_{i-1}$を通じて各因子を置換し、各根を既に添加した根の$\mu_{n_i}$倍へ写す。したがって$M_i/K$は正規であり、標数$0$なので有限 Galois 拡大である。また$\alpha_i\in M_i$であるから$F_i\subseteq M_i$である。

$\tau\in\operatorname{Gal}(M_i/M_{i-1})$に対して

と書ける。すべての$\chi_\sigma(\tau)$が$1$なら$\tau$は$M_i$の生成元をすべて固定する。ゆえに

は単射であり、左辺はアーベル群である。制限写像による完全列

と可解性の閉性§E7.21 定理 3.2により、$\operatorname{Gal}(M_i/K)$は可解群である。帰納法を$r$回適用した$M=M_r$が求める拡大である。▨

証明.(1)を仮定し、$L\subseteq F_r$となる根基塔を取る。補題 1.2により$F_r$を含む有限 Galois 拡大$M/K$であって$\operatorname{Gal}(M/K)$が可解となるものが存在する。$L/K$は Galois 拡大なので、制限写像

は全射である。実際、$L$の任意の$K$-自己同型は有限埋め込み延長§E8.10 補題 1.3によって$M$の$K$-埋め込みへ延長され、$M/K$の正規性によって$M$の自己同型になる。したがって$\operatorname{Gal}(L/K)$は可解群の商群であり、§E7.21 定理 3.2により可解である。

(2)を仮定し、$G=\operatorname{Gal}(L/K)$とおく。$G$が自明なら$L=K$なので結論は明らかである。以下では$N=|G|\ge2$とし、$K'=K(\mu_N)$、$M=LK'$とおく。$K'/K$は、原始$N$乗根$\zeta_N$が$\zeta_N^N=1\in K$を満たすため、一段の根基拡大である。$M/K'$は有限 Galois 拡大であり、制限写像によって

とみなすことができる。§E7.21 定理 3.2により$H$は可解群である。

有限可解群の組成因子判定§E7.21 定理 5.1により、組成列

を、各商$H_j/H_{j+1}$が素数位数$p_j$の巡回群となるように取ることができる。$E_j=M^{H_j}$とおくと、 Galois の基本定理§E8.10 定理 4.1により

であり、$E_{j+1}/E_j$は次数$p_j$の巡回 Galois 拡大である。$p_j$は$|H|$を割り、$|H|$は$|G|=N$を割るため、$\mu_{p_j}\subseteq K'\subseteq E_j$である。

有限アーベル Kummer 拡大の分類§E8.21 定理 3.4を$n=p_j$として適用する。$E_{j+1}/E_j$に対応する部分群$B_j\le E_j^\times/E_j^{\times p_j}$は位数$p_j$なので、一つの類$[a_j]$で生成される。Kummer 対の完全性§E8.21 定理 3.3と分類の定義から

である。したがって$K\subseteq K'=E_0\subseteq E_1\subseteq\cdots\subseteq E_s=M$は根基塔であり、$L\subseteq M$なので$f$は根基によって可解である。▨

証明.$\rho_{\mathcal B}(\sigma)$が恒等行列なら$\sigma$は基底の各元を固定し、$K$-線形性によって$L$の全元を固定する。ゆえに$\sigma=1$であり、表現は忠実である。$G$は有限群なので像も有限である。

線形写像の行列に対する基底変換公式から共役の式を得る。共役写像$A\mapsto P^{-1}AP$は群同型であり、導来列の自然性§E7.21 補題 3.1により可解性を保つ。最後の同値は$G\cong\rho_{\mathcal B}(G)$と定理 2.1から従う。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(1)を示す。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。(1)を仮定し、全元を上三角行列として表す。対角成分を取る写像

は群準同型である。$\ker\delta$の元は上三角なユニポテント行列である。$U\in\ker\delta$の位数を$m$とすると、$U$の最小多項式は$(x-1)^{\dim V}$と$x^m-1$の両方を割る。標数$0$では$x^m-1$に重根がないため、両多項式の最大公約因子は$x-1$である。したがって$U=I$であり、$\delta$は単射である。終域はアーベル群なので$\Gamma$もアーベル群であり、(3)を得る。

(3)$\Rightarrow$(2)を示す。(3)を仮定する。各$g\in\Gamma$は有限位数なので、その最小多項式はある$x^m-1$を割る。$\Omega$は代数閉体で標数$0$であるから$x^m-1$は相異なる一次因子の積であり、$g$は対角化可能である。すべての元がスカラー行列なら任意の基底を取ればよい。そうでなければ、二つ以上の固有値をもつ$g\in\Gamma$を一つ取る。$g$の各固有空間は、$\Gamma$の可換性によって他の全元で保たれる。また、各$h\in\Gamma$の固有空間射影は$h$の多項式であるため、$h$の制限も各$g$-固有空間上で対角化可能である。各$g$-固有空間は$V$より小さいので、次元に関する帰納法を適用し、それぞれに共通固有基底を取る。それらを合わせると$\Gamma$の全元に共通する固有ベクトルからなる基底を得る。したがって(2)が成り立つ。▨

証明. 指標の定義と同型は Kummer 分類の写像および Kummer 対の完全性§E8.21 定理 3.3そのものである。とくに

なので$\beta_b$は指標$\kappa_b$に属する共通固有ベクトルである。

相異なる指標に属する非零の共通固有ベクトルは線形独立である。実際、最短の非自明な関係$\sum_{j=1}^t c_jv_j=0$が存在すると仮定する。$\chi_1\ne\chi_t$を分離する$\sigma\in G$を選び、元の関係へ$\sigma$を作用させた式から$\chi_t(\sigma)$倍した元の関係を引くと、$v_t$の項が消えたより短い非自明な関係を得て矛盾する。

§E8.21 定理 3.3により$|B|=[L:K]$である。したがって$|B|$個の元$\beta_b$は線形独立で、$L$の$K$-基底になる。この基底に関する行列の$[b]$で添字付けられた対角成分は$\kappa_b(\sigma)$である。▨

証明.$f$は素数$2$に関する Eisenstein の判定法§E6.28 命題 8.1の仮定を満たす。実際、首項係数は$2$で割れず、他の係数はすべて$2$で割れ、定数項$2$は$4$で割れない。したがって$f$は$\mathbb Q$上既約である。

$G=\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)$を五つの根への忠実な置換作用によって$S_5$の部分群とみなす。既約性により作用は推移的である。実際、根$\alpha$の安定化群は$\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q(\alpha))$であり、Galois 対応から軌道の大きさは

である。ゆえに$5$は$|G|$を割る。Cauchy の定理§E7.12 定理 6.1により$G$は位数$5$の元を含み、その元は$S_5$では五巡回置換である。

次に複素共役が互換を与えることを示す。$a=(4/5)^{1/4}$とおくと、実軸上で

は$x=\pm a$だけで零になる。また

である。第二の不等式は$a>5/8$から従い、この不等式は$a^4=4/5>(5/8)^4$から従う。導関数の符号と$x\to\pm\infty$における$f(x)$の符号を合わせると、$f$は区間$(-\infty,-a)$、$(-a,a)$、$(a,\infty)$のそれぞれにちょうど一つの実根をもつ。残る二根は互いに複素共役な非実根である。したがって複素共役は三つの実根を固定し、二つの非実根を交換する$G$の互換である。

$c\in G$を五巡回置換、$\tau\in G$を互換とする。頂点を$\mathbb Z/5\mathbb Z$と同一視し、$c$を$x\mapsto x+1$と書く。$\tau$が$u$と$v$を交換するなら、共役$c^k\tau c^{-k}$は$u+k$と$v+k$を交換する。差$v-u$は$5$を法として非零なので、これら五本の辺からなるグラフは連結である。連結グラフの任意の二頂点を結ぶ道を取り、道の辺の互換を順に共役すると両端を交換する互換が得られる。したがって辺に対応する互換はすべての互換を生成し、$\langle c,\tau\rangle=S_5$である。ゆえに$G=S_5$となる。

§E7.21 例 6.2により$S_5$は可解群でない。定理 2.1から$f$は根基によって可解でない。▨

証明. そのような一般公式が存在すれば、係数を$x^5-4x+2$の係数へ特殊化することにより、この多項式は根基によって可解になる。これは定理 4.1に反する。▨