§E8.8分離性と有限エタール代数

証明.$\alpha\in\Omega$が$f$の重根なら、$f=(x-\alpha)^2g$と書くことができる。積の微分則から$f'$も$x-\alpha$で割り切れる。したがって$f$と$f'$は$\Omega[x]$で共通根をもつ。最小多項式を取れば、$K[x]$でも非定数の共通因子をもつ。

逆に$\alpha$が$f$と$f'$の共通根であるとする。$f=(x-\alpha)q$と書くと

である。$f'(\alpha)=0$より$q(\alpha)=0$なので、$x-\alpha$は$q$も割り切る。したがって$(x-\alpha)^2$は$f$を割り切り、$\alpha$は重根である。(2)$\Leftrightarrow$(3)は最大公約多項式の定義から従う。

$p$が既約なら、$\gcd(p,p')$は$1$または$p$である。$\deg p'<\deg p$なので、後者が成り立つことと$p'=0$は同値である。したがって最後の主張を得る。▨

証明.$\beta\in\Omega$を$\sigma m_{\alpha,E}$の根とする。写像

の核は$(m_{\alpha,E})$である。したがって商を取ると、§E8.2 定理 3.1の同型を通じて$E(\alpha)\to\Omega$が得られ、この埋め込みは$\alpha$を$\beta$へ写す。

逆に、$\sigma$を延長する埋め込み$\widetilde\sigma$は$0=\widetilde\sigma(m_{\alpha,E}(\alpha))=(\sigma m_{\alpha,E})(\widetilde\sigma(\alpha))$を満たす。体$E(\alpha)$は$E$と$\alpha$で生成されるため、$\widetilde\sigma$は$\widetilde\sigma(\alpha)$によって一意に定まる。▨

証明.$L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$とし、$K_i=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$とおく。補題 2.1により、$K_{i-1}$からの一つの埋め込みを$K_i$へ延長する方法の個数は、$\alpha_i$の最小多項式の相異なる根の個数であり、高々$[K_i:K_{i-1}]$である。すべての段階について数えると

を得る。最後の等号は塔の公式§E8.1 定理 2.1による。

$L/K$が分離的なら、各$\alpha_i$の$K$上の最小多項式は分離的である。$K_{i-1}$上の最小多項式はその多項式を割り切るため、やはり分離的である。したがって各段階の延長数は$[K_i:K_{i-1}]$に等しく、全体でも等号が成り立つ。

逆に$L/K$が分離的でないなら、ある$\alpha\in L$の$K$上の最小多項式は非分離的である。$E=K(\alpha)$とおくと

である。一つの$K$-埋め込み$E\to\Omega$を$L$へ延長する方法は、生成元を一つずつ添加して補題 2.1を適用すれば高々$[L:E]$個である。ゆえに

となる。したがって等号なら$L/K$は分離的である。▨

証明.$K_i=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$とおく。$\alpha_i$の$K_{i-1}$上の最小多項式は、$K$上の最小多項式を$K_{i-1}[x]$で割り切るため分離的である。したがって、各$K_{i-1}$-埋め込みを$K_i$へ延長する方法の個数は$[K_i:K_{i-1}]$である。すべての段階について数え、塔の公式を用いると$\#\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)=[L:K]$を得る。定理 2.3により$L/K$は分離拡大である。▨

証明.$B\cong\Omega^r$なら、各成分で冪零な元は$0$だけなので$B$は被約である。

逆に$B$が被約であるとする。$\dim_\Omega B$について帰納する。有限次元性により、$B$は包含に関して極小な非零イデアル$I$をもつ。$0\ne a\in I$を取る。被約性から$a^2\ne0$なので、非零イデアル$a^2B\subseteq I$は極小性により$I$に等しい。したがって$a=a^2b$となる$b\in B$が存在する。$e=ab$とおくと

であり、$I=aB=eB$である。また$x=ac\in I$に対して$ex=a^2bc=ac=x$なので、$e$は環$eB$の単位元である。

$0\ne x\in eB$なら、$xB$は$I$に含まれる非零イデアルなので$xB=I$である。したがって$xy=e$となる$y\in B$が存在し、$ey\in eB$は$x$の逆元である。ゆえに$eB$は体である。直交する冪等元$e$と$1-e$により

は同型である。$(1-e)B$も有限次元かつ被約であり、$e\ne0$なのでその次元は$B$より小さい。$(1-e)B=0$なら$B=eB$は既に体である。$(1-e)B\ne0$なら帰納法を適用する。いずれの場合も、$B$は有限個の有限次体拡大の直積になる。$\Omega$は代数的閉体なので、各体因子は$\Omega$自身に等しい。したがって$B\cong\Omega^r$である。▨

証明. まず有限次分離拡大$L/K$を考える。$K$-埋め込みの集合を$\Sigma=\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)$とし、$\Omega$-代数準同型

を定める。$L/K$は分離的なので、定理 2.3により$|\Sigma|=[L:K]$である。

相異なる体準同型は線形独立である。実際、最小個数の項からなる非自明な関係$\sum_{i=1}^{s}c_i\sigma_i(a)=0$がすべての$a\in L$について成り立つと仮定する。$\sigma_1(b)\ne\sigma_s(b)$となる$b\in L$を選び、$a$を$ab$に置き換えた関係から元の関係の$\sigma_s(b)$倍を引くと、項数が少なく、第一係数が非零である関係を得る。これは最小性に反する。したがって式 (1) の座標を与える線形汎関数は独立であり、$\Phi_L$の階数は$|\Sigma|=[L:K]$である。定義域と終域の$\Omega$-次元はいずれも$[L:K]$なので、$\Phi_L$は同型である。

$A=\prod_i L_i$が有限エタールなら、テンソル積は有限直積と交換するため

となる。したがって(1)$\Rightarrow$(3)と(3)$\Rightarrow$(2)が従う。

次に$A\otimes_K\Omega$が被約であると仮定する。写像$A\to A\otimes_K\Omega$、$a\mapsto a\otimes1$はベクトル空間の基底を取れば単射である。したがって$A$自身も被約である。補題 3.2の証明で用いた極小イデアルと冪等元による帰納法を$K$上で同じように行うと、有限次体拡大$L_i/K$が存在して

となる。各$L_i\otimes_K\Omega$は$A\otimes_K\Omega$の直積因子なので被約である。補題 3.2により$L_i\otimes_K\Omega\cong\Omega^{[L_i:K]}$である。左辺から$\Omega$への$\Omega$-代数準同型は$L_i$から$\Omega$への$K$-埋め込みと一対一に対応するため、その個数は$[L_i:K]$である。定理 2.3により$L_i/K$は分離拡大である。ゆえに$A$は有限エタールであり、(2)$\Rightarrow$(1)が従う。▨