中心が、半径がの円とは、点からの距離がちょうどである点全体のことです。は中心の1点、は実数平面上の円を定めません。距離の式（三平方の定理）を二乗すれば、そのまま円の方程式になります。
下の図で半径と直線の位置を動かすと、交点の個数がと変わる様子が見えます。「中心と直線の距離」と「半径」の大小がすべてを決めます。
1 一般形からは平方完成で戻す
展開した形（の係数が等しく、項がない形）で与えられたら、とそれぞれで平方完成すれば中心と半径が読み取れます。
中心、半径。平方完成したあとの右辺の符号で、3通りに分かれます。
- 右辺：半径が正の円。
- 右辺：中心1点だけ（点円と呼ぶことがあります）。円ではありません。たとえばはとなり、満たす点はただ1つです。
- 右辺：実数の点が存在しません。
「負でなければ円」ではない点に注意してください。ここは定義域ならぬ「図形が存在する条件」の注意点です。
2 2つの円の位置関係
中心間距離を、半径をとする。のとき、またはなら共有点はなく、等号ならそれぞれ外接・内接する。なら2点で交わる。のときは、半径が等しければ同じ円、異なれば共有点なしである。
3 直線と円の位置関係は2通りの調べ方がある
- 距離で見る。 中心と直線の距離を点と直線の距離の公式で求め、と比べる。なら 2 交点、なら接する、なら共有点なし。
- 代入して判別式。 直線の式を円に代入しての 2 次方程式にし、判別式の符号を見る。が上と対応する。
距離で見るほうが速いことが多いですが、接点や交点の座標そのものが要るときは代入して解く必要があります。目的に応じて使い分けます。
閑話休題：距離の「比」を一定にすると——アポロニウスの円 2定点 A, B からの距離が等しい点の全体は、線分 AB の垂直二等分線——これは直線です。では、距離が等しいのではなく、比が一定、たとえば AP : BPを保つ点 P の全体は何になるでしょう。楕円のような細長い図形を想像したくなりますが、答えはぴったりの円です（アポロニウスの円）。実際に,でとおき、両辺を2乗して整理すると
と、この記事でやった平方完成がそのまま円を出してくれます。比のをとに近づけていくと、円はどんどん巨大になりながら遠ざかり、極限ので垂直二等分線に化けます。
つまり直線は「半径無限大の円」、円の仲間だと思える。この見方は冗談ではなく、大学の複素解析で本物になります——そこで扱うメビウス変換という写像は、「円と直線」をひとまとめの族として互いに写し合い、区別しません。座標計算1つの背後に、円と直線の境界が溶ける幾何学が待っています。