極座標とは、平面上の点を「原点からの距離」と「基準の向きからの角」の組で表す方法のことです。 直交座標が「横と縦」で位置を指すのに対し、極座標は「どちらの向きに、どれだけ遠いか」で指します。回転や中心対称のある図形と相性がよい座標です。
原点を、基準方向を正の軸とし、角度はラジアンで測る。はを法として同じ向きを表す。
1 直交座標との変換
2つの座標は、三角関数で行き来できます。
距離として選ぶ標準的な極座標ではとする。その場合はである。一方、極方程式では負のも許す。そのときとは同じ点を表す。特にでは角度によらず原点なので、は一意でない。
単位円の定義（が単位円上の点の座標）を、半径倍にしたものです。だから極座標は三角関数を前提とします。
2 極方程式
極方程式とは、との関係式で曲線を表したものです。 直交座標では複雑な曲線が、極座標だと簡潔になることがあります。（の定数）は原点中心・半径の円、（定数）は原点を通る直線。下の図のは、花びら状の「バラ曲線」です。
（図は極座標の点を、で直交座標に直して描いています。）
3 複素数の極形式と同じ発想
複素数を「原点からの距離と角」で表す極形式は、まさに極座標そのものです。複素数平面（応用）と極座標は、同じ「距離と角で点を捉える」見方を共有しています。
閑話休題：極座標で表すモデル 以下の自然界の例は、形の近似モデルとしての紹介であり、個々の生物・気象・天体が厳密に同じ極方程式に従うことを主張するものではない。黄金角などの数値や応用を引用するときは、生物学・物理学の資料で条件を確認する。
極座標がもっとも輝くのは、螺旋を描くときです。という対数螺旋（等角螺旋）は、オウムガイの殻、松ぼっくり、台風の雲、そして渦巻銀河の腕など、さまざまな対象の近似モデルに現れます。この螺旋の秘密は「拡大しても形がまったく変わらない」自己相似性で、オウムガイは成長しても相似な殻を継ぎ足していくだけで済むのです。この性質に魅せられたヤコブ・ベルヌーイは、自分の墓標に対数螺旋と「eadem mutata resurgo（変えられても、また同じ姿でよみがえる）」の言葉を刻ませたいと願いました（職人が誤ってアルキメデスの螺旋を彫ってしまったという逸話つきで）。
ひまわりの種がなぜあの渦を描くのか、にも数学が潜みます。種は中心から黄金角（約、円を黄金比で分ける角）ずつ回転して並んでいて、この角度だと種が最も無駄なく密に詰まる——だから、螺旋の本数を数えるとフィボナッチ数（）が現れるのです。植物が数学的に最適な配置を“知っている”ように見える、自然界の不思議の一つです。レーダーやソナーの画面、電波の指向性、中心対称なものはみな極座標で語るのが自然で、「距離と角度で世界を捉える」というこの座標系は、貝殻から銀河までを1つの言葉でつないでいます。