§A2.9平面・空間ベクトルの演算と成分表示

1 和・差・実数倍

• 和$\vec{a} + \vec{b}$：$\vec{a}$の終点に$\vec{b}$の始点をつなぐ（または平行四辺形の対角線）。
• 実数倍$k\vec{a}$：$k>0$なら向きはそのまま、$k<0$なら逆向き、$k=0$なら零ベクトルとなり向きは定まりません。大きさは$|k|$倍。
• 差$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。

下の図で$\vec{b}$の先端をドラッグしてください。和$\vec{a}+\vec{b}$が平行四辺形の対角線になることが見えます。

2 成分表示：計算に載せる

ベクトルを座標軸方向の成分で書くと、演算がただの数値計算になります。平面なら$\vec{a} = (a_1, a_2)$、空間なら$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$。

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2), \qquad k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)$

大きさ（長さ）は三平方の定理で$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$（空間なら 3成分の平方和の平方根）。ベクトルの図形的な操作が、成分では成分ごとの計算になる——これがベクトルを座標に載せる利点です。