§A2.2一般角と弧度法、三角関数の定義

1 弧度法：角を「長さ」で測る

弧度法とは、半径$1$の円で、角に対応する弧の長さをそのまま角の大きさとする測り方です。 単位はラジアン。半径$1$の円の全周は$2\pi$なので、

$360^\circ = 2\pi \ \text{ラジアン}, \qquad 180^\circ = \pi, \qquad 90^\circ = \frac{\pi}{2}$

弧度法を使うと、弧の長さ$= r\theta$、扇形の面積$= \tfrac12 r^2\theta$のように式が簡潔になり、さらに微分（$(\sin x)' = \cos x$など）がきれいに成り立ちます。以降、角は原則ラジアンで測ります。

2 単位円による定義

原点中心・半径$1$の円（単位円）上で、$x$軸の正の向きから角$\theta$だけ回転した点の座標を$(\cos\theta,\ \sin\theta)$と定める。 そして$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$。これが三角関数の定義です。$\tan\theta$は分母$\cos\theta=0$となる角、すなわち$\theta = \dfrac{\pi}{2}+n\pi$（$n\in\mathbb{Z}$、度数法では$90^\circ + 180^\circ\!\cdot n$）では定義されません。$\sin,\cos$はすべての角で定義されますが、$\tan$だけはこの定義域の穴に注意します。

この定義なら、$\theta$が$90^\circ$を超えても、負でも、一周を超えても、点さえ決まれば値が決まります。下の図で$\theta$を動かしてください。点の$y$座標が$\sin\theta$、$x$座標が$\cos\theta$です。

図の横軸・縦軸はそれぞれ座標の値であり、表示範囲は図に示した範囲に限られます。図からは点の位置や符号を観察できますが、周期や$\tan$の定義域などの等式・条件は定義と計算で確認します。表示範囲の外にも同じ定義が続いており、図に描かれていない角を解から除外してはいけません。

3 符号と周期

点が第何象限にあるかで、$\cos\theta, \sin\theta$の符号が決まります。また一周$2\pi$回ると同じ点に戻るので、$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$のように周期$2\pi$ を持ちます（$\tan$の周期は$\pi$）。