2×2行列と平面の一次変換 | 図形と方程式

定義 1.1 (2×2行列による一次変換). 実数 $a,b,c,d$ を成分とする行列と列ベクトルに対して

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\qquad T_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x} =\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}

と定める。この写像 $T_A$ は、ベクトルの和と実数倍を保つ平面の一次変換である。

反対に、ベクトルの和と実数倍を保つ平面の一次変換 $T$ は、ただ一つの2×2実行列 $A$ によって $T=T_A$ と表される。具体的には、

\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

の像 $T(\boldsymbol{e}_1),T(\boldsymbol{e}_2)$ が、それぞれ $A$ の第1列と第2列になる。

証明. 列ベクトル $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ と実数 $r$ をとる。成分を計算すると

A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}, \qquad A(r\boldsymbol{x})=rA\boldsymbol{x}

となるので、 $T_A$ はベクトルの和と実数倍を保つ。

次に、ベクトルの和と実数倍を保つ一次変換 $T$ をとり、

T(\boldsymbol{e}_1)=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix},\qquad T(\boldsymbol{e}_2)=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}

と書く。任意の列ベクトルは $\boldsymbol{x}=x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2$ と表されるから、

T(\boldsymbol{x})=xT(\boldsymbol{e}_1)+yT(\boldsymbol{e}_2) =\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}=T_A(\boldsymbol{x})

となる。 $T$ を表す行列の2列は $T(\boldsymbol{e}_1),T(\boldsymbol{e}_2)$ でなければならないので、その行列は一意である。▨

定理 1.2. 2×2実行列 $A,B$ に対し、列ベクトルへ $T_B$ を作用させてから $T_A$ を作用させる合成は

T_A\circ T_B=T_{AB}

である。したがって、先に作用する変換の行列は積の右側に置かれる。

証明. $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 、 $B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とし、列ベクトル $\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ をとる。 $B$ を作用させ、続いて $A$ を作用させると、

T_A(T_B(\boldsymbol{x})) =\begin{pmatrix} a(px+qy)+b(rx+sy)\\ c(px+qy)+d(rx+sy) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (ap+br)x+(aq+bs)y\\ (cp+dr)x+(cq+ds)y \end{pmatrix}.

一方、

AB=\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}

であるから、得られた列ベクトルは $(AB)\boldsymbol{x}$ に等しい。すべての $\boldsymbol{x}$ で値が一致するので、 $T_A\circ T_B=T_{AB}$ である。▨

定理 2.1. 原点を中心として列ベクトルを反時計回りに角 $\theta$ だけ回転する一次変換の行列は

R_\theta=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}

である。また、任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して

R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}

が成り立つ。

証明. 単位ベクトル $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$ をとる。それぞれの偏角は $0,\frac{\pi}{2}$ であるから、角 $\theta$ だけ回転すると、

\boldsymbol{e}_1\longmapsto \begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{e}_2\longmapsto \begin{pmatrix}\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)\\\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}.

この二つの像を列に並べると $R_\theta$ を得る。

行列積を計算すると、

R_\alpha R_\beta= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta& -(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)\\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}.

三角関数の加法定理を各成分に用いると、この行列は $R_{\alpha+\beta}$ に等しい。▨

例 2.2 (拡大・縮小、対称移動、せん断). 正の実数 $r$ と実数 $t$ に対し、次の行列は代表的な平面の一次変換を表す。

\begin{array}{c|c|c} \text{変換}&\text{行列}&(x,y)\text{ の移り先}\\ \hline \text{原点を中心とする }r\text{ 倍}& \begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}&(rx,ry)\\[4pt] x\text{ 軸に関する対称移動}& S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}&(x,-y)\\[4pt] x\text{ 座標を }ty\text{ だけずらすせん断}& \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}&(x+ty,y) \end{array}

回転と対称移動の順序は結果に影響する。 $\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ と $R_{\pi/2}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ に対して、

R_{\pi/2}S\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\qquad SR_{\pi/2}\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}.

したがって、 $R_{\pi/2}S\ne SR_{\pi/2}$ である。

定理 3.1. $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ に対して $\det A=ad-bc$ と定める。二つの列ベクトル $\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$ 、 $\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}$ が作る平行四辺形の符号付き面積を $ps-qr$ とすると、 $A\boldsymbol{u},A\boldsymbol{v}$ が作る符号付き面積は

(\det A)(ps-qr)

である。

$\det A\ne0$ であることと $T_A$ に逆変換が存在することは同値である。 $\det A>0$ ならば向きは保たれ、 $\det A<0$ ならば向きは反転する。 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$ が一直線上にない場合、面積の比は $|\det A|$ である。 $\det A=0$ の場合、平面全体の像は一つの直線または原点に潰れる。

証明. $A\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}ap+bq\\cp+dq\end{pmatrix}$ 、 $A\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}ar+bs\\cr+ds\end{pmatrix}$ と書く。この二つの列ベクトルが作る符号付き面積を展開すると、

(ap+bq)(cr+ds)-(cp+dq)(ar+bs) =(ad-bc)(ps-qr)

となる。したがって、符号付き面積には $\det A$ が掛かる。符号付き面積の符号は二辺の向きを表し、その絶対値は通常の面積を表すので、向きと面積比についての主張も従う。

$\det A\ne0$ とする。このとき

A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

と置いて両側から掛けると、 $A^{-1}A=AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ となる。よって $T_{A^{-1}}$ は $T_A$ の逆変換である。

$\det A=0$ とする。第1列 $\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}$ が零ベクトルでなければ、第2列 $\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}$ は第1列の実数倍である。実際、 $a\ne0$ ならば $ad=bc$ から第2列は第1列の $b/a$ 倍であり、 $a=0$ ならば $c\ne0$ かつ $b=0$ であるから第2列は第1列の $d/c$ 倍である。第1列が零ベクトルならば、像は第2列の実数倍だけからなる。したがって、 $\det A=0$ のとき、像は一つの直線または原点であり、平面全体にはならない。逆変換が存在すれば $T_A$ は平面全体への全射になるので、 $\det A=0$ の場合には逆変換が存在しない。▨

定理 4.1. 複素数 $x+iy$ に $u+iv$ を掛ける変換は、列ベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ に行列

\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}

を掛ける一次変換と一致する。特に $u^2+v^2=1$ ならば、ある実数 $\theta$ によって $u=\cos\theta$ 、 $v=\sin\theta$ と表され、この行列は $R_\theta$ である。

証明. 複素数の積を展開すると、

(u+iv)(x+iy)=(ux-vy)+i(vx+uy)

となる。実部と虚部を列に並べると、

\begin{pmatrix}ux-vy\\vx+uy\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

を得る。 $u^2+v^2=1$ の場合には点 $(u,v)$ が単位円上にあるので、 $u=\cos\theta$ 、 $v=\sin\theta$ を満たす実数 $\theta$ が存在し、行列は $R_\theta$ に等しい。▨

§A2.122×2行列と平面の一次変換

1 行列で表す一次変換

2 回転と代表的な変換

3 逆変換、面積、向き

4 複素数の積との対応

前提記事