§A2.142次曲線

1 3つの定義（距離の条件）

• 放物線：定点（焦点）と定直線（準線）から等距離にある点の軌跡。標準形$y^2 = 4px$。
• 楕円：2定点（焦点）からの距離の和が一定な点の軌跡。ただし和は焦点間の距離より大きくとる。標準形$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。
• 双曲線：2定点（焦点）からの距離の差の絶対値が一定な点の軌跡。ただし差の絶対値は$0$より大きく、焦点間の距離より小さくとる。標準形$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。

「和が一定＝楕円、差が一定＝双曲線」。定義が軌跡（前レベルの手法）そのものなので、方程式は距離の条件を書き下して整理すれば導けます。

たとえば焦点を$(\pm c,0)$とする楕円で、距離の和を$2a$（$a>c>0$）とおくと、平方根を含む距離の式を一方ずつ移項して二乗し、整理すると$(x^2/a^2)+(y^2/(a^2-c^2))=1$を得ます。逆にこの標準形を満たす点は、同じ二乗の計算を逆向きにたどり、距離の和$2a$を満たす（平方する前の符号は$a>c$で確認できる）。双曲線も距離の差を$2a$として同様に導け、$b^2=c^2-a^2$となります。放物線は焦点と準線の距離を二乗して整理すると$y^2=4px$（$p\ne0$）になります。

距離についた但し書きは飾りではありません。焦点を$\mathrm{F}(-2,0), \mathrm{F}'(2,0)$として、和をちょうど焦点間距離$4$にとると、軌跡は楕円ではなく線分$\mathrm{FF}'$に潰れます。和を$3$（焦点間距離より小さい値）にとれば、条件を満たす点は1つもありません。同じく双曲線で差を$0$にとると、軌跡は$\mathrm{FF}'$の垂直二等分線になってしまいます。

下の図は楕円です。$a, b$を動かすと、横長・縦長・円へと連続的に変わります。

2 焦点と離心率

各曲線には焦点があり、その位置は$a, b$から決まります。楕円では焦点は長い方の軸の上にあり、中心から焦点までの距離は$c=\sqrt{a^2-b^2}$（$a>b$の横長のとき、焦点は$x$軸上）または$c=\sqrt{b^2-a^2}$（$a<b$の縦長のとき、焦点は$y$軸上）です。いずれも「$c=\sqrt{(\text{長半径})^2-(\text{短半径})^2}$」と覚えれば1つの式で済みます。双曲線には漸近線$y = \pm\dfrac{b}{a}x$があり、遠方で曲線がこの直線に限りなく近づきます。

離心率は、楕円が「どれだけ円からずれて細長いか」を測る量で、$a$を長半径として$e=\frac{c}{a}\qquad(0\le e<1)$と定めます。$e=0$は$c=0$、つまり2焦点が一致した円。$e$が$1$に近いほど焦点が端に寄り、細長い楕円になります。実は放物線・楕円・双曲線は「焦点からの距離 ÷ 準線からの距離$=e$（一定）」という1つの定義で統一でき、$0<e<1$なら楕円、$e=1$なら放物線、$e>1$なら双曲線です。3種類が離心率という1つのつまみで連続的につながっている、というのが円錐曲線の見晴らしのよい姿です。

双曲線では$c=\sqrt{a^2+b^2}$、焦点は$(\pm c,0)$、離心率は$e=c/a>1$である。放物線では焦点と準線からの距離の比が$e=1$になる。

ただしこの統一定義に円（$e=0$）は入りません。焦点と準線を固定したまま$e=0$とすると、条件は「焦点からの距離が$0$」、つまり軌跡は焦点1点に潰れてしまうからです。円は、$e\to0$とするときに準線が無限のかなたへ去っていく極限として現れます。