§A2.4三角関数を含む方程式・不等式

1 基本：単位円で角を読む

$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$（$0 \le \theta < 2\pi$）を解くとは、単位円上で$y$座標が$\dfrac12$になる点の角をすべて挙げることです。第1象限の$\theta = \dfrac{\pi}{6}$と、第2象限の$\theta = \dfrac{5\pi}{6}$の2つ。

「値を満たす角は単位円上に何個あるか」を単位円またはグラフで確認してください。$\sin, \cos$は基本$2$個、範囲や値によって個数が変わります。式だけで 1つだけ答えて取りこぼす、が最頻出の失敗です。

2 変形の定石

• 角をそろえる：$\cos 2\theta$と$\sin\theta$が混在するなら、倍角公式で$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$として$\sin\theta$だけの式にする。すると$\sin\theta$を$t$と置いて2次方程式・2次不等式に帰着できます。
• 合成する：$a\sin\theta + b\cos\theta$の形は合成で1つの$\sin$にまとめ、$\sin(\theta+\varphi) = k$の形にする。
• 置き換えの範囲に注意：$t = \sin\theta$と置いたら$-1 \le t \le 1$。さらに$2\theta$や$\theta+\varphi$と置き換えたら、角の動く範囲も変換する（$0\le\theta<2\pi$なら$0\le 2\theta<4\pi$）。ここを忘れると解を取りこぼします。

3 不等式は範囲で答える

$0\le\theta<2\pi$の範囲で$\sin\theta > \dfrac12$なら、単位円で$y > \dfrac12$となる角の範囲（$\dfrac{\pi}{6} < \theta < \dfrac{5\pi}{6}$）を読みます。実数全体での解は$\dfrac{\pi}{6}+2n\pi<\theta<\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\ (n\in\mathbb{Z})$です。方程式が「点」を、不等式が「弧（範囲）」を答えるイメージです。