絶対値と根号の計算 | 数と式の計算

1 絶対値

定義 1.1 (絶対値). 実数 $a$ に対して

|a|=\begin{cases} a&(a\ge0),\\ -a&(a<0) \end{cases}

と定め、 $|a|$ を $a$ の絶対値という。すべての実数 $a$ について $|a|\ge0$ であり、 $|a|$ は数直線上で $a$ を表す点と原点との距離に等しい。たとえば

|-3|=|3|=3

である。

公式 1.2 (数直線上の二点の距離). 実数 $x,a$ に対して、数直線上で $x$ を表す点と $a$ を表す点との距離は $|x-a|$ に等しい。

証明. $x\ge a$ とする。二点の距離は $x-a$ であり、 $x-a\ge0$ であるから定義 1.1により $|x-a|=x-a$ となる。

$x<a$ とする。二点の距離は $a-x$ であり、 $x-a<0$ であるから

|x-a|=-(x-a)=a-x

となる。どちらの場合も二点の距離は $|x-a|$ に等しい。▨

$r>0$ のとき、不等式 $|x-a|<r$ は、 $x$ を表す点が $a$ を表す点から距離 $r$ 未満にあることを表します。次の図では、 $a$ を動かすとグラフと $x$ 軸の共有点が $a$ へ移り、各 $x$ における高さが $x$ と $a$ の距離に一致します。

2 平方根

定理 2.1. $n$ を正の整数とする。

$0\le x<y$ ならば $x^n<y^n$ である。したがって、非負実数 $x,y$ が $x^n=y^n$ を満たすならば $x=y$ である。
正の実数 $a$ に対して、 $b^n=a$ を満たす正の実数 $b$ がただ一つ存在する。

証明. $0\le x<y$ とする。 $n=1$ ならば $y^n-x^n=y-x>0$ である。 $n\ge2$ とすると、因数分解

y^n-x^n=(y-x)(y^{n-1}+y^{n-2}x+\cdots+yx^{n-2}+x^{n-1})

において、第一の因数は正である。第二の因数の各項は非負であり、 $y>0$ であるから $y^{n-1}>0$ である。したがって第二の因数も正であり、 $y^n-x^n>0$ となる。

非負実数 $x,y$ が $x^n=y^n$ を満たすとする。 $x<y$ または $y<x$ ならば、上の結果により $x^n\ne y^n$ となるので、 $x=y$ である。

正の実数 $a$ に対して $b^n=a$ を満たす正の実数 $b$ が存在することは§B3.1 定理 2.1により従う。そのような正の実数が二つあれば、項1の一意性により両者は等しい。したがって項2の存在と一意性が成り立つ。▨

定義 2.2 (平方根). $a\ge0$ とする。二乗すると $a$ になる実数を $a$ の平方根という。 $a>0$ のとき、定理 2.1の2によって定まる、二乗すると $a$ になるただ一つの正の実数を $\sqrt a$ と書く。また $\sqrt0=0$ と定める。

$a>0$ の平方根は $\sqrt a$ と $-\sqrt a$ の二つです。実数 $x$ が $x^2=a$ を満たすならば、 $|x|^2=a$ であり、定理 2.1の1から $|x|=\sqrt a$ となります。記号 $\sqrt{\ }$ は二つの平方根のうち非負のものだけを表すので、 $\sqrt9=3$ であり、 $-3$ ではありません。

公式 2.3. すべての実数 $a$ について

\sqrt{a^2}=|a|

が成り立つ。

証明. $|a|$ は非負であり、定義 1.1から $|a|^2=a^2$ である。二乗すると $a^2$ になる非負実数は定理 2.1の1によりただ一つである。 $\sqrt{a^2}$ もその非負実数であるから、 $\sqrt{a^2}=|a|$ となる。▨

$a<0$ の場合、 $\sqrt{a^2}$ は $a$ ではなく $-a$ です。たとえば $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3=|-3|$ となります。

公式 2.4 (平方根の積と商). $a,b$ を非負実数、 $m$ を正の整数とする。

$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ 。
$b>0$ ならば $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$ 。
$(\sqrt a)^m=\sqrt{a^m}$ 。

証明. $\sqrt a\sqrt b$ は非負であり

(\sqrt a\sqrt b)^2=ab

を満たす。二乗すると $ab$ になる非負実数の一意性から、項1を得る。

$b>0$ とする。 $\sqrt a/\sqrt b$ は非負であり

\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\right)^2=\frac ab

を満たす。 $a/b\ge0$ であるから、同じ一意性により項2を得る。

$(\sqrt a)^m$ は非負であり

((\sqrt a)^m)^2=a^m

を満たす。 $a^m\ge0$ であるから、同じ一意性により項3を得る。▨

例 2.5 (平方根の簡約). $12=2^2\cdot3$ であるから

\sqrt{12}=\sqrt{2^2}\sqrt3=2\sqrt3

となる。また

\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5, \qquad (\sqrt3)^4=\sqrt{3^4}=\sqrt{81}=9

となる。各変形では根号の中が非負であり、商の分母 $\sqrt2$ は正である。

3 根号の中に置く数の範囲

注意 3.1. 実数の範囲では、 $\sqrt{\ }$ の中に置く数は非負でなければならない。実数の二乗は非負であるから、二乗すると $-2$ になる実数は存在せず、 $\sqrt{-2}$ は実数として定まらない。

式に $\sqrt{x-1}$ が現れる場合、実数の範囲で扱うことができるのは $x-1\ge0$ 、すなわち $x\ge1$ の場合に限られます。この条件を確かめずに変形すると、元の式が定まらない値が答えの候補へ混じります。

4 分母の有理化

分母と分子へ同じ非零の式を掛け、分母から根号を除く変形を有理化といいます。

例 4.1 (分母の有理化). $\sqrt2>0$ であるから

\frac1{\sqrt2} =\frac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}

となる。

また $\sqrt3-1\ne0$ であり、 $(p-q)(p+q)=p^2-q^2$ であるから

\frac1{\sqrt3-1} =\frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} =\frac{\sqrt3+1}{3-1} =\frac{\sqrt3+1}{2}

となる。

5 $n$ 乗根

定義 5.1 ( $n$ 乗根). $a>0$ とし、 $n$ を正の整数とする。定理 2.1の2によって定まる、 $n$ 乗すると $a$ になるただ一つの正の実数を $a$ の $n$ 乗根といい、 $\sqrt[n]{a}$ と書く。 $n=2$ の場合には $\sqrt[2]{a}$ を $\sqrt a$ と書く。

注意 5.2. $n$ を正の整数とする。

$n$ が偶数であるとき、任意の実数の $n$ 乗は非負である。 $a<0$ に対して $n$ 乗すると $a$ になる実数は存在しない。 $a>0$ に対して $n$ 乗すると $a$ になる実数は $\sqrt[n]{a}$ と $-\sqrt[n]{a}$ の二つだけである。
$n$ が奇数であるとき、 $a<0$ に対して $n$ 乗すると $a$ になる実数が存在する。
記号 $\sqrt[n]{a}$ は、本記事では $a>0$ の場合にだけ用いる。 $n$ が奇数であっても、 $a<0$ に対してこの記号を用いない。

$n$ が偶数ならば、実数 $x$ に対して

x^n=(x^{n/2})^2\ge0

である。さらに $x^n=a>0$ ならば $|x|^n=a$ であるから、定理 2.1の1により $|x|=\sqrt[n]{a}$ となり、 $x=\pm\sqrt[n]{a}$ である。

$n$ が奇数で $a<0$ ならば $-a>0$ であり

(-\sqrt[n]{-a})^n=-(\sqrt[n]{-a})^n=a

となるので、項2の実数が存在する。項3は、偶奇によって根号記号の定義域を変えないための規約である。

公式 5.3 ( $n$ 乗根の計算法則). $a,b$ を正の実数、 $m,n$ を正の整数とする。

$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ 。
$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac ab}$ 。
$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ 。
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ 。

証明. $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ は正であり

(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b})^n=ab

を満たす。定理 2.1の1による一意性から項1を得る。

$\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$ は正であり

\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n=\frac ab

を満たす。同じ一意性から項2を得る。

$(\sqrt[n]{a})^m$ は正であり

((\sqrt[n]{a})^m)^n=a^m

を満たす。同じ一意性から項3を得る。

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ は正であり

(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^{mn} =((\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^m)^n =(\sqrt[n]{a})^n=a

を満たす。 $mn$ 乗の正の根の一意性から項4を得る。▨

例 5.4 ( $n$ 乗根の計算). $2^3=8$ であるから $\sqrt[3]{8}=2$ である。公式 5.3を用いると

\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2, \qquad \frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{27}=3

となる。また

(\sqrt[4]{3})^2=\sqrt[4]{9}=\sqrt3, \qquad \sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2

となる。 $\sqrt[4]{9}=\sqrt3$ は、両辺が正で、四乗するとともに $9$ になることからも確かめることができる。

公式 5.3は $a>0$ と $b>0$ を仮定しています。たとえば $\sqrt[3]{x-2}$ を本記事の記号で扱うことができるのは $x>2$ の場合に限られます。また

\sqrt[3]{x-2}\sqrt[3]{x+2}=\sqrt[3]{x^2-4}

と変形する場合にも、 $x-2>0$ と $x+2>0$ 、すなわち $x>2$ を先に確かめます。

閑話休題：角が1つ、から、角だらけの怪物へ $y=|x|$ のグラフは原点で折れ曲がり、左側の傾きが $-1$ 、右側の傾きが $1$ であるため、原点では微分することができない。一方、原点以外では直線である。

ワイエルシュトラスは1872年に、 $\sum a^n\cos(b^n\pi x)$ という形の級数について $0<a<1$ と $b$ に適切な条件を課し、連続であるが至る所で微分することができない関数を与えた。この例は、連続なグラフが多くの点で滑らかであるとは限らないことを示している。

細部を拡大しても複雑な形が現れるという性質は、フラクタルを考える入口になる。ブラウン運動の数学的モデルの経路も、確率1で連続であるが至る所で微分することができない。 $|x|$ の一つの角は、連続性と微分可能性を区別する最初の例である。

6 つまずいたら

公式 2.3の絶対値を外して $\sqrt{a^2}=a$ と書くと、 $a<0$ で誤りになります。 $n$ が偶数の場合も、 $a\ne0$ なら $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ です。両辺が正で、 $n$ 乗すると $a^n$ になることから従います。
公式 2.4は $a,b\ge0$ を仮定しています。 $\sqrt{-2}\sqrt{-3}$ は注意 3.1により実数の範囲で定まりません。
注意 5.2の3により、本記事では $\sqrt[n]{a}$ を $a>0$ の場合だけに用います。奇数 $n$ について負の数の $n$ 乗根となる実数は存在しますが、その実数を根号記号では表しません。
公式 5.3の3では、 $(\sqrt[n]{a})^m$ と $\sqrt[n]{a^m}$ は同じ値です。計算しやすい側を選びます。
有理化では、分母に掛ける非零の数を分子にも掛けます。分母だけに掛けると値が変わります。

本記事で認める結果と扱わない範囲 — 正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して、 $n$ 乗すると $a$ になる正の実数が存在することは§B3.1 定理 2.1に委ねます。「指数関数と対数関数」では、この存在を証明したうえで、 $\sqrt[n]{a}$ を用いて有理数指数の累乗を定めます。負の数の平方根は「複素数の四則と解と係数の関係」が扱います。本記事では、平方根の根号の中を非負に限ります。

§A1.2絶対値と根号の計算

1 絶対値

2 平方根

3 根号の中に置く数の範囲

4 分母の有理化

5 $n$ 乗根

例題

演習

§A1.2絶対値と根号の計算

1 絶対値

2 平方根

3 根号の中に置く数の範囲

4 分母の有理化

5 nnn乗根

例題

演習

5 $n$ 乗根