§A1.5一次・二次方程式と解の公式

1 一次方程式：移項して割る

$ax + b = 0$（$a \ne 0$）の形は、$b$を移項して$a$で割るだけです。

$3x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; 3x = 6 \;\Rightarrow\; x = 2$

移項は「両辺に同じ操作をする」ことの略記です。両辺から$6$を引き、両辺を$3$で割った、というのが中身。この「両辺に同じ操作」という原理は、後の同値変形すべての土台になります。

2 二次方程式：3つの武器を使い分ける

$a,b,c\in\mathbb R$、$a\ne0$とした二次方程式$ax^2 + bx + c = 0$には解き方が3通りあります。

1. 因数分解：$(x - p)(x - q) = 0$の形にできれば、解は$x = p, q$。「掛けて$0$なら、どちらかが$0$」を使う、いちばん速い方法。
2. 平方完成：$(x + m)^2 = k$の形に変形して平方根をとる。例えば$x^2-6x+5=0$は$(x-3)^2=4$なので$x=1,5$。
3. 解の公式：いつでも使える最終手段。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

まず因数分解を試し、無理なら解の公式、というのが実戦の順番です。

3 判別式：解の個数を先に知る

解の公式の根号の中身$D = b^2 - 4ac$を判別式と呼びます。$\sqrt{D}$が実数として存在するかどうかで、実数解の個数が決まります。

• $D > 0$：異なる2つの実数解
• $D = 0$：重解（1つ）
• $D < 0$：実数解なし

下の図で$b, c$を動かすと、放物線$y = x^2 + bx + c$と$x$軸の交点の個数が、まさに$D = b^2 - 4c$の符号にしたがって$2 \to 1 \to 0$と変わります。