多項式（整式）とは、係数を実数、指数を非負整数として、のように数と不定元の積（単項式）を有限個足し合わせた形式的な式のことです。 各単項式の文字部分の次数のうち最大のものを、その多項式の次数と呼びます。
ここではを不定元、係数をとするを基本の範囲とします。零多項式はすべての係数がの多項式で、次数は通常定めない（またはとする）とします。
多項式の計算は、この後のすべての単元で毎日使う「手の速さ」です。理屈は少なく、量が効きます。
1 加減：同類項をまとめる
文字の部分が同じ項（同類項）だけが足し引きできます。係数を足すだけです。
引き算では、後ろの多項式の全部の符号を反転してから足します。ここの符号ミスが非常に多いので、引く式には必ずカッコをつけて展開する癖をつけてください。
2 乗法：分配して、同類項をまとめる
各項を互いに掛け合わせて（分配法則）、最後に同類項をまとめます。次の展開公式は暗記して、見た瞬間に書けるようにします。
これらは因数分解の「答えの形」でもあります。展開を速くしておくと、逆向きの因数分解も速くなります。
3 除法：割り算は次数を下げる方向に
零多項式でない多項式を多項式で割ると、商と余りが出ます。数の筆算と同じで、割られる式の最高次の項から順に消していき、余りの次数が割る式より小さくなったら終わりです。
（除法・剰余の定理・因数定理は、発展レベルでさらに詳しく扱います。ここでは筆算の手順に慣れるのが目標です。）
閑話休題：掛け算の筆算は、最速ではなかった 多項式の掛け算と、大きな数の掛け算は、実は同じ計算です。（）と思えば、数の筆算は多項式の展開そのもの。さて、桁 ×桁の筆算では、1桁どうしの掛け算を約回やります。1960年、ソ連の大数学者コルモゴロフは「回より本質的に速くはできないだろう」と予想をセミナーで語りました。ところがその席にいた23歳の学生カラツバが、1週間で反例を持ってきます。の展開にはの4つの積が要りそうですが、実は、、の3回で足ります——真ん中の係数はと、掛け算せずに引き算で出せるからです。桁を半分に割ってこれを再帰的に繰り返すと、掛け算の回数がからおよそに落ちます。
この「たった1回の節約」が突破口になり、その後フーリエ変換を使った高速乗算が開発され、 2019年にはついに理論限界と信じられる級の方法に到達しました。暗号（数百桁の整数の演算）や円周率の兆桁計算は、この系譜のアルゴリズムなしには動きません。いま練習している展開・筆算の中に、20世紀後半まで誰も気づかなかった無駄が隠れていた——「当たり前の計算」ほど、疑うと深いのです。