§A1.82次不等式

1 グラフとの対応で読む

$a > 0$（下に凸）の放物線を思い浮かべてください。

• $ax^2 + bx + c > 0$（$y$が正）＝ 放物線が$x$軸より上にある$x$の範囲
• $ax^2 + bx + c < 0$（$y$が負）＝ 放物線が$x$軸より下にある$x$の範囲

下の図で$b, c$を動かしてください。縦帯が「放物線が$x$軸より下」の範囲、つまり不等式$< 0$の解です。2解（軸との交点）の間が$< 0$、外側が$> 0$になる、という対応が体で分かります。

2 手順

1. $ax^2+bx+c = 0$を解いて交点（境界）を求める。因数分解か解の公式で。
2. 放物線の向き（$a$の符号）を確認して、上に凸か下に凸か決める。
3. グラフを描き、不等号の向きに合う範囲を読む。

$a > 0$で 2解$\alpha < \beta$を持つとき、

$ax^2+bx+c > 0 \iff x < \alpha \ \text{または}\ x > \beta, \qquad ax^2+bx+c < 0 \iff \alpha < x < \beta$

3 判別式が絡む場合に注意

ここで$D=b^2-4ac$を判別式とします。交点がない（$D < 0$）とき、下に凸の放物線は全体が$x$軸より上にあります。すると

• $ax^2+bx+c > 0$はすべての実数が解
• $ax^2+bx+c < 0$は解なし

$x$軸に接する（$D = 0$、重解を$\alpha$とする）ときは、放物線が1点だけで$x$軸に触れるので、4つの不等号がすべて違う答えになります（$a > 0$のとき）。

• $ax^2+bx+c > 0$は$x \ne \alpha$のすべての実数
• $ax^2+bx+c \ge 0$はすべての実数
• $ax^2+bx+c < 0$は解なし
• $ax^2+bx+c \le 0$は$x = \alpha$の1点のみ

たとえば$x^2 - 2x + 1 > 0$の解は「$x \ne 1$のすべての実数」。「2解の間・外側」の型にも「全実数・解なし」の型にも当てはまらないので、$D = 0$を見たら必ず接する図を描いてください。

この分岐は、式だけ見ていると間違えます。放物線を1本描けば一目です。