§A1.11分数式の計算と定義域

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分数式とは、実数係数多項式A,BA,B（BBは零多項式でない）から作る形A(x)B(x)\dfrac{A(x)}{B(x)}で、変数は実数xx、定義域はB(x)≠0B(x)\ne0の範囲です。 数の分数と同じ四則規則で計算できますが、文字の値によって分母が00になるため、計算の前に定義域を確認します。

1 定義域を先に固定する

1x−2\dfrac{1}{x-2}はx=2x=2では定義されません。式変形で因子が消えても、もとの式で除外した値は戻りません。

x−2(x−2)(x+1)=1x+1,x≠2,−1\frac{x-2}{(x-2)(x+1)}=\frac{1}{x+1},\qquad x\ne2,-1

右辺だけを見るとx=2x=2を代入できそうですが、左辺と同じ式として扱えるのはx≠2,−1x\ne2,-1の範囲だけです。分数式の計算では、答えと定義域を一組で書きます。

2 四則計算

  • 乗法は分子どうし、分母どうしを掛ける。
  • 除法は割る式の逆数を掛ける。ただし、割る式が00になる値も除外する。
  • 加減は最小公倍式で通分してから分子を計算する。
1x+1x+1=(x+1)+xx(x+1)=2x+1x(x+1),x≠0,−1\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1} =\frac{(x+1)+x}{x(x+1)} =\frac{2x+1}{x(x+1)},\qquad x\ne0,-1

約分できるのは掛け算で結ばれた因子だけです。項どうしを消すことはできません。

3 方程式・不等式での注意

分数式を含む方程式では、分母が00でないことを確認してから最小公倍式を掛けます。両辺に掛けた式が正か負かで不等号の向きが変わる場合は、符号表や定義域の区間分けが必要です。

例えば

x−1x+2>0\frac{x-1}{x+2}>0

では、境界x=1,−2x=1,-2を数直線に置き、各区間で分子と分母の符号を調べます。

x=−2x=-2は定義域から除外し、x=1x=1は不等号が厳密なので答えに含めません。したがって解は(−∞,−2)∪(1,∞)(-\infty,-2)\cup(1,\infty)です。

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

次の分数式を約分して既約な形にせよ。あわせて、式が定義されない x の値も答えよ。

解法の型分子・分母を因数分解し、共通因数で割ってから除外値を確認する。

  1. 例題 1

    x2+6x+8x2+3x−4\dfrac{x^{2}+6x+8}{x^{2}+3x-4}

  2. 例題 2

    x2+x−6x2+4x+3\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{2}+4x+3}

  3. 例題 3

    x2−3x+2x2−x\dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-x}

  4. 例題 4

    x2−2x−15x2+5x+6\dfrac{x^{2}-2x-15}{x^{2}+5x+6}

  5. 例題 5

    x2−2x−3x2+6x+5\dfrac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+6x+5}

  6. 例題 6

    x2+x−2x2−5x+4\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-5x+4}

  7. 例題 7

    x2+x−2x2−6x+5\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-6x+5}

  8. 例題 8

    x2+4x+3x2+2x−3\dfrac{x^{2}+4x+3}{x^{2}+2x-3}

  9. 例題 9

    x2+2x−15x2+4x−5\dfrac{x^{2}+2x-15}{x^{2}+4x-5}

  10. 例題 10

    x2−6x+5x2−9x+20\dfrac{x^{2}-6x+5}{x^{2}-9x+20}

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

次の分数式を約分して既約な形にせよ。あわせて、式が定義されない x の値も答えよ。

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