Fitting 部分群 | 群論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 用いる先行結果

証明で用いる先行結果の仮定と結論を記録する。

注意 1.1 (用いる先行結果). 本記事は、次の結果を用いる。

元の中心化群は部分群であり、群の中心は全元の中心化群の共通部分である（§E7.12 命題 1.3）。
有限群が冪零であることと、すべての Sylow 部分群が正規であることは同値である。このとき群は Sylow 部分群の内部直積になる（§E7.22 定理 4.1）。
有限群には Sylow $p$ 部分群が存在する（§E7.17 定理 1.2）。任意の $p$ 部分群は、ある Sylow $p$ 部分群に含まれ、任意の二つの Sylow $p$ 部分群は共役である（§E7.17 定理 2.1）。
$H\le G$ と $N\trianglelefteq G$ に対し、 $HN$ は部分群であり、 $H/(H\cap N)\cong HN/N$ である。とくに群が有限ならば $|HN|=|H||N|/|H\cap N|$ となる（§E7.8 定理 2.1）。
可解群の部分群と商群は可解であり、正規部分群と対応する商群がともに可解ならば元の群も可解である（§E7.21 定理 3.2）。
非自明な有限可解群の極小な非自明正規部分群は、ある素数 $p$ に対する初等アーベル $p$ 群である（§E7.30 補題 2.1）。

記事末の例では、Lagrange の定理（§E7.6 定理 2.1）と $A_5$ の単純性（§E7.19 定理 4.1）も用いる。

2 正規冪零部分群の積

証明方針は次のとおりである。各素数 $p$ に対し、 $M$ と $N$ の Sylow $p$ 部分群を $M_p$ と $N_p$ と書く。冪零性により、 $M_p$ と $N_p$ はそれぞれの群で唯一の Sylow 部分群である。したがって $M_p$ と $N_p$ は $G$ の正規部分群である。積 $M_pN_p$ の位数が $|MN|$ を割る最大の $p$ の冪であることを示し、 $MN$ のすべての Sylow 部分群が正規であることへ帰着する。

定理 2.1 (Fitting の積定理). $G$ を有限群とし、 $M,N\trianglelefteq G$ を冪零部分群とする。このとき $MN\trianglelefteq G$ であり、 $MN$ は冪零群である。

証明. $M,N\trianglelefteq G$ なので $MN$ は $G$ の正規部分群である。

$p$ を任意の素数とする。 $p$ が群の位数を割らない場合には自明部分群を Sylow $p$ 部分群とみなし、 $M$ と $N$ の Sylow $p$ 部分群をそれぞれ $M_p$ と $N_p$ と書く。§E7.22 定理 4.1により、 $M_p\trianglelefteq M$ である。§E7.17 定理 2.1により Sylow $p$ 部分群はすべて共役なので、 $M_p$ は $M$ の唯一の Sylow $p$ 部分群である。 $M$ の任意の自己同型は Sylow $p$ 部分群を Sylow $p$ 部分群へ移すため、 $M_p$ は $M$ の特性部分群である。 $M\trianglelefteq G$ から $M_p\trianglelefteq G$ が従う。 $N_p$ についても、 $N_p\trianglelefteq N$ と Sylow $p$ 部分群の共役性から $N_p$ は $N$ の唯一の Sylow $p$ 部分群であり、 $N$ の特性部分群である。 $N\trianglelefteq G$ なので $N_p\trianglelefteq G$ となる。

したがって $P_p=M_pN_p$ は $G$ の正規部分群である。また

|P_p|=\frac{|M_p||N_p|}{|M_p\cap N_p|}

は $p$ の冪なので、 $P_p$ は $MN$ の $p$ 部分群である。

正整数 $a$ を割る最大の $p$ の冪を $a_p$ と書く。とくに、有限群 $X$ に対して $|X|_p$ は $|X|$ を割る最大の $p$ の冪である。 $M\cap N$ の Sylow $p$ 部分群 $R$ を取る。 $R$ は $M$ と $N$ の $p$ 部分群なので、§E7.17 定理 2.1と $M_p,N_p$ の一意性により

R\le M_p\cap N_p

となる。一方、 $M_p\cap N_p$ は $M\cap N$ の $p$ 部分群である。 $R$ の位数は $|M\cap N|$ を割る最大の $p$ の冪なので、上の包含と合わせて

M_p\cap N_p=R,\qquad |M_p\cap N_p|=|M\cap N|_p

を得る。したがって

\begin{aligned} |P_p| &=\frac{|M|_p|N|_p}{|M\cap N|_p}\\ &=\left(\frac{|M||N|}{|M\cap N|}\right)_p =|MN|_p. \end{aligned}

ゆえに $P_p$ は $MN$ の Sylow $p$ 部分群である。 $P_p\trianglelefteq G$ なので、とくに $P_p\trianglelefteq MN$ である。任意の素数 $p$ について $MN$ の Sylow $p$ 部分群が正規であるから、§E7.22 定理 4.1により $MN$ は冪零群である。▨

正規性を仮定しなければ、二つの冪零部分群の積は部分群になるとは限らない。

例 2.2 (正規性を外した場合). $G=S_3$ とし、

H=\langle(1\,2)\rangle,\qquad K=\langle(2\,3)\rangle

と置く。 $H$ と $K$ は位数 $2$ の巡回群なので冪零である。しかし、集合としての積は

HK=\{e,(1\,2),(2\,3),(1\,2\,3)\}

であり、4個の元をもつ。 $4$ は $|S_3|=6$ を割らないため、§E7.6 定理 2.1により $HK$ は部分群でない。実際、 $H$ と $K$ は $S_3$ の正規部分群ではない。

3 Fitting 部分群

有限群には部分群が有限個しかないため、積定理を有限回適用することができる。

定義 3.1. $G$ を有限群とする。 $G$ の正規冪零部分群全体の集合を $\mathcal N(G)$ とし、

F(G)=\prod_{N\in\mathcal N(G)}N

と定める。この部分群を $G$ の Fitting 部分群 (Fitting subgroup) という。自明部分群は $\mathcal N(G)$ に属する。

定義に現れる積が正規冪零部分群であることは、定義ではなく次の定理の内容である。

証明方針は次のとおりである。有限性を用いて、 $G$ の正規冪零部分群を有限個に列挙する。定理 2.1を有限回適用し、その積 $F(G)$ が正規冪零部分群であり、列挙した各部分群を含むことを示す。次に、 $G$ の任意の自己同型が正規冪零部分群全体を置換することを確認する。最後に、その自己同型が積 $F(G)$ を保つことから特性部分群性を得る。

定理 3.2. $G$ を有限群とする。このとき $F(G)$ は $G$ の正規冪零部分群であり、すべての正規冪零部分群を含む。したがって $F(G)$ は包含関係に関して最大の正規冪零部分群であり、しかも $G$ の特性部分群である。

証明. $G$ は有限群なので $\mathcal N(G)$ は有限集合である。その元を $N_1,\ldots,N_s$ とする。定理 2.1を繰り返し適用すると、

N_1,\quad N_1N_2,\quad\ldots,\quad N_1\cdots N_s=F(G)

はすべて $G$ の正規冪零部分群である。定義から、任意の $N\in\mathcal N(G)$ は $F(G)$ に含まれる。ゆえに $F(G)$ は最大の正規冪零部分群である。

$\alpha\in\operatorname{Aut}(G)$ とする。 $N\trianglelefteq G$ ならば $\alpha(N)\trianglelefteq G$ である。また、同型写像は Sylow 部分群を Sylow 部分群へ移し、正規性を保つ。したがって§E7.22 定理 4.1により、 $N$ が冪零ならば $\alpha(N)$ も冪零である。ゆえに $\alpha$ は $\mathcal N(G)$ をそれ自身へ全単射に移し、

\alpha(F(G)) =\prod_{N\in\mathcal N(G)}\alpha(N) =\prod_{N\in\mathcal N(G)}N =F(G)

を満たす。したがって $F(G)$ は $G$ の特性部分群である。▨

4 有限可解群における自己中心化性

定義 4.1. 群 $G$ と部分群 $H\le G$ に対して

C_G(H)=\{g\in G\mid gh=hg\text{ がすべての }h\in H\text{ について成り立つ}\}

と定め、 $H$ の中心化群 (centralizer of a subgroup) と呼ぶ。

命題 4.2. 群 $G$ の任意の部分群 $H\leq G$ に対して、 $C_G(H)$ は $G$ の部分群である。

証明. 定義から

C_G(H)=\bigcap_{h\in H}C_G(h)

であり、§E7.12 命題 1.3により右辺の各集合は部分群である。部分群の共通部分は部分群であるから、 $C_G(H)\leq G$ となる。

▨

有限可解群では、極小正規部分群が Fitting 部分群の非自明な部分を与える。

命題 4.3. $G$ を非自明な有限可解群とする。このとき

F(G)\ne\{e_G\}.

証明. 有限性により、 $G$ は包含関係に関して極小な非自明正規部分群 $V$ をもつ。§E7.30 補題 2.1により、ある素数 $p$ に対して $V$ は初等アーベル $p$ 群である。とくに $V$ はアーベル群なので、その上中心列は

\{e_G\}\le V=Z(V)

で $V$ に達し、 $V$ は冪零群である。 $V\trianglelefteq G$ と定理 3.2から

\{e_G\}\ne V\le F(G)

を得る。▨

中心化群の定理に必要となる有限群の局所補題を先に証明する。

補題 4.4. $L$ を有限群、 $Z\le Z(L)$ を部分群とする。ある素数 $p$ に対して $L/Z$ が $p$ 群ならば、 $L$ は冪零群である。

証明方針は次のとおりである。 $Z$ の $p$ 以外の Sylow 部分群を掛け合わせて、 $Z$ の $p'$ 部分 $R$ を作る。 $L$ の Sylow $p$ 部分群 $P$ と $R$ の位数の積は $|L|$ になる。 $R$ は中心に含まれるため $L=PR$ から $P\trianglelefteq L$ が従い、他の Sylow 部分群も $R$ に含まれて中心的になる。

証明. $Z$ はアーベル群である。 $q\ne p$ を $|Z|$ の素因数とし、 $Z$ の Sylow $q$ 部分群を $R_q$ と書く。 $Z$ における共役は自明なので、§E7.17 定理 2.1により $R_q$ は一意である。異なる $R_q$ は互いに可換し、位数が互いに素なので、

R=\prod_{\substack{q\mid |Z|\\q\ne p}}R_q

は $Z$ の位数の $p$ 以外の素数冪をすべて含む部分群である。 $R\le Z(L)$ なので $R\trianglelefteq L$ である。

$P$ を $L$ の Sylow $p$ 部分群とする。 $|L/Z|$ は $p$ の冪なので、 $|L|$ の $p$ 以外の部分は $|R|$ に等しい。したがって

P\cap R=\{e_L\},\qquad |P||R|=|L|

である。 $R\trianglelefteq L$ なので $PR$ は部分群であり、位数の等式から $L=PR$ となる。任意の $x\in L$ を $x=ur$ （ $u\in P,\ r\in R$ ）と書くと、 $R\le Z(L)$ から

xPx^{-1}=uPu^{-1}=P

となる。ゆえに $P\trianglelefteq L$ である。

$q\ne p$ について、 $R_q$ の位数は $|L|$ を割る最大の $q$ の冪なので、 $R_q$ は $L$ の Sylow $q$ 部分群である。しかも $R_q\le Z(L)$ なので $R_q\trianglelefteq L$ である。したがって $L$ のすべての Sylow 部分群は正規であり、§E7.22 定理 4.1により $L$ は冪零群である。▨

証明方針は次のとおりである。 $C=C_G(F(G))$ と置くと、 $C\cap F(G)=Z(F(G))$ である。包含が成り立たないと仮定し、商群 $G/Z(F(G))$ において $C/Z(F(G))$ に含まれる極小な非自明正規部分群を取る。その部分群は初等アーベル $p$ 群である。逆像は $F(G)$ の中心による $p$ 群拡大なので冪零となり、 $F(G)$ の最大性と矛盾する。

定理 4.5. $G$ を非自明な有限可解群とする。このとき

C_G(F(G))\le F(G).

証明. $F=F(G)$ 、 $C=C_G(F)$ 、 $Z=Z(F)$ と置く。定理 3.2により $F$ は $G$ の特性部分群である。したがって

gCg^{-1}=C_G(gFg^{-1})=C_G(F)=C

が任意の $g\in G$ について成り立ち、 $C\trianglelefteq G$ である。また、 $Z$ は $F$ の特性部分群なので $Z\trianglelefteq G$ であり、

C\cap F=Z \tag{1}

である。実際、 $C\cap F$ は $F$ のすべての元と可換する $F$ の元全体である。

$C\not\le F$ と仮定する。(1) により $C/Z$ は $G/Z$ の非自明な正規部分群である。§E7.21 定理 3.2により $G/Z$ は有限可解群である。 $C/Z$ に含まれる $G/Z$ の非自明な正規部分群のうち、包含関係に関して極小なものを $L/Z$ とする。 $L/Z$ に含まれる $G/Z$ の非自明な正規部分群は $C/Z$ にも含まれ、選択時の極小性により $L/Z$ 自身に一致する。したがって $L/Z$ は $G/Z$ の極小な非自明正規部分群である。§E7.30 補題 2.1を $G/Z$ に適用すると、ある素数 $p$ に対して $L/Z$ は初等アーベル $p$ 群である。

$L/Z\le C/Z$ なので $L\le C$ である。ゆえに $L$ のすべての元は $F$ を中心化する。とくに $Z\le F$ から

Z\le Z(L)

となる。補題 4.4により $L$ は冪零群である。また $L/Z\trianglelefteq G/Z$ なので $L\trianglelefteq G$ である。したがって定理 3.2から $L\le F$ が従う。一方、 $L\le C$ なので (1) から $L\le C\cap F=Z$ となる。包含 $L\le Z$ は $L/Z$ が非自明であることに反する。

したがって $C\le F$ である。▨

5 例と仮定の境界

$S_3$ では Fitting 部分群を直接に決定することができる。

例 5.1 ( $S_3$ の Fitting 部分群). $A_3\trianglelefteq S_3$ は位数 $3$ の巡回群なので冪零であり、

A_3\le F(S_3)

である。 $S_3$ の正規部分群が一つの互換を含めば、共役によって三つの互換をすべて含み、それらが生成する $S_3$ 全体に一致する。しかし、 $S_3$ の三つの Sylow $2$ 部分群は正規でないので、§E7.22 定理 4.1により $S_3$ は冪零でない。したがって $S_3$ の任意の正規冪零部分群は $A_3$ に含まれ、

F(S_3)=A_3

となる。 $S_3$ の元が $(1\,2\,3)$ と可換するならば、その元は $1$ の像によって一意に定まり、 $1$ の像には $1,2,3$ の三通りがある。三つの像に対応する元は $e,(1\,2\,3),(1\,3\,2)$ なので、

C_{S_3}(F(S_3))=A_3=F(S_3)

である。

自己中心化性では、可解性を除くことができない。

例 5.2 (非可解群における境界).§E7.19 定理 4.1により $A_5$ の正規部分群は $\{e\}$ と $A_5$ だけである。 $A_5$ が冪零ならば、§E7.22 定理 4.1により、その Sylow $5$ 部分群は正規になる。§E7.17 定理 1.2により Sylow $5$ 部分群は存在し、その位数は $5$ であるから非自明な真の部分群である。非自明な真の正規部分群の存在は $A_5$ の単純性に反する。したがって $A_5$ は冪零でなく、

F(A_5)=\{e\}

である。よって

C_{A_5}(F(A_5))=A_5\not\le F(A_5).

この例は、定理 4.5の可解性の仮定が必要であることを示す。

6 演習

問題 6.1.

定理 2.1の記号を用いる。 $M_p\cap N_p$ が $M\cap N$ の Sylow $p$ 部分群であることを示し、 $|M_pN_p|=|MN|_p$ を導け。
有限群 $G$ のすべての正規冪零部分群の積が冪零であることを、有限個の部分群に対する帰納法として再構成せよ。また、自己同型がこの積を保つ理由を説明せよ。
補題 4.4で、 $L=PR$ から $P\trianglelefteq L$ が従う箇所を証明せよ。その後、 $L/Z$ に含まれる $G/Z$ の非自明な正規部分群だけを比較して $L/Z$ の極小正規性を導き、この補題が定理 4.5の矛盾にどのように用いられるかを説明せよ。
$F(S_3)$ と $F(A_5)$ を求め、それぞれの中心化群を計算せよ。二つの結果が可解性の仮定とどのように対応するかを述べよ。

解答 (演習の要点).

第1問では、 $M\cap N$ の Sylow $p$ 部分群を $R$ とすると、Sylow 部分群への包含と $M_p,N_p$ の一意性から $R\le M_p\cap N_p$ を得る。逆向きの位数の不等式により両者は一致する。積の位数公式を $M_pN_p$ と $MN$ に適用すると、 $p$ 部分が一致する。

第2問では、有限群が有限個の部分群しかもたないことを用いて正規冪零部分群を列挙し、定理 2.1を一因子ずつ適用する。自己同型は正規性と冪零性を保つため、正規冪零部分群全体を置換する。

第3問では、 $x=ur\in PR$ （ $u\in P,\ r\in R$ ）と $R\le Z(L)$ から $xPx^{-1}=uPu^{-1}=P$ を得る。 $L/Z$ に含まれる $G/Z$ の非自明な正規部分群は $C/Z$ にも含まれるので、 $C/Z$ 内での選択時の極小性から $L/Z$ 自身に一致する。自己中心化性の証明では、 $L/Z(F(G))$ が $p$ 群であり、 $Z(F(G))\le Z(L)$ なので $L$ が冪零となる。最大性から $L\le F(G)$ となることが $L/Z(F(G))\ne\{e\}$ と矛盾する。

第4問では $F(S_3)=A_3$ かつ $C_{S_3}(A_3)=A_3$ である。 $A_5$ は単純で冪零でないため $F(A_5)=\{e\}$ であり、その中心化群は $A_5$ 全体である。前者は可解群の定理と一致し、後者は可解性を外すと結論が成り立たないことを示す。▨

§E7.31Fitting 部分群