組成列と Jordan–Hölder の定理 | 群論入門

1 正規列、細分、組成列

ここで用いる正規列では、 $G_{i+1}$ が直前の $G_i$ で正規であることだけを仮定する。各 $G_i$ が $G$ 全体で正規であるとは限らない。

定義 1.2. 正規列

G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots\triangleright G_r=\{e_G\}

のすべての因子 $G_i/G_{i+1}$ が単純群であるとき、この列を $G$ の組成列 (composition series) といい、各因子を組成因子 (composition factor) という。組成列の因子の個数 $r$ を、その組成列の長さ (length of a composition series) という。自明群の空の列は長さ $0$ の組成列である。

証明. 正規列の一つの区間

G_i\triangleright G_{i+1}

を考える。 $G_i/G_{i+1}$ が単純でないならば、非自明な真の正規部分群 $\overline H\trianglelefteq G_i/G_{i+1}$ が存在する。商写像による逆像を $H$ とすると、

G_i\triangleright H\triangleright G_{i+1}

であり、 $H$ を挿入して真の細分を得る。

逆に、上の区間へ $H$ を挿入する真の細分が存在するならば、 $H\trianglelefteq G_i$ かつ $G_{i+1}\subsetneq H\subsetneq G_i$ である。したがって $H/G_{i+1}$ は $G_i/G_{i+1}$ の非自明な真の正規部分群であり、この因子は単純でない。すべての区間に同じ議論を適用すれば結論を得る。

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2 Zassenhaus の蝶補題

二つの正規列を比較する局所計算が、次の蝶補題である。

補題 2.1 (Zassenhaus の蝶補題). $A,B$ を群 $G$ の部分群とし、 $A'\trianglelefteq A$ 、 $B'\trianglelefteq B$ とする。次の四つの部分群を定める。

\begin{aligned} A_1&=A'(A\cap B),& A_0&=A'(A\cap B'),\\ B_1&=B'(A\cap B),& B_0&=B'(A'\cap B). \end{aligned}

このとき $A_0\trianglelefteq A_1$ 、 $B_0\trianglelefteq B_1$ であり、

A_1/A_0\cong B_1/B_0

が成り立つ。

証明. $D=A\cap B$ 、 $X=A\cap B'$ 、 $Y=A'\cap B$ とおく。最初に $X,Y\trianglelefteq D$ を個別に確認する。 $d\in D$ と $x\in X$ に対し、 $d,x\in A$ なので $dxd^{-1}\in A$ である。また、 $d\in B$ 、 $x\in B'$ と $B'\trianglelefteq B$ から $dxd^{-1}\in B'$ である。したがって $dxd^{-1}\in X$ であり、 $X\trianglelefteq D$ となる。

$d\in D$ と $y\in Y$ に対しては、 $d\in A$ 、 $y\in A'$ と $A'\trianglelefteq A$ から $dyd^{-1}\in A'$ である。一方、 $d,y\in B$ なので $dyd^{-1}\in B$ である。したがって $dyd^{-1}\in Y$ であり、 $Y\trianglelefteq D$ となる。

$A'\trianglelefteq A$ かつ $A_1=A'D\leq A$ なので、 $A'\trianglelefteq A_1$ である。商写像を $q_A\colon A_1\to A_1/A'$ とする。等式 $A_1=A'D$ から $q_A(A_1)=q_A(D)$ であり、等式 $A_0=A'X$ から $q_A(A_0)=q_A(X)$ である。 $X\trianglelefteq D$ なので $q_A(X)\trianglelefteq q_A(D)$ であり、 $A_0=q_A^{-1}(q_A(X))$ である。したがって $A_0\trianglelefteq A_1$ となる。

同じ包含を $B$ 側でも明記する。 $B'\trianglelefteq B$ かつ $B_1=B'D\leq B$ なので、 $B'\trianglelefteq B_1$ である。商写像を $q_B\colon B_1\to B_1/B'$ とすると、

q_B(B_1)=q_B(D),\qquad q_B(B_0)=q_B(Y).

$Y\trianglelefteq D$ なので $q_B(Y)\trianglelefteq q_B(D)$ であり、 $B_0=q_B^{-1}(q_B(Y))$ である。したがって $B_0\trianglelefteq B_1$ となる。

共通の核を

K=YX=(A'\cap B)(A\cap B')

とおく。 $X$ と $Y$ はともに $D$ の正規部分群なので、 $K$ は $D$ の正規部分群であり、 $XY=YX=K$ である。準同型

\varphi_A\colon D\longrightarrow A_1/A_0, \qquad d\longmapsto dA_0

を考える。任意の $A_1/A_0$ の元は、 $a'\in A'$ 、 $d\in D$ を用いて $a'dA_0$ と表すことができる。 $A'\subseteq A_0$ なので $a'dA_0=dA_0=\varphi_A(d)$ であり、 $\varphi_A$ は全射である。その核は $D\cap A_0$ である。

D\cap A_0 =D\cap\bigl(A'(A\cap B')\bigr) =(A'\cap B)(A\cap B') =K. \tag{1}

$D\cap A_0\subseteq K$ を示す。 $d\in D\cap A_0$ ならば $d=a'x$ 、 $a'\in A'$ 、 $x\in X$ と表される。 $x\in D$ なので $a'=dx^{-1}\in A'\cap D=A'\cap B=Y$ であり、 $d=a'x\in YX=K$ となる。逆に、 $y\in Y$ と $x\in X$ に対して、 $y,x\in D$ なので $yx\in D$ である。また、 $y\in A'$ と $x\in X$ から $yx\in A'X=A_0$ である。したがって $K=YX\subseteq D\cap A_0$ となり、式 (1) を得る。

$B$ 側では、準同型

\varphi_B\colon D\longrightarrow B_1/B_0, \qquad d\longmapsto dB_0

を考える。任意の $B_1/B_0$ の元は、 $b'\in B'$ 、 $d\in D$ を用いて $b'dB_0$ と表される。 $B'\subseteq B_0$ なので $b'dB_0=dB_0=\varphi_B(d)$ であり、 $\varphi_B$ は全射である。その核を計算すると、

D\cap B_0 =(A'\cap B)(A\cap B') =K \tag{2}

となる。実際、 $d\in D\cap B_0$ ならば $d=b'y$ 、 $b'\in B'$ 、 $y\in Y$ と表される。 $y\in D$ なので $b'=dy^{-1}\in B'\cap D=B'\cap A=X$ であり、 $d=b'y\in XY=K$ となる。逆に、 $K=XY$ なので、その任意の元は $x\in X$ と $y\in Y$ を用いて $xy$ と表される。 $x,y\in D$ なので $xy\in D$ であり、 $x\in B'$ と $y\in Y$ から $xy\in B'Y=B_0$ でもある。したがって $K\subseteq D\cap B_0$ であり、式 (2) を得る。

§E7.8 定理 1.1を $\varphi_A$ と $\varphi_B$ に適用すると

A_1/A_0\cong D/K\cong B_1/B_0

を得る。得られた同型を直接書けば

A_1/A_0\longrightarrow B_1/B_0, \qquad a'dA_0\longmapsto dB_0 \quad(a'\in A',\ d\in D)

である。 $a'$ は $A_0$ に属し、代表元 $d$ の変更は共通の核 $K$ によって吸収されるので、この式は整定義されている。

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3 Schreier の細分定理

最初に、二つの正規列 $(G_i)$ 、 $(H_j)$ の各区間を交叉させて、部分群 $G_{i,j}=G_{i+1}(G_i\cap H_j)$ と $H_{j,i}=H_{j+1}(H_j\cap G_i)$ を構成する。次に、各 $(i,j)$ へ Zassenhaus の蝶補題を適用し、隣接する項の正規性と対応する商の同型を得る。各添字列を順につなぐことで、二つの元の正規列の細分を中間目標として構成する。最後に、対応する自明因子を生じる重複項を両側から同時に削除し、残る因子の全単射へ帰着する。

証明. 二つの正規列を

G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots\triangleright G_r=\{e_G\},

G=H_0\triangleright H_1\triangleright\cdots\triangleright H_s=\{e_G\}

とする。 $0\leq i<r$ 、 $0\leq j\leq s$ に対して

G_{i,j}=G_{i+1}(G_i\cap H_j)

とおく。端では

G_{i,0}=G_i, \qquad G_{i,s}=G_{i+1}

である。第二の正規列については、 $0\leq j<s$ 、 $0\leq i\leq r$ に対して

H_{j,i}=H_{j+1}(H_j\cap G_i)

とおくと、

H_{j,0}=H_j, \qquad H_{j,r}=H_{j+1}

となる。

補題 2.1を

A=G_i,\quad A'=G_{i+1},\quad B=H_j,\quad B'=H_{j+1}

へ適用すると

G_{i,j+1}\trianglelefteq G_{i,j}, \qquad H_{j,i+1}\trianglelefteq H_{j,i}

および

G_{i,j}/G_{i,j+1} \cong H_{j,i}/H_{j,i+1} \tag{3}

を得る。

各 $i$ について $j=0,\ldots,s$ の列を並べ、隣り合う $G_i$ の区間を順につなぐと、最初の正規列の細分が得られる。各 $j$ について $i=0,\ldots,r$ の列を並べ、隣り合う $H_j$ の区間を順につなぐと、第二の正規列の細分が得られる。途中で隣り合う部分群が等しい場合には、その重複を削除する。(3) によって、一方の商が自明であることと対応する他方の商が自明であることは同値なので、重複は対応する位置から同時に削除することができる。

削除後の各因子は (3) によって一対一に同型な因子と対応する。したがって、得られた二つの細分は同値である。

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4 組成列の存在

定理 4.1. 任意の有限群は組成列をもつ。

証明. $|G|$ に関する帰納法を用いる。 $G=\{e_G\}$ ならば空の組成列をもつ。 $G\neq\{e_G\}$ とする。

$G$ が単純群ならば

G\triangleright\{e_G\}

が組成列である。 $G$ が単純群でないならば、有限個の真の正規部分群の中から包含に関して極大なもの $N$ を取る。 $N$ は $G$ より位数が小さいので、帰納法によって組成列

N=N_0\triangleright N_1\triangleright\cdots\triangleright N_t=\{e_G\}

をもつ。

$G/N$ が単純であることを示す。 $G/N$ に非自明な真の正規部分群が存在すれば、その商写像による逆像は $N$ を真に含む $G$ の真の正規部分群となり、 $N$ の極大性に反する。したがって $G/N$ は単純である。ゆえに

G\triangleright N=N_0\triangleright N_1\triangleright\cdots\triangleright N_t=\{e_G\}

は $G$ の組成列である。

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5 Jordan–Hölder の定理

最初に、群 $G$ の任意の二つの組成列を取り、Schreier の細分定理を適用して互いに同値な細分を構成する。次に、組成列が真の細分をもたないという特徴づけを各細分へ適用する。この一手により、重複項を除いた各細分は元の組成列そのものに戻る。最後に、細分の因子間の全単射を元の組成列へ移し、組成因子の同型型と重複度の一意性へ帰着する。

定理 5.1 (Jordan–Hölder の定理). 組成列をもつ群 $G$ について、任意の二つの組成列は同値である。したがって、 $G$ の組成因子の同型型は、順序を除き、重複度を含めて一意に定まる。

証明. $G$ の二つの組成列を取る。定理 3.1によって、両者は互いに同値な細分をもつ。しかし、補題 1.3により、組成列は真の細分をもたない。したがって、Schreier の定理で得られる細分から重複項を除いた列は元の組成列そのものである。二つの組成列は同値であり、各組成因子の同型型と重複度は一致する。

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有限群 $G$ の組成列の長さは、定理 4.1と定理 5.1によって選択によらない。この整数を $\ell(G)$ と書き、 $G$ の組成長という。

定理 5.2. $G$ を有限群、 $N\trianglelefteq G$ とする。このとき、 $G$ の組成因子の多重集合は、 $N$ の組成因子の多重集合と $G/N$ の組成因子の多重集合の非交和である。特に

\ell(G)=\ell(N)+\ell(G/N)

が成り立つ。 $N\neq\{e_G\}$ ならば

\ell(G/N)<\ell(G)

である。

証明. $N$ の組成列を

N=N_0\triangleright\cdots\triangleright N_a=\{e_G\}

とし、 $G/N$ の組成列を

G/N=Q_0\triangleright\cdots\triangleright Q_b=\{N\}

とする。商写像 $q_N\colon G\to G/N$ に対して $H_i=q_N^{-1}(Q_i)$ とおくと、

G=H_0\triangleright\cdots\triangleright H_b=N

となる。各 $i$ について

H_i/H_{i+1}\cong Q_i/Q_{i+1}

である。実際、 $H_i\to Q_i/Q_{i+1}$ 、 $h\mapsto q_N(h)Q_{i+1}$ は核 $H_{i+1}$ をもつ全射準同型なので、§E7.8 定理 1.1を適用することができる。

二つの列を連結して

G=H_0\triangleright\cdots\triangleright H_b=N=N_0 \triangleright\cdots\triangleright N_a=\{e_G\}

を得る。各因子は $G/N$ または $N$ の組成因子と同型なので、この列は $G$ の組成列である。定理 5.1によって、 $G$ の任意の組成列は同じ組成因子の多重集合をもつ。したがって多重集合の主張と長さの等式が従う。

$N\neq\{e_G\}$ ならば $\ell(N)\geq1$ であるから、

\ell(G/N)=\ell(G)-\ell(N)<\ell(G)

となる。

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6 例と非例

例 6.1 ( $S_3$ の組成列). $A_3\trianglelefteq S_3$ であり、

S_3\triangleright A_3\triangleright\{e\}

は組成列である。因子は

S_3/A_3\cong C_2, \qquad A_3\cong C_3

である。したがって $S_3$ の組成因子の多重集合は $\{C_2,C_3\}$ であり、 $\ell(S_3)=2$ である。

例 6.2 (無限巡回群には有限組成列がない). 加法群 $\mathbb Z$ の非零部分群はすべて $n\mathbb Z$ の形であり、 $\mathbb Z$ と同型である。有限正規列が $0$ に達すると仮定すると、最後の非零項はある $n\mathbb Z$ である。しかし $2n\mathbb Z$ は

0\subsetneq2n\mathbb Z\subsetneq n\mathbb Z

を満たす正規部分群なので、因子 $n\mathbb Z/0$ は単純でない。したがって $\mathbb Z$ は有限組成列をもたない。有限群という仮定が定理 4.1では不可欠である。

7 演習

問題 7.1.

$C_{12}$ の組成列を一つ構成し、組成因子の多重集合を求めよ。
補題 2.1の証明で、 $K=(A'\cap B)(A\cap B')$ が $D=A\cap B$ の正規部分群であることを、共役を用いて直接確認せよ。
有限群 $G$ と $N\trianglelefteq G$ について、 $N\neq G$ ならば $\ell(N)<\ell(G)$ であることを示せ。

解答.

例えば
$C_{12}\triangleright C_6\triangleright C_3\triangleright\{0\}$
と取ることができる。組成因子は $C_2,C_2,C_3$ である。
$A'\cap B$ と $A\cap B'$ はともに $D$ の正規部分群なので、それらの積は部分群であり、 $D$ の共役で不変である。
定理 5.2を $N\trianglelefteq G$ に適用すると $\ell(G)=\ell(N)+\ell(G/N)$ である。 $N\neq G$ ならば $G/N$ は非自明なので $\ell(G/N)\geq1$ であり、 $\ell(N)<\ell(G)$ となる。

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§E7.20組成列と Jordan–Hölder の定理