群作用と軌道 | 群論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 集合の対称群

定義 1.1. 集合 $X$ から $X$ への全単射全体を $\operatorname{Sym}(X)$ と書き、その積を写像の合成によって定める。集合 $X$ が有限であるとは限らない。 $\operatorname{Sym}(X)$ を $X$ の対称群 (symmetric group of a set) と呼ぶ。

命題 1.2. 写像の合成を積とすると、 $\operatorname{Sym}(X)$ は群をなす。

証明. 全単射の合成は全単射であるから、合成について閉じている。写像の合成は結合的である。恒等写像 $\operatorname{id}_X$ は合成の単位元であり、全単射 $\sigma$ の逆写像 $\sigma^{-1}$ も $X$ から $X$ への全単射である。したがって、群をなす条件がすべて成り立つ。▨

特に $X=\{1,\ldots,n\}$ のとき、 $\operatorname{Sym}(X)$ は対称群 $S_n$ である。

2 群作用と準同型

定義 2.1. 群 $G$ と集合 $X$ に対し、写像

G\times X\longrightarrow X,\qquad (g,x)\longmapsto g\cdot x

が次の二条件を満たすとき、この写像を $G$ の $X$ への左作用 (left group action) と呼ぶ。

e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x) \quad(g,h\in G,\ x\in X).

このとき、 $X$ を $G$ -集合 (G-set) と呼ぶ。

各 $g\in G$ に対し、 $\rho(g)\colon X\to X$ を $\rho(g)(x)=g\cdot x$ と定める。作用の第二公理から

\rho(gh)=\rho(g)\circ\rho(h)

が成り立つ。

証明では、まず作用の公理から $\rho(g^{-1})$ が $\rho(g)$ の逆写像であることを示し、 $\rho(g)\in\operatorname{Sym}(X)$ を確認する。次に、作用の積の公理を $\rho(gh)=\rho(g)\circ\rho(h)$ と読み替えて準同型性を得る。逆向きでは、準同型 $\rho$ の値を $g\cdot x=\rho(g)(x)$ として作用を構成し、単位元と積の二公理を確認する。最後に、二つの構成が互いに逆であることを確かめる。

定理 2.2. 群 $G$ の集合 $X$ への左作用と、群準同型

\rho\colon G\longrightarrow \operatorname{Sym}(X)

とは一対一に対応する。対応は $\rho(g)(x)=g\cdot x$ で与えられる。

証明. 左作用が与えられているとする。任意の $g\in G$ に対し、

\rho(g)\circ\rho(g^{-1})=\rho(gg^{-1})=\operatorname{id}_X, \qquad \rho(g^{-1})\circ\rho(g)=\rho(g^{-1}g)=\operatorname{id}_X

であるから、 $\rho(g)$ は全単射である。また、 $\rho(gh)=\rho(g)\circ\rho(h)$ であるから、 $\rho$ は群準同型である。

逆に、群準同型 $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ が与えられたとする。 $g\cdot x=\rho(g)(x)$ と定める。群準同型は単位元を単位元へ写すから、

e\cdot x=\rho(e)(x)=\operatorname{id}_X(x)=x

である。また、

(gh)\cdot x=\rho(gh)(x) =(\rho(g)\circ\rho(h))(x) =g\cdot(h\cdot x)

である。したがって左作用が得られる。二つの構成は互いに逆である。▨

定義 2.3. 作用に対応する準同型を $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ とする。

作用の核 (kernel of an action) を $\ker\rho=\{g\in G\mid g\cdot x=x\text{ がすべての }x\in X\text{ について成り立つ}\}$ と定める。
$\ker\rho=\{e\}$ である作用を忠実な作用 (faithful action) と呼ぶ。
任意の $x,y\in X$ に対して $g\cdot x=y$ を満たす $g\in G$ が存在する作用を可移な作用 (transitive action) と呼ぶ。

命題 2.4. 作用の核 $\ker\rho$ は $G$ の正規部分群である。

証明. 作用の核が部分群であることを一段階部分群判定法で示す。単位元 $e$ はすべての $x\in X$ を固定するから、 $\ker\rho$ は空でない。 $a,b\in\ker\rho$ とすると、任意の $x\in X$ に対して

(ab^{-1})\cdot x=a\cdot(b^{-1}\cdot x)=a\cdot x=x

である。ここで、 $b$ がすべての点を固定することから $b^{-1}$ もすべての点を固定することを用いた。したがって $\ker\rho\leq G$ である。

さらに、 $k\in\ker\rho$ 、 $g\in G$ とする。任意の $x\in X$ に対し、

(gkg^{-1})\cdot x =g\cdot\bigl(k\cdot(g^{-1}\cdot x)\bigr) =g\cdot(g^{-1}\cdot x)=x

である。よって $gkg^{-1}\in\ker\rho$ であり、 $\ker\rho\trianglelefteq G$ が成り立つ。▨

例 2.5 (忠実でない作用). 任意の群 $G$ と空でない集合 $X$ に対し、 $g\cdot x=x$ と定めると群作用になる。この自明な作用の核は $G$ 全体である。したがって、 $G$ が自明群でない限り、この作用は忠実でない。一方、 $X$ が一点集合ならば、この作用は可移である。したがって、可移性は忠実性を含意しない。

例 2.6 (忠実だが可移でない作用). $C_2=\{e,\tau\}$ と $X=\{0,1,2\}$ に対し、

e\cdot x=x,\qquad \tau\cdot0=1,\quad \tau\cdot1=0,\quad \tau\cdot2=2

と定める。単位元の作用則は定義から成り立つ。 $C_2$ で積に関する非自明な場合は $\tau^2=e$ だけであり、 $\tau$ を二回作用させると各点が元に戻るため、

\tau\cdot(\tau\cdot x)=e\cdot x=x

がすべての $x\in X$ について成り立つ。したがって、この式は左作用を定める。 $\tau$ は $0$ を動かすため作用の核は $\{e\}$ であり、この作用は忠実である。一方、軌道は

C_2\cdot0=\{0,1\},\qquad C_2\cdot2=\{2\}

の二つであるから可移ではない。よって、忠実性と可移性は互いに独立した性質である。

3 軌道と安定化群

定義 3.1. $G$ が $X$ に作用し、 $x\in X$ であるとする。

G\cdot x=\{g\cdot x\mid g\in G\}

を $x$ の軌道 (orbit) と呼び、

G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}

を $x$ の安定化群 (stabilizer) と呼ぶ。

命題 3.2. $X$ 上の関係を

x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad y=g\cdot x\text{ を満たす }g\in G\text{ が存在する}

と定める。この関係は同値関係であり、同値類は軌道である。したがって、軌道全体は $X$ を分割する。

証明. $x=e\cdot x$ であるから反射律が成り立つ。 $y=g\cdot x$ ならば $x=g^{-1}\cdot y$ であるから対称律が成り立つ。 $y=g\cdot x$ かつ $z=h\cdot y$ ならば $z=(hg)\cdot x$ であるから推移律が成り立つ。 $x$ の同値類は定義から $G\cdot x$ に等しい。▨

命題 3.3. 各 $x\in X$ に対して $G_x\leq G$ が成り立つ。

証明. $e\cdot x=x$ であるから $e\in G_x$ である。 $a,b\in G_x$ ならば、

(ab^{-1})\cdot x=a\cdot(b^{-1}\cdot x)=a\cdot x=x

である。したがって、一段階部分群判定法により $G_x\leq G$ である。▨

安定化群の左剰余類全体を $G/G_x$ と書く。次の定理は、軌道の点と剰余類を対応させる。

証明では、左剰余類 $gG_x$ を軌道の点 $g\cdot x$ へ送る写像を構成する。剰余類の一致条件を用いて代表元独立性を示し、同じ条件を逆向きに用いて単射性を示す。軌道の定義から全射性を得るため、この写像は全単射となる。最後に、有限群の場合には Lagrange の定理を用いて指数を位数の商へ書き換える。

定理 3.4 (軌道安定化群定理). $G$ が $X$ に作用し、 $x\in X$ であるとする。写像

\Phi\colon G/G_x\longrightarrow G\cdot x,\qquad \Phi(gG_x)=g\cdot x

は全単射である。したがって

|G\cdot x|=[G:G_x]

が成り立つ。特に $G$ が有限群ならば、

|G\cdot x|=\frac{|G|}{|G_x|}

である。

証明. まず $\Phi$ が剰余類の代表元によらないことを示す。 $gG_x=hG_x$ ならば $h^{-1}g\in G_x$ であるから、

g\cdot x=h\cdot\bigl((h^{-1}g)\cdot x\bigr)=h\cdot x

である。よって $\Phi$ は矛盾なく定まる。

$\Phi(gG_x)=\Phi(hG_x)$ ならば $g\cdot x=h\cdot x$ である。両辺に $h^{-1}$ を作用させると $(h^{-1}g)\cdot x=x$ となるから、 $h^{-1}g\in G_x$ である。したがって $gG_x=hG_x$ であり、 $\Phi$ は単射である。

任意の $y\in G\cdot x$ は、ある $g\in G$ を用いて $y=g\cdot x$ と表される。このとき $y=\Phi(gG_x)$ であるから、 $\Phi$ は全射である。以上により $\Phi$ は全単射であり、最初の等式が従う。有限群の場合には Lagrange の定理から $[G:G_x]=|G|/|G_x|$ である。▨

例 3.5 (正三角形の頂点への作用). 正三角形の回転と鏡映からなる群を $G$ とし、頂点集合を $X$ とする。この作用は可移である。頂点 $v$ を固定する元は恒等変換と $v$ を通る軸に関する鏡映の二つであるから、 $|G_v|=2$ である。群の位数は $6$ であるため、軌道安定化群定理から

|G\cdot v|=\frac{6}{2}=3

を得る。得られた軌道の要素数 $3$ は、頂点の個数と一致する。

4 球面と射影直線への作用

複素二次元ベクトル空間の一次元部分空間全体を $\mathbb{CP}^1$ と書く。非零ベクトル $(z_0,z_1)$ が張る一次元部分空間を $[z_0:z_1]$ と表す。

命題 4.1. 商群

\operatorname{PGL}_2(\mathbb C) =\operatorname{GL}_2(\mathbb C)/\{\lambda I\mid \lambda\in\mathbb C^\times\}

は、

[A]\cdot[z_0:z_1]=[A(z_0,z_1)^{\mathsf T}]

によって $\mathbb{CP}^1$ に忠実に作用する。アフィン座標 $z=[z:1]$ では、

[A]= \left[ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \right] \quad\Longrightarrow\quad z\longmapsto\frac{az+b}{cz+d}

となる。右辺は分母が零になる点を $\infty=[1:0]$ へ送り、 $\infty$ の像も同次座標によって定める。この変換を Möbius 変換と呼ぶ。

証明. ベクトル $(z_0,z_1)$ を非零スカラー倍しても、その像は同じ一次元部分空間を張る。行列 $A$ を $\lambda A$ に取り替えた場合にも像の同次座標は変わらない。したがって、表示された式は $\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)\times\mathbb{CP}^1$ 上で矛盾なく定まる。行列積と写像の合成が対応するため、この式は群作用を定める。

$[A]$ が $\mathbb{CP}^1$ のすべての点を固定すると仮定する。 $[1:0]$ と $[0:1]$ を固定することから、 $A$ は対角行列である。さらに $[1:1]$ を固定することから、二つの対角成分は等しい。よって $A$ は非零スカラー行列であり、 $[A]$ は $\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)$ の単位元である。したがって、この作用は忠実である。▨

命題 4.2. 単位球面

S^2=\{x\in\mathbb R^3\mid \|x\|=1\}

に対して

R\cdot x=Rx \qquad (R\in\operatorname{SO}(3),\ x\in S^2)

と定めると、 $\operatorname{SO}(3)$ の $S^2$ への忠実な作用を得る。

証明. $R$ は内積を保つので $\|Rx\|=\|x\|=1$ であり、 $Rx\in S^2$ である。単位行列と行列積は作用の二公理を満たす。 $R$ が $S^2$ のすべての点を固定するならば、特に $\mathbb R^3$ の標準基底を固定するので $R=I$ である。したがって作用は忠実である。▨

注意 4.3 (球面回転と Möbius 変換). 単位球面 $S^2\subset\mathbb R^3$ の北極を $N=(0,0,1)$ とする。立体射影

\sigma(N)=[1:0],\qquad \sigma(x,y,z)=[x+iy:1-z]\quad ((x,y,z)\neq N)

は $S^2$ と $\mathbb{CP}^1$ の全単射を与える。標準的な同一視

\operatorname{SO}(3)\cong \operatorname{SU}(2)/\{\pm I\} =\operatorname{PSU}(2) \hookrightarrow\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)

のもとで、 $\operatorname{SO}(3)$ の $S^2$ への回転作用は $\operatorname{PSU}(2)$ の $\mathbb{CP}^1$ への Möbius 作用に対応する。 $\operatorname{SU}(2)$ の行列は

\begin{pmatrix} \alpha&\beta\\ -\overline{\beta}&\overline{\alpha} \end{pmatrix}, \qquad |\alpha|^2+|\beta|^2=1

と書くことができ、 $\operatorname{SU}(2)$ から $\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)$ への射影準同型の核は $\{\pm I\}$ である。

正二十面体を一つ固定し、その向きを保つ回転全体を $I^+$ と書く。この定義から $I^+\hookrightarrow\operatorname{SO}(3)$ は忠実であり、

I^+\hookrightarrow\operatorname{SO}(3) \cong\operatorname{PSU}(2) \hookrightarrow\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)

を得る。ここで用いた $\operatorname{SO}(3)\cong\operatorname{PSU}(2)$ と、立体射影が二つの作用を共役することは本記事では完全証明せず、参考文献欄の Hall と Beardon の文献へ委ねる。この同一視は、本記事の群作用に関する定理の証明には用いない。

向きを反転する等長変換も含む正二十面体の全対称群を $I^\pm\leq\operatorname{O}(3)$ と書く。 $I^\pm\setminus I^+$ の元は、立体射影のもとで

z\longmapsto\frac{a\overline z+b}{c\overline z+d}

という反正則変換になる。ただし $ad-bc\neq0$ である。複素共役変換を $\kappa$ と書くと、 $\kappa$ は $\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)$ に

[A]\longmapsto[\overline{A}]

によって作用する。したがって $I^\pm$ は $\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)$ の部分群ではなく、この作用が定める拡張 Möbius 群

\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)\rtimes C_2

の部分群として実現される。「正二十面体群」という語だけでは $I^+$ と $I^\pm$ を区別することができないため、本記事ではこの語を用いない。向きを反転する球面等長変換と反正則 Möbius 変換の対応、および拡張 Möbius 群への実現も本記事では完全証明せず、Beardon の文献へ委ねる。これらの結果は後続の証明には用いない。

5 剰余類への作用

部分群 $H\leq G$ を固定する。左剰余類全体 $G/H$ に対して

g\cdot(aH)=(ga)H

と定める。

命題 5.1. 上の式は $G$ の $G/H$ への可移な左作用を定める。剰余類 $H=eH$ の安定化群は $H$ である。

証明. $aH=bH$ ならば $a^{-1}b\in H$ であり、 $(ga)^{-1}(gb)=a^{-1}b\in H$ である。したがって $(ga)H=(gb)H$ であり、作用は代表元によらず定まる。また、

e\cdot(aH)=aH,\qquad (gh)\cdot(aH)=(gha)H=g\cdot\bigl(h\cdot(aH)\bigr)

であるから、作用の公理が成り立つ。任意の $aH,bH\in G/H$ に対し、 $(ba^{-1})\cdot(aH)=bH$ であるから、この作用は可移である。最後に、

G_H=\{g\in G\mid gH=H\}=H

である。▨

命題 5.2. 部分群 $H\leq G$ に対する左剰余類への作用

G\curvearrowright G/H,\qquad g\cdot(aH)=(ga)H

に対応する準同型を

\rho_H\colon G\longrightarrow\operatorname{Sym}(G/H)

とする。このとき

\ker\rho_H =\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}

である。

証明. $g\in G$ が $\ker\rho_H$ に属することは、すべての $a\in G$ に対して $gaH=aH$ が成り立つことと同値である。剰余類の一致条件により、

\begin{aligned} g\in\ker\rho_H &\quad\Longleftrightarrow\quad gaH=aH\quad(\forall a\in G)\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a^{-1}ga\in H\quad(\forall a\in G)\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad g\in aHa^{-1}\quad(\forall a\in G). \end{aligned}

最後の全称条件は $g\in\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}$ と同値であるため、主張の等式を得る。▨

6 Cayley の定理

群は抽象的に定義されるが、各群は適切な集合上の置換群として実現される。

証明では、 $G$ 自身への左乗法による作用を構成し、対応する準同型 $\lambda\colon G\to\operatorname{Sym}(G)$ を取る。各 $\lambda_g$ は左乗法の逆写像 $\lambda_{g^{-1}}$ を持つため置換であり、結合律から $\lambda$ の準同型性が従う。 $\lambda_g$ が恒等写像ならば単位元 $e_G$ における値から $g=e_G$ を得る。したがって核は自明であり、像への同型によって $G$ を置換群として実現する。

定理 6.1 (Cayley の定理). 任意の群 $G$ は $\operatorname{Sym}(G)$ の部分群と同型である。

証明. $G$ 自身への左乗法作用

g\cdot x=gx\qquad(g,x\in G)

を考える。単位元と結合律により、この左乗法の式は左作用を定める。対応する準同型

\lambda\colon G\longrightarrow\operatorname{Sym}(G),\qquad \lambda_g(x)=gx

を取る。 $\lambda_g=\operatorname{id}_G$ ならば、特に $\lambda_g(e)=e$ である。ところが $\lambda_g(e)=g$ であるから $g=e$ である。したがって $\ker\lambda=\{e\}$ であり、 $\lambda$ は単射である。ゆえに $G\cong\lambda(G)\leq\operatorname{Sym}(G)$ が成り立つ。▨

有限群 $G$ の位数が $n$ ならば、集合 $G$ に番号を付けることにより $\operatorname{Sym}(G)\cong S_n$ となる。したがって、有限群は有限対称群の部分群として実現される。定理自体は有限群に限定されず、無限群にも同じ証明が適用される。

7 演習

問題 7.1.

群作用に対応する準同型 $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ について、 $\rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1}$ を作用の公理から示せ。
$S_3$ の $\{1,2,3\}$ への自然な作用について、各点の安定化群と作用の核を求めよ。
剰余類への作用 $G\curvearrowright G/H$ が忠実であるための必要十分条件を、 $\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}$ を用いて述べよ。
左乗法作用 $G\curvearrowright G$ の各軌道と各安定化群を求め、この作用が忠実かつ可移であることを確かめよ。

解答 (演習の要点).

作用の公理から $\rho(g)\circ\rho(g^{-1})=\rho(e_G)=\operatorname{id}_X,\qquad \rho(g^{-1})\circ\rho(g)=\operatorname{id}_X$ である。したがって $\rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1}$ となる。
点 $1,2,3$ の安定化群は、それぞれ $(S_3)_1=\{e,(23)\},\quad (S_3)_2=\{e,(13)\},\quad (S_3)_3=\{e,(12)\}$ である。作用の核は三つの安定化群の共通部分であり、全点を固定する置換は恒等置換だけなので $\ker\rho=\{e\}$ となる。
命題 5.2により、作用が忠実であることは $\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}=\{e_G\}$ と同値である。
$x,y\in G$ に対して $y=(yx^{-1})\cdot x$ であるから、各軌道は $G$ 全体であり、作用は可移である。また $g\cdot x=x$ ならば $gx=x$ から $g=e_G$ であるため、各安定化群は $\{e_G\}$ である。作用の核も自明であり、作用は忠実である。

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§E7.10群作用と軌道