§E7.19単純群

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。(1)を仮定する。準同型の核は正規部分群である。したがって単純性により

である。後者は$\varphi$が自明準同型であることと同値である。ゆえに(2)が成り立つ。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。(2)を仮定し、集合$X$への作用に対応する準同型を

とする。作用が自明でないことは$\rho$が自明準同型でないことを意味する。(2)によって$\rho$は単射であるから、作用の核は自明であり、(3)が成り立つ。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。(3)を仮定する。$N\trianglelefteq G$を任意の正規部分群とし、$G$を剰余類集合$G/N$へ左乗法で作用させる。この作用の核は$N$である。実際、$g$が全剰余類を固定するならば、特に$gN=N$なので$g\in N$である。逆に$g\in N$ならば、$N$の正規性から任意の$x\in G$に対して$gxN=xN$である。

$N=G$ならばよい。$N\neq G$ならば剰余類が二つ以上存在し、左作用は自明ではない。(3)により作用は忠実なので、その核$N$は$\{e_G\}$である。したがって$G$の正規部分群は$\{e_G\}$と$G$だけであり、(1)が成り立つ。

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証明. 素数$p$に対して、§E7.6 定理 2.1により$C_p$の部分群の位数は$1$または$p$に限る。したがって$C_p$の部分群は自明部分群と全群だけであり、$C_p$は単純群である。

逆に、アーベル単純群$G$を取る。非単位元$g\in G$に対し、アーベル性によって$\langle g\rangle$は正規部分群である。単純性と$\langle g\rangle\neq\{e_G\}$から$G=\langle g\rangle$であり、$G$は巡回群である。$g$の位数が無限ならば、$\langle g^2\rangle$は$G$の非自明な真の部分群であり、アーベル性によって正規部分群でもある。この非自明な真の正規部分群の存在は単純性に反する。ゆえに$G$は有限巡回群である。$|G|$が合成数ならば、$|G|$の真の素因数$p$に対して$G$は位数$p$の非自明な真の部分群をもち、その部分群はアーベル性によって正規である。位数$p$の非自明な真の正規部分群の存在も単純性に反する。したがって$|G|$は素数である。

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証明.§E7.10 定理 3.4を共役作用へ適用すると、$S_n$と$A_n$における$g$の共役類の大きさは、それぞれ

である。また、

である。

$C_{S_n}(g)\subseteq A_n$とする。このとき$C_{A_n}(g)=C_{S_n}(g)$であり、$[S_n:A_n]=2$なので

となる。$S_n$-共役類は$A_n$-共役類の非交和である。$S_n$で$g$と共役な元$h$の中心化群は$C_{S_n}(g)$の共役であり、$A_n\trianglelefteq S_n$なので$A_n$に含まれる。したがって、その$S_n$-共役類に含まれるすべての$A_n$-共役類は$S_n$-共役類の半分の大きさをもつ。ゆえに、$S_n$-共役類はちょうど二つの$A_n$-共役類に分裂する。

$C_{S_n}(g)\not\subseteq A_n$とする。奇置換$u\in C_{S_n}(g)$を取る。写像

は全単射である。したがって

$|A_n|=|S_n|/2$と合わせると、$A_n$-共役類と$S_n$-共役類の大きさは等しい。前者は後者に含まれるので、両者は一致する。

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証明.$|A_5|=5!/2=60$である。$S_5$の置換の巡回型は、$5$の分割に対応して

のいずれかである。長さ$r$の巡回置換の符号は$(-1)^{r-1}$なので、偶置換の巡回型は

に限る。同じ巡回型の置換は、巡回に現れる文字を対応させる置換によって$S_5$で共役である。

型$(2,2,1)$を調べる。固定点の選び方は$5$通りであり、残る四点を二つの非順序対へ分ける方法は

通りなので、この型の元は$15$個ある。代表元を$g=(1\,2)(3\,4)$とする。共役作用に対する軌道安定化群定理より

中心化群は奇置換$(1\,2)$を含むので、そのちょうど半分が偶置換である。したがって

この型は一つの$A_5$-共役類をなす。

型$(3,1,1)$を調べる。代表元を$g=(1\,2\,3)$とする。$h\in S_5$が$g$と可換するならば、$h$は$g$の台$\{1,2,3\}$と固定点集合$\{4,5\}$をそれぞれ保つ。三点上で$g$と可換する置換は$1,g,g^2$に限り、二つの固定点上では恒等置換と$(4\,5)$のいずれも選ぶことができる。よって

であり、その位数は$6$である。$(4\,5)$は奇置換なので

したがって、この型も一つの$A_5$-共役類をなす。

最後に型$(5)$を調べる。代表元を$g=(1\,2\,3\,4\,5)$とする。$h\in S_5$が$g$と可換するならば、$h(1)=g^k(1)$となる$k\in\{0,1,2,3,4\}$が一意に存在する。任意の$j$に対して

である。$1,g(1),\ldots,g^4(1)$は五点を尽くすので、$h=g^k$である。逆に$g$の各冪は$g$と可換する。したがって

であり、その位数は$5$である。$5$-cycle は偶置換なので$\langle g\rangle\subseteq A_5$である。補題 2.1により、$S_5$における$5$-cycle の共役類は二つの$A_5$-共役類へ分裂する。$5$-cycle の総数は

であり、二つの類の大きさはそれぞれ$12$である。

単位元の一元共役類を加えると

となる。(1) のすべての巡回型を扱っているので、以上の五つが$A_5$の共役類を尽くす。

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証明.$N\trianglelefteq A_5$とする。$N$は共役で閉じているので、$N$は$A_5$の共役類の合併であり、単位元の共役類を含む。命題 3.1により、単位元以外の共役類の大きさは$15,20,12,12$である。

大きさ$20$の類を含まない場合、$|N|$の候補は

である。この候補の一覧は、$1$に$15$の類を加えるかどうか、二つの$12$の類から零個、一個、二個を加えるかによって得られる。$60$を割る候補は$1$だけである。

大きさ$20$の類を含む場合、$|N|$の候補は

である。この中で$60$を割る候補は$60$だけである。

§E7.6 定理 2.1により$|N|$は$|A_5|=60$を割る。したがって$|N|=1$または$|N|=60$であり、

となる。ゆえに$A_5$は単純群である。

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証明. 正二十面体の双対である正十二面体には、その二十頂点から頂点を選んで得られる五つの内接立方体が存在する。$I^+$の回転はこの五つの立方体を置換するため、準同型

を定める。この作用は忠実である。また、頂点軸、面軸、辺軸のまわりの非自明な回転は、五つの立方体上でそれぞれ$5$-cycle、$3$-cycle、二つの互いに素な互換の積として作用する。いずれも偶置換なので$\eta(I^+)\leq A_5$である。

§E7.6 例 3.1 (正二十面体の三つの軌道)によって$|I^+|=60$であり、忠実性から$|\eta(I^+)|=60$である。一方、$|A_5|=60$なので$\eta(I^+)=A_5$となる。したがって$\eta$は$I^+\cong A_5$を与える。

五つの内接立方体の構成、$I^+$がそれらを置換すること、作用の忠実性、および各回転が誘導する巡回型は本記事では完全証明せず、参考文献欄の Coxeter の文献へ委ねる。□

証明. 最初の同型には命題 5.1を用いる。$I^+\hookrightarrow\operatorname{SO}(3)$は、回転をその三次元直交変換へ送る包含写像である。球面回転と Möbius 変換の対応を述べる§E7.10 注意 4.3により、$\operatorname{SO}(3)$から$\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)$までの単射を得る。したがって、表示された準同型は単射である。射影直線への作用を述べる§E7.10 命題 4.1により、この準同型は$\mathbb{CP}^1$への忠実な Möbius 作用を定める。

$I^+\cong A_5$と$\operatorname{SO}(3)\cong\operatorname{PSU}(2)$の幾何学的部分は前の命題と参照先へ委ねているため、この系も本記事では完全証明した結果として後続の本論に用いない。□