1 用いる先行結果 2 表現と部分表現 表現は、集合への群作用において各作用写像が線形である場合に相当する。
定義 2.1. 有限群G G G 有限次元複素表現 (finite-dimensional complex representation )V V V
ρ : G ⟶ G L ( V ) \rho\colon G\longrightarrow GL(V) ρ : G ⟶ G L ( V ) の組( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) g , h ∈ G g,h\in G g , h ∈ G
ρ ( g h ) = ρ ( g ) ρ ( h ) , ρ ( e G ) = id V , ρ ( g − 1 ) = ρ ( g ) − 1 \rho(gh)=\rho(g)\rho(h),\qquad
\rho(e_G)=\operatorname{id}_V,\qquad
\rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1} ρ ( g h ) = ρ ( g ) ρ ( h ) , ρ ( e G ) = id V , ρ ( g − 1 ) = ρ ( g ) − 1 が成り立つ。V V V 表現空間 (representation space )ρ \rho ρ ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) V V V
群作用と準同型の対応（§E7.10 定理 2.2 ）により、
g ⋅ v = ρ ( g ) v g\cdot v=\rho(g)v g ⋅ v = ρ ( g ) v と置けばG G G V V V g ∈ G g\in G g ∈ G v ↦ ρ ( g ) v v\mapsto\rho(g)v v ↦ ρ ( g ) v
定義 2.2. 有限群G G G ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) ( V ′ , ρ ′ ) (V',\rho') ( V ′ , ρ ′ ) 同型 (isomorphic representations )
T : V ⟶ V ′ T\colon V\longrightarrow V' T : V ⟶ V ′ であって、任意のg ∈ G g\in G g ∈ G
T ρ ( g ) = ρ ′ ( g ) T T\rho(g)=\rho'(g)T T ρ ( g ) = ρ ′ ( g ) T を満たすものが存在することをいう。この条件を満たす線形写像を G G G G-equivariant map )
定義 2.3. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V
ρ ( g ) W ⊆ W ( g ∈ G ) \rho(g)W\subseteq W\qquad(g\in G) ρ ( g ) W ⊆ W ( g ∈ G ) を満たすとき、W W W G G G G-invariant subspace )ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) W W W V V V 部分表現 (subrepresentation )
V ≠ { 0 } V\ne\{0\} V = { 0 } G G G { 0 } \{0\} { 0 } V V V V V V 既約表現 (irreducible representation )
不変性の条件をすべてのg ∈ G g\in G g ∈ G W W W G G G ρ ( g − 1 ) W ⊆ W \rho(g^{-1})W\subseteq W ρ ( g − 1 ) W ⊆ W ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) W ⊆ ρ ( g ) W W\subseteq\rho(g)W W ⊆ ρ ( g ) W
ρ ( g ) W = W (1) \rho(g)W=W
\tag{1} ρ ( g ) W = W ( 1 ) である。とくに、ρ ( g ) ∣ W \rho(g)|_W ρ ( g ) ∣ W W W W
定義 2.4. 有限群G G G V V V
V = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r V = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r と表されるとき、V V V 完全可約表現 (completely reducible representation )
例 2.5 (自明表現と符号表現). 有限群G G G
ρ t r i v ( g ) z = z ( g ∈ G , z ∈ C ) \rho_{\mathrm{triv}}(g)z=z\qquad(g\in G,\ z\in\mathbb C) ρ triv ( g ) z = z ( g ∈ G , z ∈ C ) と定めると、一次元表現を得る。この一次元表現を自明表現という。
S 3 S_3 S 3 §E7.5 定理 2.1 ）により、
ρ s g n ( σ ) z = sgn ( σ ) z \rho_{\mathrm{sgn}}(\sigma)z=\operatorname{sgn}(\sigma)z ρ sgn ( σ ) z = sgn ( σ ) z も一次元表現を定める。一次元表現の非零部分空間は空間全体だけなので、これらの表現は既約である。
例 2.6 (不変でない部分空間). S 3 S_3 S 3 C 3 \mathbb C^3 C 3
ρ p e r m ( σ ) e i = e σ ( i ) \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma)e_i=e_{\sigma(i)} ρ perm ( σ ) e i = e σ ( i ) によって置換するとする。座標直線C e 1 \mathbb Ce_1 C e 1 ( 12 ) (12) ( 12 ) C e 2 \mathbb Ce_2 C e 2 S 3 S_3 S 3
3 平均化射影 Maschke の定理では、最初に不変性を仮定しない補空間を一つ選ぶ。その補空間に沿う射影を群の各元で共役し、有限和を取る。平均後の射影は群作用と可換する。
補題 3.1. V V V W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V
p ( V ) ⊆ W , p ( w ) = w ( w ∈ W ) (2) p(V)\subseteq W,\qquad p(w)=w\quad(w\in W)
\tag{2} p ( V ) ⊆ W , p ( w ) = w ( w ∈ W ) ( 2 ) を満たす線形写像p : V → W ⊆ V p\colon V\to W\subseteq V p : V → W ⊆ V
証明. w 1 , … , w r w_1,\ldots,w_r w 1 , … , w r W W W §D3.11 補題 1.2 ）により、ベクトルu r + 1 , … , u n u_{r+1},\ldots,u_n u r + 1 , … , u n
w 1 , … , w r , u r + 1 , … , u n w_1,\ldots,w_r,u_{r+1},\ldots,u_n w 1 , … , w r , u r + 1 , … , u n をV V V
p ( ∑ i = 1 r a i w i + ∑ j = r + 1 n b j u j ) = ∑ i = 1 r a i w i p\left(\sum_{i=1}^{r}a_iw_i+\sum_{j=r+1}^{n}b_ju_j\right)
=\sum_{i=1}^{r}a_iw_i p ( i = 1 ∑ r a i w i + j = r + 1 ∑ n b j u j ) = i = 1 ∑ r a i w i と定める。この写像は線形であり、像はW W W w ∈ W w\in W w ∈ W b j b_j b j p ( w ) = w p(w)=w p ( w ) = w p ( v ) ∈ W p(v)\in W p ( v ) ∈ W p 2 ( v ) = p ( v ) p^2(v)=p(v) p 2 ( v ) = p ( v ) p p p W W W ▨
証明方針は次のとおりである。まず、前の補題によってW W W p p p p p p G G G
P = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 (3) P=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g)p\rho(g)^{-1}
\tag{3} P = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 ( 3 ) と定める。各項の像がW W W P P P W W W P P P ρ ( h ) \rho(h) ρ ( h ) W ′ = ker P W'=\ker P W ′ = ker P
定理 3.2 (Maschke の定理). G G G ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G G G G W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V G G G W ′ ⊆ V W'\subseteq V W ′ ⊆ V
V = W ⊕ W ′ V=W\oplus W' V = W ⊕ W ′ を満たすものが存在する。
証明. 補題 3.1 により、(2) を満たす線形写像p p p C \mathbb C C ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
最初にP ( V ) ⊆ W P(V)\subseteq W P ( V ) ⊆ W v ∈ V v\in V v ∈ V g ∈ G g\in G g ∈ G
p ρ ( g ) − 1 v ∈ W p\rho(g)^{-1}v\in W pρ ( g ) − 1 v ∈ W である。(1) によりρ ( g ) W = W \rho(g)W=W ρ ( g ) W = W
ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 v ∈ W \rho(g)p\rho(g)^{-1}v\in W ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 v ∈ W である。W W W W W W P ( V ) ⊆ W P(V)\subseteq W P ( V ) ⊆ W
次に、P P P W W W w ∈ W w\in W w ∈ W g ∈ G g\in G g ∈ G ρ ( g ) − 1 w ∈ W \rho(g)^{-1}w\in W ρ ( g ) − 1 w ∈ W p ∣ W = id W p|_W=\operatorname{id}_W p ∣ W = id W
ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 w = ρ ( g ) ρ ( g ) − 1 w = w \rho(g)p\rho(g)^{-1}w
=\rho(g)\rho(g)^{-1}w
=w ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 w = ρ ( g ) ρ ( g ) − 1 w = w となる。よって
P ( w ) = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G w = w . (4) P(w)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}w=w.
\tag{4} P ( w ) = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ w = w . ( 4 ) とくにW ⊆ im P W\subseteq\operatorname{im}P W ⊆ im P im P = W \operatorname{im}P=W im P = W P ( v ) ∈ W P(v)\in W P ( v ) ∈ W
P 2 ( v ) = P ( P ( v ) ) = P ( v ) (5) P^2(v)=P(P(v))=P(v)
\tag{5} P 2 ( v ) = P ( P ( v )) = P ( v ) ( 5 ) である。
P P P G G G h ∈ G h\in G h ∈ G
ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( h ) ρ ( g ) p ρ ( g ) − 1 ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( h g ) p ρ ( h g ) − 1 . (6) \begin{aligned}
\rho(h)P\rho(h)^{-1}
&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}
\rho(h)\rho(g)p\rho(g)^{-1}\rho(h)^{-1}\\
&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}
\rho(hg)p\rho(hg)^{-1}.
\end{aligned}
\tag{6} ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( h ) ρ ( g ) pρ ( g ) − 1 ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( h g ) pρ ( h g ) − 1 . ( 6 ) 写像G → G , g ↦ h g G\to G,\ g\mapsto hg G → G , g ↦ h g k = h g k=hg k = h g
ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ k ∈ G ρ ( k ) p ρ ( k ) − 1 = P . (7) \rho(h)P\rho(h)^{-1}
=\frac{1}{|G|}\sum_{k\in G}\rho(k)p\rho(k)^{-1}
=P.
\tag{7} ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 k ∈ G ∑ ρ ( k ) pρ ( k ) − 1 = P . ( 7 ) (7) の右からρ ( h ) \rho(h) ρ ( h )
ρ ( h ) P = P ρ ( h ) (8) \rho(h)P=P\rho(h)
\tag{8} ρ ( h ) P = P ρ ( h ) ( 8 ) を得る。
W ′ = ker P W'=\ker P W ′ = ker P v ∈ W ′ v\in W' v ∈ W ′ h ∈ G h\in G h ∈ G
P ( ρ ( h ) v ) = ρ ( h ) P ( v ) = 0 P(\rho(h)v)=\rho(h)P(v)=0 P ( ρ ( h ) v ) = ρ ( h ) P ( v ) = 0 である。したがってρ ( h ) v ∈ W ′ \rho(h)v\in W' ρ ( h ) v ∈ W ′ W ′ W' W ′ G G G
最後に直和分解を確認する。任意のv ∈ V v\in V v ∈ V
v = P ( v ) + ( v − P ( v ) ) v=P(v)+(v-P(v)) v = P ( v ) + ( v − P ( v )) と表される。第一項はim P = W \operatorname{im}P=W im P = W
P ( v − P ( v ) ) = P ( v ) − P 2 ( v ) = 0 P(v-P(v))=P(v)-P^2(v)=0 P ( v − P ( v )) = P ( v ) − P 2 ( v ) = 0 なので第二項はker P = W ′ \ker P=W' ker P = W ′ x ∈ W ∩ W ′ x\in W\cap W' x ∈ W ∩ W ′ P ( x ) = x P(x)=x P ( x ) = x x ∈ ker P x\in\ker P x ∈ ker P P ( x ) = 0 P(x)=0 P ( x ) = 0 x = 0 x=0 x = 0 V = W ⊕ W ′ V=W\oplus W' V = W ⊕ W ′ ▨
系 3.3. 有限群の任意の有限次元複素表現は完全可約である。
証明. n = dim C V n=\dim_{\mathbb C}V n = dim C V n = 0 n=0 n = 0 V V V n > 0 n>0 n > 0 n n n
V V V V V V V V V
{ 0 } ⊊ W ⊊ V \{0\}\subsetneq W\subsetneq V { 0 } ⊊ W ⊊ V を満たすG G G W W W 定理 3.2 により、G G G W ′ W' W ′ V = W ⊕ W ′ V=W\oplus W' V = W ⊕ W ′ W ≠ { 0 } W\ne\{0\} W = { 0 } W ≠ V W\ne V W = V
0 < dim W < n , 0 < dim W ′ < n 0<\dim W<n,\qquad 0<\dim W'<n 0 < dim W < n , 0 < dim W ′ < n である。帰納法の仮定により、W W W W ′ W' W ′ V V V ▨
4 指標 指標は、各群元が表現空間に作用するときのトレースを記録する。表現行列そのものは基底に依存するが、トレースは基底の変更に依存しない。
定義 4.1. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G 指標 (character )
χ ρ : G ⟶ C , χ ρ ( g ) = tr ( ρ ( g ) ) \chi_\rho\colon G\longrightarrow\mathbb C,\qquad
\chi_\rho(g)=\operatorname{tr}(\rho(g)) χ ρ : G ⟶ C , χ ρ ( g ) = tr ( ρ ( g )) である。
命題 4.2. 同型な有限次元複素表現は同じ指標をもつ。
証明. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) ( V ′ , ρ ′ ) (V',\rho') ( V ′ , ρ ′ ) T : V → V ′ T\colon V\to V' T : V → V ′
ρ ′ ( g ) = T ρ ( g ) T − 1 \rho'(g)=T\rho(g)T^{-1} ρ ′ ( g ) = T ρ ( g ) T − 1 である。正方行列A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A = ( a ij ) B = ( b i j ) B=(b_{ij}) B = ( b ij )
tr ( A B ) = ∑ i ∑ j a i j b j i = ∑ j ∑ i b j i a i j = tr ( B A ) (9) \operatorname{tr}(AB)
=\sum_i\sum_j a_{ij}b_{ji}
=\sum_j\sum_i b_{ji}a_{ij}
=\operatorname{tr}(BA)
\tag{9} tr ( A B ) = i ∑ j ∑ a ij b j i = j ∑ i ∑ b j i a ij = tr ( B A ) ( 9 ) である。したがって
tr ( ρ ′ ( g ) ) = tr ( T ρ ( g ) T − 1 ) = tr ( ρ ( g ) T − 1 T ) = tr ( ρ ( g ) ) \operatorname{tr}(\rho'(g))
=\operatorname{tr}(T\rho(g)T^{-1})
=\operatorname{tr}(\rho(g)T^{-1}T)
=\operatorname{tr}(\rho(g)) tr ( ρ ′ ( g )) = tr ( T ρ ( g ) T − 1 ) = tr ( ρ ( g ) T − 1 T ) = tr ( ρ ( g )) となり、二つの指標は一致する。▨
命題 4.3. ( V , ρ ) (V,\rho) ( V , ρ ) G G G g , h ∈ G g,h\in G g , h ∈ G
χ ρ ( h g h − 1 ) = χ ρ ( g ) \chi_\rho(hgh^{-1})=\chi_\rho(g) χ ρ ( h g h − 1 ) = χ ρ ( g ) が成り立つ。
証明. ρ \rho ρ
χ ρ ( h g h − 1 ) = tr ( ρ ( h ) ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ) = tr ( ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ρ ( h ) ) = tr ( ρ ( g ) ) = χ ρ ( g ) \begin{aligned}
\chi_\rho(hgh^{-1})
&=\operatorname{tr}\bigl(\rho(h)\rho(g)\rho(h)^{-1}\bigr)\\
&=\operatorname{tr}\bigl(\rho(g)\rho(h)^{-1}\rho(h)\bigr)\\
&=\operatorname{tr}(\rho(g))
=\chi_\rho(g)
\end{aligned} χ ρ ( h g h − 1 ) = tr ( ρ ( h ) ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ) = tr ( ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ρ ( h ) ) = tr ( ρ ( g )) = χ ρ ( g ) を得る。▨
5 S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3 §E7.12 例 3.2 により
{ e } , { ( 12 ) , ( 13 ) , ( 23 ) } , { ( 123 ) , ( 132 ) } (10) \{e\},\qquad
\{(12),(13),(23)\},\qquad
\{(123),(132)\}
\tag{10} { e } , {( 12 ) , ( 13 ) , ( 23 )} , {( 123 ) , ( 132 )} ( 10 ) である。以下では、恒等元、互換、3-cycle の順で指標値を記す。
自明表現では、すべての群元がC \mathbb C C
χ t r i v = ( 1 , 1 , 1 ) . (11) \chi_{\mathrm{triv}}=(1,1,1).
\tag{11} χ triv = ( 1 , 1 , 1 ) . ( 11 ) 符号表現では、恒等元と 3-cycle は偶置換であり、互換は奇置換である。§E7.5 定理 2.1 により、
χ s g n = ( 1 , − 1 , 1 ) . (12) \chi_{\mathrm{sgn}}=(1,-1,1).
\tag{12} χ sgn = ( 1 , − 1 , 1 ) . ( 12 ) 二次元標準表現は、三次元置換表現から定数ベクトルがなす自明部分表現を分離して構成する。
例 5.1 (S 3 S_3 S 3 U = C 3 U=\mathbb C^3 U = C 3 e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e 1 , e 2 , e 3
ρ p e r m ( σ ) e i = e σ ( i ) (13) \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma)e_i=e_{\sigma(i)}
\tag{13} ρ perm ( σ ) e i = e σ ( i ) ( 13 ) と定めると、
ρ p e r m ( σ τ ) e i = e σ ( τ ( i ) ) = ρ p e r m ( σ ) ρ p e r m ( τ ) e i \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma\tau)e_i
=e_{\sigma(\tau(i))}
=\rho_{\mathrm{perm}}(\sigma)\rho_{\mathrm{perm}}(\tau)e_i ρ perm ( σ τ ) e i = e σ ( τ ( i )) = ρ perm ( σ ) ρ perm ( τ ) e i なので、ρ p e r m \rho_{\mathrm{perm}} ρ perm S 3 S_3 S 3
次の二つの部分空間を取る。
L = C ( 1 , 1 , 1 ) , W = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ C 3 ∣ x 1 + x 2 + x 3 = 0 } . (14) L=\mathbb C(1,1,1),\qquad
W=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb C^3\mid x_1+x_2+x_3=0\}.
\tag{14} L = C ( 1 , 1 , 1 ) , W = {( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ C 3 ∣ x 1 + x 2 + x 3 = 0 } . ( 14 ) 座標の置換は座標和を保つので、L L L W W W S 3 S_3 S 3 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ U x=(x_1,x_2,x_3)\in U x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ U
a = x 1 + x 2 + x 3 3 a=\frac{x_1+x_2+x_3}{3} a = 3 x 1 + x 2 + x 3 と置けば、
x = a ( 1 , 1 , 1 ) + ( x − a ( 1 , 1 , 1 ) ) x=a(1,1,1)+\bigl(x-a(1,1,1)\bigr) x = a ( 1 , 1 , 1 ) + ( x − a ( 1 , 1 , 1 ) ) であり、第二項の座標和は零である。またL ∩ W = { 0 } L\cap W=\{0\} L ∩ W = { 0 }
U = L ⊕ W , dim C W = 2. (15) U=L\oplus W,\qquad \dim_{\mathbb C}W=2.
\tag{15} U = L ⊕ W , dim C W = 2. ( 15 ) W W W ρ p e r m \rho_{\mathrm{perm}} ρ perm S 3 S_3 S 3 標準表現 ρ s t d \rho_{\mathrm{std}} ρ std
σ ∈ S 3 \sigma\in S_3 σ ∈ S 3 i i i σ ( i ) = i \sigma(i)=i σ ( i ) = i 1 1 1 0 0 0
tr ( ρ p e r m ( σ ) ) = ∣ { i ∈ { 1 , 2 , 3 } ∣ σ ( i ) = i } ∣ . (16) \operatorname{tr}(\rho_{\mathrm{perm}}(\sigma))
=|\{i\in\{1,2,3\}\mid \sigma(i)=i\}|.
\tag{16} tr ( ρ perm ( σ )) = ∣ { i ∈ { 1 , 2 , 3 } ∣ σ ( i ) = i } ∣. ( 16 ) (15) に合わせた基底では、ρ p e r m ( σ ) \rho_{\mathrm{perm}}(\sigma) ρ perm ( σ ) L L L W W W
χ s t d ( σ ) = ∣ { i ∈ { 1 , 2 , 3 } ∣ σ ( i ) = i } ∣ − 1. (17) \chi_{\mathrm{std}}(\sigma)
=|\{i\in\{1,2,3\}\mid \sigma(i)=i\}|-1.
\tag{17} χ std ( σ ) = ∣ { i ∈ { 1 , 2 , 3 } ∣ σ ( i ) = i } ∣ − 1. ( 17 ) 恒等元の不動点数は3 3 3 1 1 1 0 0 0
χ s t d = ( 3 − 1 , 1 − 1 , 0 − 1 ) = ( 2 , 0 , − 1 ) . (18) \chi_{\mathrm{std}}=(3-1,\,1-1,\,0-1)=(2,0,-1).
\tag{18} χ std = ( 3 − 1 , 1 − 1 , 0 − 1 ) = ( 2 , 0 , − 1 ) . ( 18 ) (11)、(12)、(18) により、指定した共役類順で三つの指標値は
( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , − 1 , 1 ) , ( 2 , 0 , − 1 ) (1,1,1),\qquad(1,-1,1),\qquad(2,0,-1) ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , − 1 , 1 ) , ( 2 , 0 , − 1 ) となる。
6 置換表現、標準表現、回転表現 S 3 S_3 S 3
命題 6.1. n ≥ 2 n\geq2 n ≥ 2 S n S_n S n
U n = C n U_n=\mathbb C^n U n = C n へ基底の置換によって作用させる。この置換表現は
U n = L n ⊕ W n , U_n=L_n\oplus W_n, U n = L n ⊕ W n , L n = C ( 1 , … , 1 ) , W n = { ( x 1 , … , x n ) ∈ C n ∣ x 1 + ⋯ + x n = 0 } L_n=\mathbb C(1,\ldots,1),\qquad
W_n=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb C^n\mid x_1+\cdots+x_n=0\} L n = C ( 1 , … , 1 ) , W n = {( x 1 , … , x n ) ∈ C n ∣ x 1 + ⋯ + x n = 0 } と分解する。L n L_n L n W n W_n W n n − 1 n-1 n − 1
χ s t d ( σ ) = ∣ { i ∈ { 1 , … , n } ∣ σ ( i ) = i } ∣ − 1 \chi_{\mathrm{std}}(\sigma)
=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid \sigma(i)=i\}|-1 χ std ( σ ) = ∣ { i ∈ { 1 , … , n } ∣ σ ( i ) = i } ∣ − 1 である。
証明. 座標の置換は( 1 , … , 1 ) (1,\ldots,1) ( 1 , … , 1 ) L n L_n L n W n W_n W n S n S_n S n x = ( x 1 , … , x n ) ∈ U n x=(x_1,\ldots,x_n)\in U_n x = ( x 1 , … , x n ) ∈ U n
a = x 1 + ⋯ + x n n a=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} a = n x 1 + ⋯ + x n とおけば、
x = a ( 1 , … , 1 ) + ( x − a ( 1 , … , 1 ) ) x=a(1,\ldots,1)+\bigl(x-a(1,\ldots,1)\bigr) x = a ( 1 , … , 1 ) + ( x − a ( 1 , … , 1 ) ) であり、第二項はW n W_n W n L n ∩ W n = { 0 } L_n\cap W_n=\{0\} L n ∩ W n = { 0 } U n = L n ⊕ W n U_n=L_n\oplus W_n U n = L n ⊕ W n σ \sigma σ L n L_n L n 1 1 1 ▨
正二十面体の回転は、置換表現とは異なる三次元表現を与える。
例 6.2 (A 5 A_5 A 5 §E7.19 命題 5.1 によってA 5 ≅ I + A_5\cong I^+ A 5 ≅ I +
I + ↪ SO ( 3 ) ⊂ GL 3 ( R ) I^+\hookrightarrow\operatorname{SO}(3)
\subset\operatorname{GL}_3(\mathbb R) I + ↪ SO ( 3 ) ⊂ GL 3 ( R ) は忠実な三次元実表現であり、係数を複素数へ拡大すると忠実な三次元複素表現を与える。§E7.12 例 4.1 (正二十面体の回転の共役類) の共役類を
1 , π , 2 π 3 , 2 π 5 , 4 π 5 1,\quad \pi,\quad \frac{2\pi}{3},\quad
\frac{2\pi}{5},\quad \frac{4\pi}{5} 1 , π , 3 2 π , 5 2 π , 5 4 π という回転角の順に並べると、この複素表現の指標値は
3 , − 1 , 0 , 1 + 5 2 , 1 − 5 2 3,\qquad -1,\qquad 0,\qquad
\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad
\frac{1-\sqrt5}{2} 3 , − 1 , 0 , 2 1 + 5 , 2 1 − 5 である。
証明. 角度θ \theta θ 1 1 1 e i θ e^{i\theta} e i θ e − i θ e^{-i\theta} e − i θ
1 + e i θ + e − i θ = 1 + 2 cos θ 1+e^{i\theta}+e^{-i\theta}=1+2\cos\theta 1 + e i θ + e − i θ = 1 + 2 cos θ である。θ = 0 , π , 2 π / 3 , 2 π / 5 , 4 π / 5 \theta=0,\pi,2\pi/3,2\pi/5,4\pi/5 θ = 0 , π , 2 π /3 , 2 π /5 , 4 π /5 I + I^+ I + R 3 \mathbb R^3 R 3 A 5 ≅ I + A_5\cong I^+ A 5 ≅ I + □
7 仮定の境界 Maschke の定理の証明では、∣ G ∣ − 1 |G|^{-1} ∣ G ∣ − 1 ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
例 7.1 (標数が群の位数を割る場合). p p p k = F p k=\mathbb F_p k = F p p p p C p = ⟨ a ⟩ C_p=\langle a\rangle C p = ⟨ a ⟩ V = k 2 V=k^2 V = k 2 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2
ρ ( a ) e 1 = e 1 , ρ ( a ) e 2 = e 1 + e 2 (19) \rho(a)e_1=e_1,\qquad
\rho(a)e_2=e_1+e_2
\tag{19} ρ ( a ) e 1 = e 1 , ρ ( a ) e 2 = e 1 + e 2 ( 19 ) と定める。N = ρ ( a ) − I N=\rho(a)-I N = ρ ( a ) − I N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 p p p
ρ ( a ) p = ( I + N ) p = I + p N = I \rho(a)^p=(I+N)^p=I+pN=I ρ ( a ) p = ( I + N ) p = I + pN = I であり、(19) はC p C_p C p
W = k e 1 W=ke_1 W = k e 1 W W W v = x e 1 + y e 2 v=xe_1+ye_2 v = x e 1 + y e 2 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 ρ ( a ) v = λ v \rho(a)v=\lambda v ρ ( a ) v = λ v λ ∈ k \lambda\in k λ ∈ k
ρ ( a ) v = ( x + y ) e 1 + y e 2 . \rho(a)v=(x+y)e_1+ye_2. ρ ( a ) v = ( x + y ) e 1 + y e 2 . e 2 e_2 e 2 λ = 1 \lambda=1 λ = 1 e 1 e_1 e 1 x + y = x x+y=x x + y = x y = 0 y=0 y = 0 y = 0 y=0 y = 0 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 W W W
8 演習 問題 8.1.
W W W G G G ρ ( g ) W = W \rho(g)W=W ρ ( g ) W = W g − 1 g^{-1} g − 1 (3) で定めたP P P g ↦ h g g\mapsto hg g ↦ h g G G G ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = P \rho(h)P\rho(h)^{-1}=P ρ ( h ) P ρ ( h ) − 1 = P
P ( V ) ⊆ W P(V)\subseteq W P ( V ) ⊆ W P ∣ W = id W P|_W=\operatorname{id}_W P ∣ W = id W V = W ⊕ ker P V=W\oplus\ker P V = W ⊕ ker P S 3 S_3 S 3 例 7.1 で、( I + N ) p = I + p N (I+N)^p=I+pN ( I + N ) p = I + pN N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 解答 (演習の要点).
不変性をg − 1 g^{-1} g − 1 ρ ( g ) − 1 W ⊆ W \rho(g)^{-1}W\subseteq W ρ ( g ) − 1 W ⊆ W ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) W ⊆ ρ ( g ) W W\subseteq\rho(g)W W ⊆ ρ ( g ) W
ρ ( h ) ρ ( g ) = ρ ( h g ) \rho(h)\rho(g)=\rho(hg) ρ ( h ) ρ ( g ) = ρ ( h g ) ρ ( g ) − 1 ρ ( h ) − 1 = ρ ( h g ) − 1 \rho(g)^{-1}\rho(h)^{-1}=\rho(hg)^{-1} ρ ( g ) − 1 ρ ( h ) − 1 = ρ ( h g ) − 1 g ↦ h g g\mapsto hg g ↦ h g k ↦ h − 1 k k\mapsto h^{-1}k k ↦ h − 1 k G G G v = P ( v ) + ( v − P ( v ) ) v=P(v)+(v-P(v)) v = P ( v ) + ( v − P ( v )) P ( v ) ∈ W P(v)\in W P ( v ) ∈ W P ( v − P ( v ) ) = 0 P(v-P(v))=0 P ( v − P ( v )) = 0 x ∈ W ∩ ker P x\in W\cap\ker P x ∈ W ∩ ker P x = P ( x ) = 0 x=P(x)=0 x = P ( x ) = 0 例えば( 12 ) (12) ( 12 ) 0 , 0 , 1 0,0,1 0 , 0 , 1 ( 123 ) (123) ( 123 ) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 − 1 -1 − 1 2 2 2
二項展開でN j = 0 N^j=0 N j = 0 j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2 ( I + N ) p = I + ( p 1 ) N = I + p N (I+N)^p=I+\binom p1N=I+pN ( I + N ) p = I + ( 1 p ) N = I + pN p p p p N = 0 pN=0 pN = 0
▨