§E7.18有限アーベル群の基本定理

証明.$G$はアーベル群なので、$p$のべきで零になる二元の和と逆元も$p$のべきで零になる。したがって$G_p$は部分群である。$x\in G_p$の位数は$p$のべきであり、§E7.6 定理 2.1によって$|G|$を割る。したがって

とも表される。また、$p$と異なる素数$q$が$|G_p|$を割るならば、§E7.12 定理 6.1によって$G_p$は位数$q$の元をもつことになり、その元が$p$のべきで零になることに反する。ゆえに$G_p$は有限アーベル$p$群である。

$N=|G|$、$n_i=N/p_i^{e_i}$とおく。$\gcd(n_i,p_i^{e_i})=1$であるから、前節の Bézout の等式によって

を満たす整数$u_i$が存在する。$\varepsilon_i=u_i n_i$とおく。$i\neq j$ならば$p_j^{e_j}\mid n_i$であるから

となる。したがって$\sum_i\varepsilon_i-1$はすべての$p_i^{e_i}$で割り切れる。整数$p_i^{e_i}$は互いに素であるから、§E6.27 補題 4.2 (3)より$N\mid \sum_i\varepsilon_i-1$である。

任意の$x\in G$に対して

であり、$p_i^{e_i}\varepsilon_i x=u_iNx=0$なので$\varepsilon_i x\in G_{p_i}$である。ゆえに$G$は各$G_{p_i}$の和である。

この和が内部直和であることを示す。$x_i\in G_{p_i}$が$\sum_i x_i=0$を満たすとする。両辺に$\varepsilon_j$を掛ける。$i\neq j$ならば$p_i^{e_i}\mid\varepsilon_j$なので$\varepsilon_jx_i=0$であり、$\varepsilon_jx_j=x_j$である。したがって$x_j=0$となる。各$j$について同じ議論が成り立つので、和は直和である。

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証明. 指数$[A:H]$に関する帰納法を用いる。$H=A$ならば、与えられた準同型$f\colon H\to C_{p^n}$自身が$A$上の延長である。$H\neq A$とする。任意の$y+H\in A/H$は$p^n(y+H)=H$を満たすので、その位数は$p^n$を割り、$p$の冪である。非零元$y+H$を一つ取り、その位数を$p^r$と書くと$1\leq r\leq n$である。$x=p^{r-1}y$とおけば、$x\notin H$かつ$px\in H$である。

$p^nx=0$であるから$p^{n-1}(px)=0$であり、準同型性によって$p^{n-1}f(px)=0$である。$C_{p^n}$において$p^{n-1}$倍で零になる元は$p$の倍数である。したがって$f(px)=pz$を満たす$z\in C_{p^n}$が存在する。

$H'=H+\langle x\rangle$上で

と定める。この定義が表示によらないことを確認する。$h+kx=h'+k'x$ならば$(k-k')x\in H$である。$x+H$の位数は$p$なので$k-k'=p\ell$と表される。すると

であり、$f(h)+kz=f(h')+k'z$が従う。よって$f'$は整定義されている。$h_1,h_2\in H$と整数$k_1,k_2$に対して

が成り立ち、$f'(h)=f(h)$である。したがって$f'$は準同型であり、$f$を延長する。

$H$は$H'$の真部分群なので$[A:H']<[A:H]$である。帰納法によって$f'$は$A$全体へ延長する。

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証明.$|A|$に関する帰納法を用いる。$A=0$ならば、空の直和が求める分解を与える。$A\neq 0$とし、$A$の元の位数の最大値を$p^n$とする。位数$p^n$の元$a$を取り、$\langle a\rangle$を$C_{p^n}$と同一視する準同型

を考える。すべての$x\in A$は$p^nx=0$を満たすので、補題 4.1によって$f_0$は準同型$f\colon A\to C_{p^n}$に延長する。

$f(a)=1$であるから$f$は全射である。任意の$x\in A$に対し、$f(x)=[k]_{p^n}$となる整数$k$を取れば、

であり、$x-ka\in\ker f$である。さらに、$ka\in\langle a\rangle\cap\ker f$ならば

であるから$p^n\mid k$であり、$ka=0$となる。したがって$\langle a\rangle\cap\ker f=0$であり、

となる。$\ker f$は$A$より位数の小さい有限アーベル$p$群なので、帰納法によって巡回$p$群の直和に分解する。よって$A$も同じ性質をもつ。

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証明.$A$が初等因子表示

をもつとする。巡回直和因子$C_{p^a}$は、$a\geq k$の場合に限って

へ位数$p$の直和因子を一つ与える。$a<k$の場合には零群を与える。したがって

であり、隣り合う二式の差を取ると

を得る。

各$p^{k-1}A/p^kA$は群$A$だけから定まるので、数列$(d_{p,k})_{k\geq1}$は同型不変量である。十分大きい$k$では$d_{p,k}=0$であり、上式によってすべての重複度を復元することができる。一般の有限アーベル群では補題 3.2によって各$p$-成分が群から一意に定まるため、すべての素数について同じ結論を適用することができる。

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証明. 準同型

を考える。$[x]_N=[y]_N$ならば$N\mid x-y$であり、各$n_i$は$N$を割るので$n_i\mid x-y$である。したがって$[x]_{n_i}=[y]_{n_i}$がすべての$i$について成り立ち、$\varphi$は整定義されている。また、

なので$\varphi$は加法準同型である。$\varphi([x]_N)=0$ならば、すべての$n_i$が$x$を割る。§E6.27 補題 4.2 (3)によって$N\mid x$であるから、$\ker\varphi=0$である。定義域と終域はいずれも位数$N$なので、単射$\varphi$は全射でもある。

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証明. 各素数$p$について、初等因子に現れる指数を重複度を含めて昇順に並べ、

とする。$r=\max_p r_p$とおき、各列の左側に$0$を補って長さを$r$にそろえる。得られた指数を$b_{p,1}\leq\cdots\leq b_{p,r}$とし、

と定める。指数列が昇順なので$d_i\mid d_{i+1}$である。各$i$について、異なる素数に属する巡回群を補題 6.1によってまとめると

となる。ただし$b_{p,i}=0$の因子は零群として省く。この操作によって初等因子表示から単因子表示を得る。

逆に、各$d_i$を一意な素因数分解

に分け、補題 6.1を逆向きに適用すれば初等因子表示を得る。$d_i\mid d_{i+1}$という条件は、各$p$について$b_{p,i}\leq b_{p,i+1}$であることと同値である。したがって二つの操作は互いに逆である。初等因子が命題 5.1によって一意であるため、単因子も一意である。

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証明.$G$が零群ならば、空の直和が初等因子表示と単因子表示の両方を与える。以下では$G$が非零群であるとする。

補題 3.2により、$G$は各素数$p$に属する$p$-成分の直和に分解する。各$p$-成分へ補題 4.2を適用すると、$G$は素数べき位数の巡回群の有限直和に分解する。したがって初等因子表示が存在する。命題 5.1により、各初等因子の重複度は$G$から一意に定まる。

初等因子表示へ命題 6.2を適用すると、$1<d_1\mid\cdots\mid d_s$を満たす単因子表示が得られる。同じ命題によって、単因子表示から初等因子表示を一意に復元することができる。初等因子表示が一意であるため、単因子の列$(d_1,\ldots,d_s)$も一意に定まる。

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