§E7.3群準同型と同型

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群準同型は、二つの群の演算を保つ写像である。準同型は元の表示を変えても積の関係を保存し、核と像は写像が失う情報と到達する範囲を部分群として記録する。本記事では、後続の記事が用いる準同型の基本性質を定義から証明する。

写像の定義域と終域には§E1.1 定義 1.1の規約を用い、合成には§E1.1 定義 2.1、単射・全射・全単射には§E1.1 定義 3.1の定義を用いる。

1 準同型と同型

準同型の定義では、写像の定義域、終域、積を保つ量化条件を同時に指定する。

定義 1.1. 群G,HG,Hに対し、写像φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hが群準同型 (group homomorphism) であるとは、任意のa,b∈Ga,b\in Gに対して

φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)

が成り立つことをいう。全単射な群準同型を群同型 (group isomorphism) という。群同型G→HG\to Hが存在するとき、G≅HG\cong Hと書く。

積を保つという一つの条件から、単位元と逆元の保存が従う。

命題 1.2. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hと任意のg∈Gg\in Gに対して

φ(eG)=eH,φ(g−1)=φ(g)−1\varphi(e_G)=e_H,\qquad \varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}

が成り立つ。

証明. 準同型性から

φ(eG)=φ(eGeG)=φ(eG)φ(eG)\varphi(e_G)=\varphi(e_Ge_G)=\varphi(e_G)\varphi(e_G)

を得る。この等式の左からφ(eG)−1\varphi(e_G)^{-1}を掛けるとeH=φ(eG)e_H=\varphi(e_G)を得る。次に

eH=φ(eG)=φ(gg−1)=φ(g)φ(g−1)e_H=\varphi(e_G)=\varphi(gg^{-1}) =\varphi(g)\varphi(g^{-1})

である。同じ計算によってφ(g−1)φ(g)=φ(g−1g)=eH\varphi(g^{-1})\varphi(g)=\varphi(g^{-1}g)=e_Hも成り立つ。φ(g)\varphi(g)の逆元の一意性からφ(g−1)=φ(g)−1\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}が従う。▨

整数冪も準同型によって保存される。

命題 1.3. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to H、元g∈Gg\in G、整数mmに対して

φ(gm)=φ(g)m\varphi(g^m)=\varphi(g)^m

が成り立つ。

証明.m=0m=0の場合は、単位元の保存からφ(g0)=φ(eG)=eH=φ(g)0\varphi(g^0)=\varphi(e_G)=e_H=\varphi(g)^0である。m>0m>0の場合は、mmに関する帰納法を用いる。mmで等式が成り立つならば

φ(gm+1)=φ(gmg)=φ(gm)φ(g)=φ(g)m+1\varphi(g^{m+1}) =\varphi(g^mg) =\varphi(g^m)\varphi(g) =\varphi(g)^{m+1}

である。m<0m<0の場合、m=−km=-kを満たす正の整数kkを取る。逆元の保存と正の整数の場合から

φ(gm)=φ((g−1)k)=φ(g−1)k=φ(g)−k=φ(g)m\varphi(g^m) =\varphi((g^{-1})^k) =\varphi(g^{-1})^k =\varphi(g)^{-k} =\varphi(g)^m

を得る。▨

群の間の準同型は合成することができる。

命題 1.4. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hとψ ⁣:H→K\psi\colon H\to Kに対して、ψ∘φ ⁣:G→K\psi\circ\varphi\colon G\to Kは群準同型である。

証明. 任意のa,b∈Ga,b\in Gに対して

(ψ∘φ)(ab)=ψ(φ(ab))=ψ(φ(a)φ(b))=ψ(φ(a))ψ(φ(b))(\psi\circ\varphi)(ab) =\psi(\varphi(ab)) =\psi(\varphi(a)\varphi(b)) =\psi(\varphi(a))\psi(\varphi(b))

が成り立つ。右辺は(ψ∘φ)(a)(ψ∘φ)(b)(\psi\circ\varphi)(a)(\psi\circ\varphi)(b)に等しいため、ψ∘φ\psi\circ\varphiは群準同型である。▨

同型は群の演算を双方向に保存する。

命題 1.5. 群同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hの逆写像φ−1 ⁣:H→G\varphi^{-1}\colon H\to Gは群同型である。

証明. 任意のx,y∈Hx,y\in Hを取る。φ\varphiは全射であるから、x=φ(a)x=\varphi(a)、y=φ(b)y=\varphi(b)を満たすa,b∈Ga,b\in Gが存在する。準同型性から

φ−1(xy)=φ−1(φ(a)φ(b))=φ−1(φ(ab))=ab=φ−1(x)φ−1(y)\varphi^{-1}(xy) =\varphi^{-1}(\varphi(a)\varphi(b)) =\varphi^{-1}(\varphi(ab)) =ab =\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)

である。したがってφ−1\varphi^{-1}は群準同型である。また、全単射の逆写像は全単射であるから、φ−1\varphi^{-1}は群同型である。▨

2 核と像

準同型が単位元へ送る元と、準同型によって実際に得られる元を定義する。

定義 2.1. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hの核 (kernel) と像 (image) を

ker⁡φ={g∈G∣φ(g)=eH},im⁡φ={φ(g)∣g∈G}\ker\varphi=\{g\in G\mid\varphi(g)=e_H\}, \qquad \operatorname{im}\varphi=\{\varphi(g)\mid g\in G\}

によって定める。

核と像は、それぞれ定義域と終域の部分群である。核が正規部分群であることは、本記事では用いない。

命題 2.2. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hに対して、ker⁡φ≤G\ker\varphi\leq Gかつim⁡φ≤H\operatorname{im}\varphi\leq Hである。さらに、次の二条件は同値である。

  1. φ\varphiは単射である。
  2. ker⁡φ={eG}\ker\varphi=\{e_G\}である。

証明.§E7.2 命題 1.2を用いる。単位元の保存からeG∈ker⁡φe_G\in\ker\varphiである。a,b∈ker⁡φa,b\in\ker\varphiに対して

φ(ab−1)=φ(a)φ(b−1)=φ(a)φ(b)−1=eH\varphi(ab^{-1}) =\varphi(a)\varphi(b^{-1}) =\varphi(a)\varphi(b)^{-1} =e_H

であるから、ab−1∈ker⁡φab^{-1}\in\ker\varphiである。したがってker⁡φ≤G\ker\varphi\leq Gである。

eH=φ(eG)e_H=\varphi(e_G)であるから、im⁡φ\operatorname{im}\varphiは空でない。x,y∈im⁡φx,y\in\operatorname{im}\varphiに対し、x=φ(a)x=\varphi(a)、y=φ(b)y=\varphi(b)を満たすa,b∈Ga,b\in Gが存在する。このとき

xy−1=φ(a)φ(b)−1=φ(ab−1)∈im⁡φxy^{-1} =\varphi(a)\varphi(b)^{-1} =\varphi(ab^{-1}) \in\operatorname{im}\varphi

である。したがってim⁡φ≤H\operatorname{im}\varphi\leq Hである。

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。φ\varphiが単射であると仮定する。g∈ker⁡φg\in\ker\varphiならばφ(g)=eH=φ(eG)\varphi(g)=e_H=\varphi(e_G)であるから、g=eGg=e_Gである。ゆえにker⁡φ={eG}\ker\varphi=\{e_G\}である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。逆にker⁡φ={eG}\ker\varphi=\{e_G\}と仮定する。φ(a)=φ(b)\varphi(a)=\varphi(b)ならば

φ(ab−1)=φ(a)φ(b)−1=eH\varphi(ab^{-1}) =\varphi(a)\varphi(b)^{-1} =e_H

である。したがってab−1∈ker⁡φab^{-1}\in\ker\varphiであり、ab−1=eGab^{-1}=e_Gとなる。右からbbを掛けるとa=ba=bを得る。ゆえにφ\varphiは単射である。▨

3 例と非例

先行する二つの記事で構成した群から、核と像を直接計算することができる。

定義 3.1.KKを可換体、nnを正の整数とする。群GGから一般線形群GL⁡n(K)\operatorname{GL}_n(K)への群準同型

ρ ⁣:G⟶GL⁡n(K)\rho\colon G\longrightarrow\operatorname{GL}_n(K)

を、GGのKK上の nn次元行列表示 (n-dimensional matrix representation) という。ρ\rhoが単射であるとき、この行列表示は忠実 (faithful representation) であるという。

命題 3.2. 写像

ι ⁣:(R,+)⟶GL⁡2(R),t⟼U(t)=(1t01)\iota\colon(\mathbb R,+)\longrightarrow\operatorname{GL}_2(\mathbb R), \qquad t\longmapsto U(t)= \begin{pmatrix} 1&t\\ 0&1 \end{pmatrix}

は忠実な行列表示である。

証明. 任意のs,t∈Rs,t\in\mathbb Rに対して

U(s)U(t)=(1s+t01)=U(s+t),U(t)−1=U(−t)U(s)U(t) = \begin{pmatrix} 1&s+t\\ 0&1 \end{pmatrix} =U(s+t), \qquad U(t)^{-1}=U(-t)

が成り立つ。したがって各U(t)U(t)は可逆であり、ι\iotaは群準同型である。U(t)=IU(t)=Iならば(1,2)(1,2)成分の比較からt=0t=0を得るため、ker⁡ι={0}\ker\iota=\{0\}である。命題 2.2によってι\iotaは単射であり、この行列表示は忠実である。▨

命題 3.3.nnを正の整数とし、e1,…,ene_1,\ldots,e_nをRn\mathbb R^nの標準基底とする。各σ∈Sn\sigma\in S_nに対して

Pσej=eσ(j)(1≤j≤n)P_\sigma e_j=e_{\sigma(j)} \qquad(1\leq j\leq n)

を満たす行列PσP_\sigmaを定める。このとき

ρ ⁣:Sn⟶GL⁡n(R),σ⟼Pσ\rho\colon S_n\longrightarrow\operatorname{GL}_n(\mathbb R), \qquad \sigma\longmapsto P_\sigma

は忠実な行列表示である。

証明.Pσ−1Pσej=ejP_{\sigma^{-1}}P_\sigma e_j=e_jがすべての標準基底ベクトルについて成り立つため、PσP_\sigmaは可逆であり、Pσ−1=Pσ−1P_\sigma^{-1}=P_{\sigma^{-1}}である。また、任意のσ,τ∈Sn\sigma,\tau\in S_nに対して

PσPτej=Pσeτ(j)=eσ(τ(j))=PστejP_\sigma P_\tau e_j =P_\sigma e_{\tau(j)} =e_{\sigma(\tau(j))} =P_{\sigma\tau}e_j

である。したがってPσPτ=PστP_\sigma P_\tau=P_{\sigma\tau}であり、ρ\rhoは群準同型である。Pσ=IP_\sigma=Iならば、各jjに対してeσ(j)=Pσej=eje_{\sigma(j)}=P_\sigma e_j=e_jであるからσ(j)=j\sigma(j)=jである。ゆえにσ\sigmaは恒等置換であり、ker⁡ρ\ker\rhoは自明である。命題 2.2によってρ\rhoは単射である。▨

例 3.4 (剰余類への標準準同型).nnを正の整数とする。写像

qn ⁣:(Z,+)⟶(Z/nZ,+),a⟼[a]nq_n\colon(\mathbb Z,+)\longrightarrow(\mathbb Z/n\mathbb Z,+), \qquad a\longmapsto[a]_n

は

qn(a+b)=[a+b]n=[a]n+[b]nq_n(a+b)=[a+b]_n=[a]_n+[b]_n

を満たす準同型である。任意の剰余類[r]n[r]_nはqn(r)q_n(r)に等しいため、qnq_nは全射である。また、qn(a)=[0]nq_n(a)=[0]_nであることとn∣an\mid aであることは同値である。したがって、その核と像は

ker⁡qn=nZ,im⁡qn=Z/nZ\ker q_n=n\mathbb Z,\qquad \operatorname{im}q_n=\mathbb Z/n\mathbb Z

である。

例 3.5 (単射だが全射でない準同型). 写像

d ⁣:(Z,+)⟶(Z,+),d(k)=2kd\colon(\mathbb Z,+)\longrightarrow(\mathbb Z,+),\qquad d(k)=2k

はd(k+ℓ)=2k+2ℓ=d(k)+d(ℓ)d(k+\ell)=2k+2\ell=d(k)+d(\ell)を満たすため群準同型である。ker⁡d={0}\ker d=\{0\}であるから命題 2.2によって単射である。一方、11は像に属さないため、ddは全射ではない。

積を保たない写像は、全単射であっても群同型ではない。

例 3.6 (準同型でない全単射). 写像t ⁣:Z→Zt\colon\mathbb Z\to\mathbb Zをt(k)=k+1t(k)=k+1と定める。ttは集合の写像として全単射である。しかし

t(0)=1≠0t(0)=1\neq0

であり、群準同型が単位元を保つという必要条件を満たさない。したがってttは(Z,+)(\mathbb Z,+)の群準同型ではない。

4 演習

問題 4.1.

  1. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hと部分群L≤HL\leq Hに対して、逆像φ−1(L)\varphi^{-1}(L)がGGの部分群であることを証明せよ。
  2. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hと部分群K≤GK\leq Gに対して、φ(K)\varphi(K)がHHの部分群であることを証明せよ。
  3. 群準同型φ ⁣:G→H\varphi\colon G\to Hが全単射であるとする。φ−1\varphi^{-1}が積を保つことを、HHの元をGGの元の像として表す方法を用いずに証明せよ。
解答 (演習の解答).
  1. φ(eG)=eH∈L\varphi(e_G)=e_H\in Lであるから、φ−1(L)\varphi^{-1}(L)は空でない。a,b∈φ−1(L)a,b\in \varphi^{-1}(L)ならば φ(ab−1)=φ(a)φ(b)−1∈L\varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}\in L である。したがって一段階部分群判定によってφ−1(L)≤G\varphi^{-1}(L)\leq Gである。
  2. eH=φ(eG)∈φ(K)e_H=\varphi(e_G)\in\varphi(K)であるから、φ(K)\varphi(K)は空でない。x,y∈φ(K)x,y\in\varphi(K)に対して、x=φ(a)x=\varphi(a)およびy=φ(b)y=\varphi(b)を満たすa,b∈Ka,b\in Kを取る。このとき xy−1=φ(ab−1)∈φ(K)xy^{-1}=\varphi(ab^{-1})\in\varphi(K) であるから、一段階部分群判定によってφ(K)≤H\varphi(K)\leq Hである。
  3. 任意のx,y∈Hx,y\in Hに対して φ(φ−1(xy))=xy\varphi\bigl(\varphi^{-1}(xy)\bigr)=xy である。一方、φ\varphiが準同型であることから φ(φ−1(x)φ−1(y))=φ(φ−1(x))φ(φ−1(y))=xy\varphi\bigl(\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)\bigr) =\varphi\bigl(\varphi^{-1}(x)\bigr) \varphi\bigl(\varphi^{-1}(y)\bigr) =xy である。φ\varphiは単射であるから、φ−1(xy)=φ−1(x)φ−1(y)\varphi^{-1}(xy)=\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)が従う。したがってφ−1\varphi^{-1}は積を保つ。

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参考文献

  1. Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, Boston, 2011.群準同型、核、像、同型の扱いを参考にした。
  2. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.群準同型と基本的な核・像の性質の扱いを参考にした。

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