§E7.17Sylow の定理

証明. 正の整数$a$に対し、$a$を割る$p$の冪の最大の指数を$\nu_p(a)$と書く。

と書く。$1\le j<p^n$に対し、$j=p^r u$、$p\nmid u$と書けば$r<n$である。このとき

であり、括弧内の二つの整数はいずれも$p$で割り切れない。したがって

である。(1) の各分数は分子と分母に同じ$p$指数をもち、$m$も$p$で割り切れない。二項係数は整数なので、その$p$指数は$0$である。▨

証明.$G$の$p^n$元部分集合全体を$\Omega$とし、$G$を

によって$\Omega$へ作用させる。前の補題により

は$p$で割り切れない。$\Omega$を$G$の軌道へ分割したとき、すべての軌道の大きさが$p$で割り切れるならば$|\Omega|$も$p$で割り切れる。したがって、大きさが$p$で割り切れない軌道が存在する。

そのような軌道から$S\in\Omega$を取り、$S$の安定化群を$H=G_S$とする。軌道安定化群定理により

であるから、$p\nmid [G:H]$である。等式$|G|=[G:H]|H|$から$p^n\mid |H|$を得る。

$s\in S$を一つ固定する。$h\in H$ならば$hS=S$なので$hs\in S$である。写像$H\to S,\ h\mapsto hs$は、群の取消律により単射である。したがって

$p^n\mid |H|$と合わせると$|H|=p^n$となる。ゆえに$H$は Sylow$p$部分群である。▨

証明. 最初に(1)を証明する。$Q$を任意の$p$部分群とし、$Q$を左剰余類集合$G/P$へ左乗法で作用させる。各$Q$軌道の大きさは$|Q|$を割るので$p$の冪である。一方、

は$p$で割り切れない。したがって、大きさが$1$である軌道が存在する。固定点となる剰余類を$gP$とすると、すべての$q\in Q$について

が成り立つ。この等式は$g^{-1}qg\in P$と同値である。ゆえに$Q\le gPg^{-1}$である。

$Q$自身も Sylow$p$部分群である場合、$Q$と$gPg^{-1}$の位数はともに$p^n$である。したがって(1)の包含は等号となり、(2)を得る。

(3)を証明する。Sylow$p$部分群全体の集合を$\mathcal S_p$とする。(2)により、$G$の$\mathcal S_p$への共役作用は可移的である。$P\in\mathcal S_p$の安定化群は正規化群$N_G(P)$なので、

$P\le N_G(P)$であるから、指数の積公式により (2) は

を満たす。

次に$P$自身を$\mathcal S_p$へ共役で作用させる。$Q\in\mathcal S_p$がこの作用の固定点ならば$P\le N_G(Q)$である。$Q\trianglelefteq N_G(Q)$なので$PQ$は部分群であり、

は$p$の冪である。$Q\le PQ$かつ$Q$は Sylow$p$部分群なので$PQ=Q$であり、$P\le Q$となる。両者の位数は等しいから$P=Q$である。したがって、この$P$作用の固定点は$P$一つだけである。残る軌道の大きさは$p$の正の冪なので、

を得る。▨

証明.$P\trianglelefteq N_G(P)$と$Q\le N_G(P)$から$PQ$は部分群である。その位数は

であり、$p$の冪である。$P\le PQ$であり、$P$は$G$の$p$部分群の中で最大の位数をもつので$PQ=P$である。したがって$Q\le P$である。▨

証明.$A_5$の位数$5$の元は$5$-cycle である。その個数は$5!/5=24$である。各位数$5$の巡回部分群は四つの非単位元をもち、相異なる二つの位数$5$の部分群は単位元以外の元を共有しない。したがって

である。位数$3$の元は$3$-cycle であり、その個数は$\binom53\cdot2=20$である。各位数$3$の巡回部分群は二つの非単位元をもつため、

となる。

$A_5$の文字を一つ$i$に固定し、残る四文字を$a,b,c,d$と書く。集合

は位数$4$の部分群であり、Klein の四元群と同型である。$i=1,\ldots,5$によって五つの部分群を得る。各二重互換は一つの文字だけを固定するので、相異なる$V_i$は単位元以外の元を共有しない。$|A_5|$を割る最大の$2$の冪は$4$なので、各$V_i$は Sylow$2$部分群である。

逆に、$P$を Sylow$2$部分群とする。$A_5$には位数$4$の元が存在しないため、$P$は Klein の四元群である。$x\in P\setminus\{e\}$を取ると、$x$は二重互換であり、ある一つの文字$i$を固定する。$P$は可換なので$P\leq C_{A_5}(x)$である。置換を共役すると固定点も同じ置換で移るため、$x$と可換する置換は$x$の唯一の固定点$i$を固定する。残る四文字上で$x$と可換する偶置換を直接列挙すると、ちょうど$V_i$の四元を得る。したがって

となる。よって Sylow$2$部分群は$V_1,\ldots,V_5$に限られ、$n_2=5$である。

$A_5\cong I^+$のもとで、二重互換は辺軸のまわりの半回転に対応する。したがって各$V_i$の三つの非自明元は三本の辺軸に対応し、十五本の辺軸は五組に分かれる。六つの Sylow$5$部分群は六本の頂点軸に、十個の Sylow$3$部分群は十本の面軸に対応する。最後に、

であり、$6\mid12$、$10\mid20$、$5\mid15$なので、Sylow の第三定理とも一致する。回転軸との対応に必要な幾何学的同一視は次の注意に委ねる。□

証明.$C_q$を加法群$\mathbb Z/q\mathbb Z$と同一視する。自己同型は$1$の像によって一意に決まり、$1$の像には非零剰余類を任意に選ぶことができる。したがって

であり、その位数は$q-1$である。

$p\mid(q-1)$とする。§E7.12 定理 6.1により、$\operatorname{Aut}(C_q)$は位数$p$の元をもつので、位数$p$の部分群が存在する。

一意性を示す。素数$q$を法とする剰余類全体は体をなす。実際、非零剰余類$[a]_q$に対して$\gcd(a,q)=1$であり、Euclid の互除法から得られる Bézout の等式$ua+vq=1$を法$q$で読むと、$[u]_q$が$[a]_q$の逆元になる。

体上では、非零多項式の根の個数は次数以下である。実際、$a$が多項式$f(X)$の根ならば

を各項へ適用して$f(X)=(X-a)g(X)$と書くことができる。$a$と異なる根$b$に対しては$0=f(b)=(b-a)g(b)$であり、$b-a\neq0$なので$g(b)=0$となる。次数についての帰納法により、次数$d$の非零多項式の根は高々$d$個である。

位数$p$の任意の部分群$U\le(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times$の各元は$X^p-1$の根であり、$U$は$p$個の元をもつ。多項式$X^p-1$の根は高々$p$個なので、$U$は根全体の集合に一致する。したがって、どの位数$p$の部分群も同じ集合であり、そのような部分群は一つだけである。▨

証明. Sylow 部分群の個数を$n_p,n_q$とする。$n_q\mid p$かつ$n_q\equiv1\pmod q$であり$p<q$なので、$n_q=1$である。したがって Sylow$q$部分群$Q$は正規である。素数位数の群は巡回群なので$Q\cong C_q$である。 Sylow$p$部分群$P$の位数は$p$であるから、非単位元は$P$を生成する。したがって$P\cong C_p$である。

$P\cap Q=\{e_G\}$であり、

なので$G=QP$である。各元は$qp$、$q\in Q,\ p\in P$と一意に書かれる。$Q$の正規性により、共役は準同型

を定める。この作用に対する積

は$G$における積と一致する。したがって$G\cong Q\rtimes_\alpha P$である。

$p\nmid(q-1)$の場合、準同型$\alpha$の像の位数は$p$の約数である一方、$|\operatorname{Aut}(Q)|=q-1$も割る。したがって像は自明である。ゆえに$P$と$Q$は互いに可換し、$G\cong C_q\times C_p$となる。$C_q\times C_p$の二つの標準生成元の組は位数$\operatorname{lcm}(q,p)=pq$をもつので、$G\cong C_{pq}$である。

$p\mid(q-1)$の場合を考える。自明な作用は前段と同じ巡回群を与える。前の補題により$\operatorname{Aut}(C_q)$には位数$p$の部分群が存在するので、非自明な準同型$C_p\to\operatorname{Aut}(C_q)$が存在し、非自明な半直積も存在する。

非自明な準同型$C_p\to\operatorname{Aut}(C_q)$の核は$C_p$の真の部分群なので自明であり、その像は位数$p$である。前の補題により像は一意である。二つの非自明な作用$\alpha,\beta$を取ると、$C_p$のある自己同型$\tau$が存在して$\beta=\alpha\circ\tau$となる。このとき

は同型である。したがって非自明な半直積の同型型は一つだけである。非自明な半直積は非可換であるから、巡回群とは同型でない。以上により二つの同型型を得る。▨