§D3.22次元が有限でない空間の内積と正射影

証明.$\mathbb{R}[x]$について示す。$f_1, \dots, f_m \in \mathbb{R}[x]$を有限個の多項式とする。$f_i$が$\vec 0$でないとき、$a_n \ne 0$を満たす最大の$n$を$f_i$の次数といい、$\deg f_i$と書く。$N$を、$\vec 0$でない$f_i$の次数の最大値とする（すべてが$\vec 0$ならば$N = 0$とする）。一次結合$\sum_i c_i f_i$の第$n$成分は$\sum_i c_i (f_i)_n$であり、$n > N$のとき$(f_i)_n = 0$であるから$0$である。したがって$\operatorname{span}\{f_1, \dots, f_m\}$に属する多項式は、第$N+1$成分以降がすべて$0$である。ところが$x^{N+1}$は第$N+1$成分が$1$であるから、この張る空間に属さない。よって$\operatorname{span}\{f_1,\dots,f_m\} \ne \mathbb{R}[x]$であり、$\mathbb{R}[x]$は有限生成でない。

$C[0,1]$について示す。$m$を任意の正の整数とし、$k = 1, \dots, m+1$に対し$a_k = \dfrac{1}{k+1}$、$b_k = \dfrac1k$、$p_k = \dfrac{a_k + b_k}{2}$とおき、関数$g_k \in C[0,1]$を

と定める。絶対値と$\max$は連続関数から連続関数を作るので$g_k$は連続であり、$g_k(t) \ne 0$となるのは$a_k < t < b_k$のときに限る。$g_k(p_k) = 1$である。区間$(a_k, b_k)$は$k$が異なれば互いに交わらない。

$g_1, \dots, g_{m+1}$が一次独立であることを示す。$\sum_{k} c_k g_k = 0$とし、$j$を任意に取る。両辺の$t = p_j$における値を見ると、$k \ne j$については$p_j \notin (a_k, b_k)$であるから$g_k(p_j) = 0$であり、$c_j g_j(p_j) = c_j = 0$を得る。$j$は任意であるから、すべての$c_j$が$0$である。

いま$C[0,1]$が有限生成であると仮定し、$m$個のベクトルが生成するとする。上で作った$g_1, \dots, g_{m+1}$は一次独立な$m+1$本のベクトルであるから、§D3.8 補題 3.1により$m+1 \le m$となって矛盾する。よって$C[0,1]$は有限生成でない。▨

証明.§D3.14 定理 2.1の構成式は、$\vec e_m$を$\vec v_1, \dots, \vec v_m$だけから定めており、$m$より後の項に依存しない。したがって、各$m$について$\vec v_1, \dots, \vec v_m$に§D3.14 定理 2.1を適用して得られる$\vec e_1, \dots, \vec e_m$は、$m$を大きくしても前の項が変わらない。こうして得られる列$\vec e_1, \vec e_2, \dots$は、どの二つを取っても§D3.14 定理 2.1の結論により直交し、各項のノルムが$1$である。張る空間の一致も同定理の結論である。▨

証明. 1について。$\varphi(f)$は$f$の成分の有限個の和であるから、和と実数倍について$\varphi(f+g) = \varphi(f)+\varphi(g)$、$\varphi(cf) = c\varphi(f)$が成り立ち、$\varphi$は線形である。$W = \operatorname{Ker}\varphi$が部分空間であることは§D3.10 命題 1.2による。$\varphi(x^0) = 1 \ne 0$であるから$x^0 \notin W$であり、$W \ne V$である。

2について。$i \ne j$とすると$\varphi(x^i - x^j) = 1 - 1 = 0$であるから$x^i - x^j \in W$である。$v = (v_0, v_1, \dots) \in W^{\perp}$を取ると、すべての$i, j$について

であるから、$v$の成分はすべて等しい。$v \in \mathbb{R}[x]$であるから$0$でない成分は有限個であり、成分がすべて等しいことと合わせると、すべての成分が$0$である。よって$v = \vec 0$であり、$W^{\perp} \subseteq \{\vec 0\}$である。逆の包含は明らかであるから$W^{\perp} = \{\vec 0\}$である。▨

証明. そのような$\vec p \in W$が存在すると仮定し、$\vec z = \vec u - \vec p$とおく。$\vec w \in W$と実数$t$を任意に取る。$\vec p + t\vec w \in W$であるから、仮定により

である。したがって、すべての実数$t$について$-2t\langle \vec z, \vec w\rangle + t^2\|\vec w\|^2 \ge 0$が成り立つ。$\vec w = \vec 0$のときは$\langle \vec z,\vec w\rangle = 0$であるから$\vec w \ne \vec 0$としてよい。$t = \langle \vec z,\vec w\rangle / \|\vec w\|^2$と取ると左辺は$-\langle \vec z,\vec w\rangle^2/\|\vec w\|^2$となり、$\langle \vec z,\vec w\rangle \ne 0$ならばこれは負である。これは矛盾であるから$\langle \vec z, \vec w\rangle = 0$である。$\vec w$は任意であったから$\vec z \in W^{\perp} = \{\vec 0\}$、すなわち$\vec u = \vec p \in W$である。ところが定理 3.2の1の証明で見たとおり$\vec u = x^0 \notin W$である。矛盾により、そのような$\vec p$は存在しない。▨