§D3.3逆行列

証明.$B$と$C$をともに$n$次実正方行列とし、$AB = BA = I_n$と$AC = CA = I_n$が成り立つとする。§D3.1 命題 3.7により$B = BI_n$であり、$I_n = AC$であるから$B = B(AC)$である。§D3.1 定理 4.1により$B(AC) = (BA)C$であり、$BA = I_n$であるから$(BA)C = I_nC$である。ふたたび§D3.1 命題 3.7により$I_nC = C$であるから、$B = C$である。▨

証明.(1)を示す。§D3.1 定理 4.1と§D3.1 命題 3.7により

であり、同じ二つの結果により

である。よって$AB$は正則であり、命題 1.2により$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$である。

(2)を示す。$A^{-1}A = AA^{-1} = I_n$が成り立つから、$A^{-1}$は正則であって$A$はその逆行列である。命題 1.2により$(A^{-1})^{-1} = A$である。

(3)を示す。§D3.1 定義 3.6により$I_n$の$(i, j)$成分は$\delta_{ij}$であり、$\delta_{ij} = \delta_{ji}$であるから、§D3.1 定義 7.1と§D3.1 定義 1.1により$I_n^\top = I_n$である。§D3.1 命題 7.2 (3)により

である。よって$A^\top$は正則であり、命題 1.2により$(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top$である。▨

証明. 有限回の行基本変形の列を一つ固定する。§D3.2 定義 2.1の三種類の操作はいずれも、行の番号と実数の係数だけで定まる仕方で各成分に作用し、どの列についても同じ形をとる。したがって、行列からいくつかの列を選んで取り出し並べた行列へ固定した変形の列を施した結果は、変形後の行列から同じ列を取り出して並べた行列に等しい。とくに、第$1$列から第$n$列までを取り出すと、同じ変形の列は$A$を$A'$へ移す。

$A'=I_n$とする。$1\le k\le p$を満たす$k$をとる。第$1$列から第$n$列までと第$n+k$列を取り出すと、同じ変形の列は$[A\mid C_{(k)}]$を$[I_n\mid C'_{(k)}]$へ移す。§D3.2 命題 2.3により$A\vec x=C_{(k)}$の解集合と$I_n\vec x=C'_{(k)}$の解集合は一致し、§D3.1 命題 3.7により$C'_{(k)}$は後者の解であるから、$AC'_{(k)}=C_{(k)}$である。§D3.1 命題 3.5 (1)により$(AC')_{(k)}=AC'_{(k)}=C_{(k)}$であり、$k$は任意であったから、§D3.1 定義 1.1により$AC'=C$である。▨

証明.$n$次実正方行列$M$と$1 \le k \le n$を満たす$k$に対し、$M$の第$k$列を$\mathbb{R}^n$の元とみなしたものを$M_{(k)}$と書く。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$A$を正則とし、$\vec x \in \mathbb{R}^n$を$A\vec x = \vec 0$の解とする。両辺に左から$A^{-1}$を掛けると$A^{-1}(A\vec x) = A^{-1}\vec 0$である。§D3.1 定理 4.1により左辺は$(A^{-1}A)\vec x = I_n\vec x$に等しく、§D3.1 命題 3.7によりこれは$\vec x$である。右辺は、§D3.1 定義 3.1により各成分が$0$であるから$\vec 0$である。よって$\vec x = \vec 0$である。$\vec 0$は$A\vec x = \vec 0$の解であるから、解は$\vec 0$のみである。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$R$は$A$に有限回の行基本変形を続けて得られる簡約階段形であるから、§D3.2 系 4.2 (1)$\Rightarrow$(3)を$A$と$R$へ適用すると$R = I_n$を得る。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。$R$の取り方により、有限回の行基本変形を続けて$A$を$R$へ変形することができる。$R = I_n$であるから、有限回の行基本変形を続けて$A$を$I_n$へ変形することができる。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。有限回の行基本変形を続けて$A$を$I_n$へ変形することができるとし、その行基本変形の列を一つ固定する。

はじめに(2)を導く。固定した変形の列を$[A\mid\vec0]$に施して得られる行列を$[A'\mid\vec c]$と書く。補題 2.1により同じ変形の列は$A$を$A'$へ移すので、$A'=I_n$である。また、すべての成分が$0$である列は各行基本変形によって同じ列へ移るから、$\vec c=\vec0$である。したがって$[A\mid\vec0]$は$[I_n\mid\vec0]$へ移り、§D3.2 命題 2.3により$A\vec x=\vec0$の解集合と$I_n\vec x=\vec0$の解集合は一致する。§D3.1 命題 3.7により後者は$\vec0$のみであるから、前者も$\vec0$のみである。

次に、固定した変形の列を$[A\mid I_n]$に施して得られる行列を$[A'\mid B]$と書く。補題 2.1により同じ変形の列は$A$を$A'$へ移すので$A'=I_n$であり、同じ補題により$AB=I_n$である。

最後に$BA = I_n$を示す。§D3.1 定理 4.1と§D3.1 命題 3.7により$A(BA) = (AB)A = I_nA = A$である。$1 \le k \le n$を満たす$k$を取り、$\vec u := (BA)_{(k)}$、$\vec v := (I_n)_{(k)}$とおくと、§D3.1 命題 3.5 (1)により

である。$\vec w := \vec u + (-1)\vec v$とおくと、§D3.1 定理 4.2 (1)と§D3.1 定理 4.2 (3)により$A\vec w = A\vec u + (-1)(A\vec v)$であり、$A\vec u = A\vec v$であるから、§D3.1 定義 2.1によりその各成分は$0$であって$A\vec w = \vec 0$である。すでに導いた(2)により$\vec w = \vec 0$である。§D3.1 定義 2.1により$\vec w$の第$i$成分は$\vec u$の第$i$成分と$\vec v$の第$i$成分の$-1$倍との和であるから、$\vec u$と$\vec v$のすべての成分が一致し、§D3.1 定義 1.1により$\vec u = \vec v$である。$k$は$1$から$n$の任意であったから、ふたたび§D3.1 定義 1.1により$BA = I_n$である。$AB = BA = I_n$が成り立つので、$A$は正則である。

(1)$\Rightarrow$(6)を示す。$A$が正則であるとき$B := A^{-1}$とおけば$BA = I_n$である。

(6)$\Rightarrow$(1)を示す。$BA = I_n$を満たす$n$次実正方行列$B$を取り、$\vec x \in \mathbb{R}^n$を$A\vec x = \vec 0$の解とする。§D3.1 命題 3.7と§D3.1 定理 4.1により$\vec x = I_n\vec x = (BA)\vec x = B(A\vec x) = B\vec 0$であり、§D3.1 定義 3.1により$B\vec 0$の各成分は$0$であるから$\vec x = \vec 0$である。よって(2)が成り立ち、すでに示した三つの含意により(3)、(4)、(1)が順に従う。

(1)$\Leftrightarrow$(5)は演習とする（問題 5.2）。▨

証明.$[A \mid I_n]$を$[R \mid S]$へ移す行基本変形の列を一つ固定する。補題 2.1により、同じ変形の列は$A$を$R$へ移す。

$R$が簡約階段形であることを示す。$[R \mid S]$は簡約階段形であるから、§D3.2 定義 3.1 条件 (a)により零行は下に集まり、§D3.2 定義 3.1 条件 (b)により主成分の列番号は行の番号について増加する。よって$[R \mid S]$の行は、主成分の列番号が$n$以下である行、主成分の列番号が$n+1$以上である行、零行の順に並ぶ。第一の種類の行から第$1$列から第$n$列までを取り出した部分は、$[R \mid S]$における主成分と同じ位置に同じ値をもち、それより左の成分は$0$であるから、零行でなく主成分の列番号も変わらない。第二と第三の種類の行から同じ部分を取り出すと零行である。したがって$R$は§D3.2 定義 3.1 条件 (a)と§D3.2 定義 3.1 条件 (b)を満たす。$R$の零行でない行の主成分は$[R \mid S]$の対応する行の主成分であるから§D3.2 定義 3.1 条件 (c)により$1$であり、その列番号を$j$とすると、$[R \mid S]$の第$j$列は主成分以外の成分がすべて$0$である（§D3.2 定義 3.1 条件 (d)）から、$R$の第$j$列についても同じことが成り立つ。よって$R$は簡約階段形である。

$R$は$A$に有限回の行基本変形を続けて得られる簡約階段形であるから、定理 2.2 (1)$\Leftrightarrow$(3)を$A$と$R$へ適用すると、$A$が正則であることと$R = I_n$であることは同値である。

$A$が正則であるとする。いま示したことから$R = I_n$である。補題 2.1により$AS=I_n$である。よって§D3.1 定理 4.1と§D3.1 命題 3.7により

である。▨

証明.$ad - bc \ne 0$とし、$B := \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$とおく。§D3.1 定義 3.1と§D3.1 定理 4.2 (3)により

であり、同じ二つの結果により

である。よって$A$は正則であり、命題 1.2により$A^{-1} = B$である。

$ad - bc = 0$とする。$A\vec x = \vec 0$を満たす$\mathbb{R}^2$の元$\vec x$であって$\vec 0$と異なるものを、場合に分けて与える。$(a, b) \ne (0, 0)$のとき、第$1$成分が$-b$、第$2$成分が$a$である$\vec x$を取ると$\vec x \ne \vec 0$であり、§D3.1 定義 3.1により$A\vec x$の第$1$成分は$a(-b) + ba = 0$、第$2$成分は$c(-b) + da = ad - bc = 0$である。$(a, b) = (0, 0)$かつ$(c, d) \ne (0, 0)$のとき、第$1$成分が$-d$、第$2$成分が$c$である$\vec x$を取ると$\vec x \ne \vec 0$であり、$A\vec x$の第$1$成分は$0\cdot(-d) + 0\cdot c = 0$、第$2$成分は$c(-d) + dc = 0$である。$(a, b) = (0, 0)$かつ$(c, d) = (0, 0)$のとき、第$1$成分が$1$、第$2$成分が$0$である$\vec x$を取ると$\vec x \ne \vec 0$であり、$A$のすべての成分が$0$であるから$A\vec x = \vec 0$である。いずれの場合も$A\vec x = \vec 0$は$\vec 0$と異なる解をもつので、定理 2.2 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$A$は正則でない。▨