§D3.4行列式

証明.$p \ne q$を固定し、第$p$行と第$q$行の双方に$\vec x + \vec y$を置いた行列を考える。二つの行が等しいので、定義 2.1 条件 (b)より値は$0$である。第$p$行と第$q$行のそれぞれについて定義 2.1 条件 (a)で展開すると

となる。右辺の第1項と第4項は二つの行が等しいので$0$である。したがって

であり、第$p$行と第$q$行を入れ替えると符号が変わる。▨

証明.(1)を示す。$\sigma$は全単射なので、対応$\{i, j\} \mapsto \{\sigma(i), \sigma(j)\}$は$\{1, \dots, n\}$の2元部分集合全体の上の全単射である。したがって

であり、両辺は$0$でないから$|\operatorname{sgn}(\sigma)| = 1$である。

(2)を示す。比$(\sigma(l) - \sigma(k)) / (l - k)$は$k$と$l$を入れ替えても変わらないので、 2元部分集合$\{k, l\}$だけで決まる。この値を$R_\sigma(\{k, l\})$と書くと$\operatorname{sgn}(\sigma) = \prod_{\{k, l\}} R_\sigma(\{k, l\})$である。ここで

であり、$\{i, j\} \mapsto \{\tau(i), \tau(j)\}$が2元部分集合全体の上の全単射であることから、すべての2元部分集合にわたる積をとると$\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$を得る。$\sigma\sigma^{-1} = \mathrm{id}$と$\operatorname{sgn}(\mathrm{id}) = 1$および(1)から、$\operatorname{sgn}(\sigma^{-1}) = \operatorname{sgn}(\sigma)$が従う。

(3)を示す。まず隣接する二つの数の互換$\rho = (k\;k+1)$を考え、$\operatorname{sgn}(\rho) = \prod_{\{i, j\}} R_\rho(\{i, j\})$を2元部分集合の種類ごとに分けて計算する。

• $\{k, k+1\}$：因子は$(\rho(k+1) - \rho(k))/((k+1) - k) = (k - (k+1))/1 = -1$である。
• $k$と$k+1$のどちらも含まない2元部分集合：$\rho$は両方の数を動かさないので因子は$1$である。
• $k$と$k+1$のちょうど一方を含む2元部分集合：$i < k$について$\{i, k\}$と$\{i, k+1\}$が組になり、因子の積は $$\frac{(k+1) - i}{k - i}\cdot\frac{k - i}{(k+1) - i} = 1$$ である。$j > k+1$について$\{k, j\}$と$\{k+1, j\}$が組になり、因子の積は $$\frac{j - (k+1)}{j - k}\cdot\frac{j - k}{j - (k+1)} = 1$$ である。この2種類の組で、一方だけを含む2元部分集合はすべて尽くされる。

したがって$\operatorname{sgn}((k\;k+1)) = -1$である。次に$p < q$について

と、隣接互換$2(q - p) - 1$個の積で表す。(2)により$\operatorname{sgn}((p\;q)) = (-1)^{2(q-p)-1} = -1$である。

(4)を示す。$\sigma$が動かす点の個数$m = \#\{k : \sigma(k) \ne k\}$についての帰納法による。$m = 0$なら$\sigma = \mathrm{id}$で、$0$個の互換の積である。$m > 0$とし、$\sigma(k) = l \ne k$となる$k$をとる。$\tau = (k\;l)$とおくと$\tau\sigma$は$k$を固定する。また$\sigma$が固定する点は$\tau\sigma$も固定する（$\sigma(j) = j$かつ$j \ne k, l$なら$\tau\sigma(j) = j$であり、$j = l$は$\sigma(k) = l \ne l$と全単射性から$\sigma$が固定しない）。よって$\tau\sigma$が動かす点の個数は$m$より真に小さく、帰納法の仮定から$\tau\sigma$は互換の積である。$\tau^{-1} = \tau$なので$\sigma = \tau(\tau\sigma)$も互換の積である。符号については、(2)と(3)から$r$個の互換の積の符号が$(-1)^r$になる。$\operatorname{sgn}(\sigma)$は表し方によらない値なので、$r$の偶奇も表し方によらない。▨

証明.$\vec e_1, \dots, \vec e_n$を$\mathbb{K}^n$の標準基底とすると、$A$の第$i$行は$\vec a_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \vec e_j$と書くことができる。定義 2.1 条件 (a)を各行について順に用いて展開すると

となる。$j_1, \dots, j_n$のうち二つが等しい項では、対応する二つの行が等しいので定義 2.1 条件 (b)により$F(\vec e_{j_1}; \dots; \vec e_{j_n}) = 0$である。したがって残るのは、$i \mapsto j_i$が全単射である項、すなわち$j_i = \sigma(i)$となる置換$\sigma \in S_n$に対応する項だけである。

$\sigma$を命題 3.3 (4)により$r$個の互換の積として表す。行の入れ替えを$r$回行うと$(\vec e_{\sigma(1)}; \dots; \vec e_{\sigma(n)})$を$(\vec e_1; \dots; \vec e_n) = I$へ移すことができ、補題 2.2により1回ごとに符号が変わるので

である。以上を代入すると主張の等式を得る。▨

証明. 一意性と最後の主張は定理 4.1から従う。実際、3条件を満たす$D$について$F = D$とすると、定義 2.1 条件 (c)により$D(I) = 1$であるから、定理 4.1の等式は式 (4.2.1)に一致する。

存在を示すため、式 (4.2.1)の右辺を$\Delta(A)$とおく。

定義 2.1 条件 (a)を示す。各項$a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}$は、各行から成分をちょうど一つずつ取った積である。したがって第$k$行の成分$a_{k\sigma(k)}$について1次であり、他の行の成分を含む因子は第$k$行を動かしても変わらない。よって$\Delta$は第$k$行について線形である。

定義 2.1 条件 (c)を示す。$A = I$のとき$a_{i\sigma(i)}$は$\sigma(i) = i$のとき$1$、そうでなければ$0$である。積が$0$でないのは$\sigma = \mathrm{id}$の項だけで、その値は$\operatorname{sgn}(\mathrm{id}) = 1$である。よって$\Delta(I) = 1$である。

定義 2.1 条件 (b)を示す。$p \ne q$かつ第$p$行と第$q$行が等しいとする。すなわちすべての$j$について$a_{pj} = a_{qj}$である。$\tau = (p\;q)$とおくと、$\sigma \mapsto \sigma\tau$は$S_n$の全単射であり、$\sigma\tau \ne \sigma$である。この対応で移り合う二つの項を比べる。$\sigma\tau$は$p$を$\sigma(q)$へ、$q$を$\sigma(p)$へ移し、他の$i$では$\sigma$と一致するので

となる。2つめの等号で$a_{pj} = a_{qj}$を用いた。一方$\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = -\operatorname{sgn}(\sigma)$である。したがって$S_n$を$\{\sigma, \sigma\tau\}$という対に分けると、各対の寄与は打ち消し合い$\Delta(A) = 0$を得る。▨

証明.(1)は補題 2.2にほかならない。(2)は、定義 2.1 条件 (a)において$\vec y = \vec x$、$\alpha = c$、$\beta = 0$とした場合である。(3)を示す。第$p$行に第$q$行（$q \ne p$）の$c$倍を加えた行列の行列式は、第$p$行についての線形性から

である。右辺の第2項は、第$p$行と第$q$行がともに$\vec a_q$である行列の行列式なので、定義 2.1 条件 (b)により$0$である。▨

証明.$A$が上三角であるとする。式 (4.2.1)の項$a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}$が$0$でないためには、すべての$i$について$\sigma(i) \ge i$が必要である。ところが$\sum_{i=1}^n \sigma(i) = \sum_{i=1}^n i$なので、すべての$i$で$\sigma(i) \ge i$が成り立つならすべての$i$で等号、すなわち$\sigma = \mathrm{id}$である。よって残る項は$a_{11}\cdots a_{nn}$のみである。下三角の場合も、$\sigma(i) \le i$として同じ議論による。▨

証明.$A^\top$の$(i, j)$成分は$a_{ji}$なので、式 (4.2.1)から

各項で$k = \sigma(i)$と置き換えると$i = \sigma^{-1}(k)$であり、積は因子の順序によらないので

である。また命題 3.3 (2)から$\operatorname{sgn}(\sigma) = \operatorname{sgn}(\sigma^{-1})$であり、$\sigma \mapsto \sigma^{-1}$は$S_n$の全単射である。したがって$\tau = \sigma^{-1}$と書き換えると

▨

証明. 列に関する操作は、転置した行列の行に関する同じ操作である。命題 6.1により行列式の値は転置で変わらないので、定義 2.1と命題 5.1の各主張がそのまま列についても成り立つ。▨

証明. 第$i$行について示す。$\vec a_i = \sum_j a_{ij}\vec e_j$と書き、第$i$行についての線形性を使うと

となる。$D_{ij} = (-1)^{i+j}\det M_{ij}$を示せばよい。

$D_{ij}$の行列で、第$i$行を隣接する行と$i-1$回入れ替えて第1行へ移し、続いて第$j$列を隣接する列と$j-1$回入れ替えて第1列へ移す。行の入れ替えは補題 2.2、列の入れ替えは系 6.2により、1回ごとに符号が変わる。これらの入れ替えは、除かれる行と列以外の行・列の相対的な順序を変えないので、得られる行列は

の形であり

となる。ここで$\vec c \in \mathbb{K}^{n-1}$は第1列の残りの成分である。$C$の第1行は$(1, 0, \dots, 0)$なので、$k \ge 2$について第$k$行から第1行の$c_{k-1}$倍を引くと、命題 5.1 (3)により行列式は変わらず、第1列は$\vec c = \vec 0$となる。すなわち

最後に、$n-1$次正方行列$X$に対して

と定めると、$G$は$X$の各行について線形であり、$X$の二つの行が等しければ値は$0$である。さらに$G(I_{n-1}) = \det I_n = 1$である。よって$G$は$n-1$次の行列式の3条件を満たすので、定理 4.2の一意性から$G(X) = \det X$である。したがって$\det C = \det M_{ij}$、すなわち$D_{ij} = (-1)^{i+j}\det M_{ij}$を得る。

列についての展開は、命題 6.1を用いて$A^\top$の行についての展開へ帰着する。$A^\top$の$(j, i)$余因子は$A$の$(i, j)$余因子に等しいので、主張の形になる。▨

証明.$A\widetilde{A}$の$(i, k)$成分は$\sum_{j} a_{ij} A_{kj}$である。$i = k$のときは定理 7.2の第$i$行についての展開そのもので、値は$\det A$である。

$i \ne k$とする。$A$の第$k$行を第$i$行で置き換えた行列を$A'$とおく。$A'$の第$k$行以外の行は$A$と同じであり、$(k, j)$余因子は第$k$行を除いて作るので、$A'$の$(k, j)$余因子は$A$の$(k, j)$余因子$A_{kj}$に等しい。$A'$を第$k$行について展開すると

である。一方$A'$は第$i$行と第$k$行がともに$\vec a_i$なので、定義 2.1 条件 (b)により$\det A' = 0$である。したがって$i \ne k$のとき$\sum_j a_{ij}A_{kj} = 0$であり、$A\widetilde{A} = (\det A) I$を得る。

$\widetilde{A}A$の$(i, k)$成分は$\sum_j \widetilde{A}_{ij} a_{jk} = \sum_j a_{jk} A_{ji}$である。$i = k$のときは定理 7.2の第$i$列についての展開そのもので、値は$\det A$である。$i \ne k$のときは、$A$の第$i$列を第$k$列で置き換えた行列を第$i$列について展開した式であり（第$i$列を除いて作る余因子は置き換えで変わらない）、その行列は第$i$列と第$k$列が等しいので、系 6.2により行列式は$0$である。よって$\widetilde{A}A = (\det A) I$も成り立つ。▨

証明.$EA$の$(i,j)$成分は行列の積の定義により$\sum_{k=1}^n e_{ik}a_{kj}$であるから、$EA$の第$i$行は、$E$の第$i$行の成分$e_{i1}, \dots, e_{in}$を係数とする$A$の第$1$行から第$n$行までの一次結合である。3種類それぞれについて$E$の行を調べる。

• $P_{pq}$の第$p$行は$\vec e_q$、第$q$行は$\vec e_p$、それ以外の第$i$行は$\vec e_i$である。よって$P_{pq}A$は$A$の第$p$行と第$q$行を入れ替えた行列である。
• $D_p(c)$の第$p$行は$c\,\vec e_p$、それ以外の第$i$行は$\vec e_i$である。よって$D_p(c)A$は$A$の第$p$行を$c$倍した行列である。
• $N_{pq}(c)$の第$p$行は$\vec e_p + c\,\vec e_q$、それ以外の第$i$行は$\vec e_i$である。よって$N_{pq}(c)A$は$A$の第$p$行に第$q$行の$c$倍を加えた行列である。

行列式の値は、$E = EI$とみて上の作用を単位行列へ適用し、$\det I = 1$と命題 5.1 (1)、命題 5.1 (2)、命題 5.1 (3)をそれぞれ用いれば得られる。▨

証明.$B$を固定し、$F(A) = \det(AB)$と定める。行列の積の定義により、$AB$の第$i$行は$A$の第$i$行$\vec a_i$を用いて$\vec a_i B$と書くことができる。写像$\vec x \mapsto \vec x B$は線形なので、$F$は$A$の各行について線形である。また$A$の第$p$行と第$q$行が等しければ、$AB$の第$p$行と第$q$行も等しいので、定義 2.1 条件 (b)により$F(A) = \det(AB) = 0$である。よって$F$は交代多重線形形式であり、定理 4.2から

を得る。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$n = 1$のとき$A = (a)$と書くと$\det A = a \ne 0$であり、$H = (a^{-1})$が$AH = HA = I$を満たす。$n \ge 2$のとき、定理 7.4の$A\widetilde{A} = \widetilde{A}A = (\det A)I$の両辺を$\det A \ne 0$で割ると、$H = (\det A)^{-1}\widetilde{A}$が$AH = HA = I$を満たす。