§D3.19ペロン・フロベニウスの定理と定常分布

証明.$\vec x \in \Delta$は$\vec x \ge \vec 0$かつ$\vec x \ne \vec 0$を満たすから、$A > O$より$A\vec x > \vec 0$であり$\|A\vec x\|_1 > 0$である。よって$T(\vec x)$は定まり、成分は正で和が$1$であるから$T(\vec x) \in \Delta$である。また$\alpha = \min_{k,l} a_{kl} > 0$とおくと、$(A\vec x)_i \ge \alpha \sum_j x_j = \alpha$かつ$x_i \le 1$であるから$t = f(\vec x) \ge \alpha > 0$であり、これが1である。

2について。$\vec z = \vec 0$は$A\vec x = t\vec x$にほかならない。このとき$\|A\vec x\|_1 = t\sum_i x_i = t$であるから$T(\vec x) = A\vec x / t = \vec x$である。

3について。$\vec z \ge \vec 0$かつ$\vec z \ne \vec 0$であるから、$A > O$より$A\vec z > \vec 0$である。$\vec y = A\vec x$とおくと$A\vec z = A\vec y - t\vec y > \vec 0$、すなわち$A\vec y > t\vec y$である。$s = \|\vec y\|_1 > 0$で割ると$A T(\vec x) > t\,T(\vec x)$となる。$T(\vec x)$の成分はすべて正であるから、各$i$について$(A T(\vec x))_i / T(\vec x)_i > t$であり、$f(T(\vec x)) > t$を得る。▨

証明.$\alpha = \min_{k,l}a_{kl} > 0$、$M = \max_j \sum_i a_{ij}$、$c = \alpha / M$とおき

とする。$\vec x \in \Delta$に対し$(A\vec x)_i \ge \alpha$かつ$\|A\vec x\|_1 = \sum_j\left(\sum_i a_{ij}\right)x_j \le M$であるから$T(\vec x) \in \Delta_c$である。とくに$\Delta_c$は空でない。$\Delta_c$は有限個の不等式と1本の等式で定まるので閉じており、$\Delta$に含まれるので有界である。$\Delta_c$の上では各成分が$c > 0$以上であるから、$(A\vec x)_i / x_i$は連続であり、$f$は有限個の連続関数の最小値として連続である。定理 1.4より、$f$は$\Delta_c$で最大値をとる。その最大値を$\lambda$、最大値を与える点を$\vec v$とする。$\vec v \in \Delta_c$より$\vec v > \vec 0$であり、補題 1.3の1より$\lambda \ge \alpha > 0$である。

$\lambda$が$\Delta$全体でも$f$の最大値であることを示す。$\vec x \in \Delta$に対し$T(\vec x) \in \Delta_c$であり、補題 1.3の2と3より$f(T(\vec x)) \ge f(\vec x)$であるから$f(\vec x) \le f(T(\vec x)) \le \lambda$である。

1を示す。$\vec z = A\vec v - \lambda\vec v$とおく。$\vec z \ne \vec 0$とすると、補題 1.3の3より$T(\vec v) \in \Delta_c$について$f(T(\vec v)) > \lambda$となり、$\lambda$が$\Delta_c$での最大値であることに反する。よって$A\vec v = \lambda\vec v$であり、$\vec v > \vec 0$である。

2を示す。$\mu$を固有値、$\vec w \in \mathbb{C}^n$を$A\vec w = \mu\vec w$を満たす$\vec 0$でないベクトルとし、$|\vec w|$を成分が$|w_i|$であるベクトルとする。各$i$について

であるから$A|\vec w| \ge |\mu|\,|\vec w|$である。$\vec u = |\vec w| / \||\vec w|\|_1 \in \Delta$とおくと$f(\vec u) \ge |\mu|$であり、上で示したことから$|\mu| \le \lambda$である。

$|\mu| = \lambda$と仮定する。$f(\vec u) \ge \lambda$と$f(\vec u) \le \lambda$から$f(\vec u) = \lambda$であり、補題 1.3の3を$\vec u$に適用すると、$A\vec u - \lambda\vec u \ne \vec 0$は$f(T(\vec u)) > \lambda$を導いて矛盾する。よって$A\vec u = \lambda\vec u$であり、$\vec u = A\vec u/\lambda > \vec 0$、すなわちすべての$j$について$|w_j| > 0$である。さらに、各$i$について上の不等式が等号で成り立つ。

複素数についての等号の条件を用いる。複素数$c_1, \dots, c_n$について$\left|\sum_j c_j\right| \le \sum_j |c_j|$であり、等号が成り立つのは、絶対値が$1$の複素数$\zeta$と$0$以上の実数$t_j$によって$c_j = t_j\zeta$と書けるときに限る。実際、$\sum_j c_j \ne 0$のとき$\zeta = \sum_j c_j / \left|\sum_j c_j\right|$とおくと$\left|\sum_j c_j\right| = \sum_j \operatorname{Re}(\overline{\zeta}c_j) \le \sum_j |c_j|$であり、等号は各$j$について$\operatorname{Re}(\overline{\zeta}c_j) = |c_j|$、すなわち$\overline{\zeta}c_j$が$0$以上の実数であることと同値である。$\sum_j c_j = 0$のときは、等号はすべての$c_j$が$0$であることを意味する。

$c_j = a_{ij}w_j$に適用すると、$a_{ij} > 0$かつ$|w_j| > 0$より$c_j \ne 0$であるから、すべての$j$について$w_j$は$\zeta$の正の実数倍である。すなわち$\vec w = \zeta\,|\vec w|$である。$A\vec w = \mu\vec w$に代入して$\zeta A|\vec w| = \mu \zeta |\vec w|$、したがって$A|\vec w| = \mu|\vec w|$を得る。一方$A|\vec w| = \lambda|\vec w|$であり$|\vec w| \ne \vec 0$であるから$\mu = \lambda$である。よって$\mu \ne \lambda$ならば$|\mu| < \lambda$である。

3を示す。まず$\vec y \in \mathbb{R}^n$が$A\vec y = \lambda\vec y$を満たすとする。$t = \min_i (y_i / v_i)$とおくと、$\vec v > \vec 0$より$\vec y - t\vec v \ge \vec 0$であり、最小値を与える添字$i_0$について$(\vec y - t\vec v)_{i_0} = 0$である。$\vec y - t\vec v \ne \vec 0$とすると$A(\vec y - t\vec v) > \vec 0$であるが、$A(\vec y - t\vec v) = \lambda(\vec y - t\vec v)$の第$i_0$成分は$0$であり、矛盾する。よって$\vec y = t\vec v$である。次に$\vec y \in \mathbb{C}^n$が$A\vec y = \lambda\vec y$を満たすとする。$A$と$\lambda$は実であるから、実部と虚部のそれぞれが同じ等式を満たし、いずれも$\vec v$の実数倍である。よって$\vec y$は$\vec v$の複素数倍であり、固有空間は$1$次元である。▨

証明.$A^\top$も正の行列であるから、定理 2.1を適用して、$\lambda' > 0$と$\vec w > \vec 0$で$A^\top \vec w = \lambda'\vec w$を満たすものが取れる。$\vec v$を$A$のペロンベクトルとすると

であり、$\vec w > \vec 0$かつ$\vec v > \vec 0$より$\vec w^{\top}\vec v > 0$であるから$\lambda' = \lambda$である。これが1である。

2については、同じ計算を$\vec x$について行えばよい。$\lambda\,\vec w^{\top}\vec x = (A^\top\vec w)^{\top}\vec x = \vec w^{\top}(A\vec x) = \mu\,\vec w^{\top}\vec x$であり$\vec w^{\top}\vec x > 0$であるから$\mu = \lambda$である。▨

証明.$P^\top$は正の行列であり$P^\top\mathbf{1} = \mathbf{1}$、$\mathbf{1} > \vec 0$であるから、補題 2.2の2を$P^\top$に適用して、$P^\top$のペロン根は$1$である。同補題の1より、$P$のペロン根も$1$である。

定理 2.1の1より$P\vec v = \vec v$、$\vec v > \vec 0$を満たす$\vec v$が存在する。$\pi = \vec v / \|\vec v\|_1$とおくと$\pi \in \Delta$、$\pi > \vec 0$、$P\pi = \pi$である。

一意性を示す。$\pi'$を定常分布とすると、$\pi'$は固有値$1$の固有ベクトルであり、定理 2.1の3より$\pi' = t\pi$と書ける。両辺の成分の和を取ると$1 = t$であるから$\pi' = \pi$である。▨

証明. まず$n\delta \le \sum_i p_{i1} = 1$であるから$1 - n\delta \ge 0$であり、$\delta > 0$より$1 - n\delta < 1$である。

$d_i^{+} = \max(d_i, 0)$、$d_i^{-} = \max(-d_i, 0)$とおくと、$\vec d = \vec d^{+} - \vec d^{-}$であり、$\vec d^{+} \ge \vec 0$、$\vec d^{-} \ge \vec 0$である。$\sum_i d_i = 0$より$\sum_i d_i^{+} = \sum_i d_i^{-} =: s$であり、$\|\vec d\|_1 = 2s$である。$s = 0$ならば$\vec d = \vec 0$で主張は明らかであるから、$s > 0$とする。

$\vec a = P\vec d^{+}$、$\vec b = P\vec d^{-}$とおく。各列の成分の和が$1$であることから$\sum_i a_i = \sum_i b_i = s$である。また$a_i = \sum_j p_{ij}d_j^{+} \ge \delta s$であり、同様に$b_i \ge \delta s$である。$a_i, b_i \ge \delta s$を満たす実数について$|a_i - b_i| = a_i + b_i - 2\min(a_i, b_i) \le a_i + b_i - 2\delta s$であるから

となる。▨

証明.$P\pi = \pi$より$P^{k}\vec p - \pi = P^{k}(\vec p - \pi)$である。$\vec d = \vec p - \pi$は$\sum_i d_i = 1 - 1 = 0$を満たし、$P\vec d$の成分の和も$0$であるから、補題 4.1を$k$回繰り返して適用することができ、不等式を得る。$0 \le 1 - n\delta < 1$であるから$(1-n\delta)^{k}$は$0$へ収束し、$\|P^{k}\vec p - \pi\|_1 \to 0$である。各成分の差の絶対値は$\|\cdot\|_1$以下であるから、成分ごとにも収束する。▨