この単元は、三次元 Euclid 空間の中の曲線と曲面という、目で見て手で計算することのできる対象の上で、微分幾何の中心的な構造を作る。曲面には二種類の量がある。曲面がどのように空間へ入っているかを測る量と、曲面の上だけで生活する住人が測ることのできる量である。この単元は両者を分けて構成し、Gauss 曲率という一つの量が実は両方に属することを証明する。これが Gauss の驚異の定理であり、微分幾何が「空間に置かれた図形の学問」から「空間そのものの学問」へ変わる分岐点である。
もう一つの軸は、局所の量を積分すると大域の量になるという現象である。曲面の各点で定まる Gauss 曲率を曲面全体で積分すると、その値は曲面の位相だけで決まる。これが Gauss–Bonnet の定理であり、後の指数定理へつながる原型である。
三つ目の軸は第一変分である。測地線は長さとエネルギーの臨界点として、極小曲面は面積の臨界点として、同じ形の計算から現れる。発展ではこの構造を Dirichlet エネルギーへ広げ、調和写像と極小曲面が同じものの二つの顔であることを見る。
前提知識
- 多様体入門: 二次元埋め込み部分多様体と定数階数定理を曲面の定義に、微分形式と外積と外微分を構造方程式に、行列に値を持つ一次微分形式の可積分条件を曲面論の基本定理に、格子による平面の商を平坦な計量の例に用いる。
- 位相幾何入門: Euler 標数の定義と位相不変性および有限胞体複体の構造を大域 Gauss–Bonnet の定理に、円周の基本群と巻き数のホモトピー不変性を平面曲線の回転定理に用いる。
- 実解析 II: 多変数の連鎖律と二階偏微分の交換を基本形式の計算に、重積分と累次積分と変数変換を面積と第一変分に、線積分と平面の Green の定理を局所 Gauss–Bonnet の定理に用いる。
- 線形代数 II: 実内積空間の自己共役作用素のスペクトル定理を主曲率と主方向の存在に、対称双線形形式と正定値性を二つの基本形式の記述に、行列式を Gauss 曲率の表示に用いる。
- 常微分方程式: 解の局所存在と一意性を測地線に、連続な係数を持つ線形系の区間全体での一意解を Frenet 標構の復元と平行移動に用いる。
- 発展の計算実験と実装では、さらに数値解析 Iの一段法の局所打切り誤差と収束次数、および安定性を用いる。
- ε-論法と基礎解析の微積分学の基本定理と一様連続性、および線形代数 Iの行列式の乗法性を、弧長とベクトル積の議論に用いる。いずれも上に挙げた二つの単元の前段にある。
多様体入門と位相幾何入門は互いに独立であり、どちらも他方を前提としない。本単元は両方を前提とする最初の単元である。多様体入門は微分の言葉を、位相幾何入門は不変量を用意し、本単元がその両方を二次元の具体的な対象へ当てて計算する。
計量が最初に現れるのは本単元である。多様体入門は Riemann 計量を導入せず、座標のとり方に依らない可微分構造だけを扱う。本単元の第一基本形式は、三次元空間の内積を接平面へ制限して得られる誘導計量であり、計量が具体的な形で最初に現れる場所である。一般の Riemann 多様体の理論はRiemann 幾何 Iが扱う。
学ぶ順序とねらい
| 段階 | 主題 | この段階で新たにできること |
|---|---|---|
| 曲線と曲面の基本量 | 弧長、Frenet 標構、曲線論の基本定理、正則曲面と向き、第一基本形式、第二基本形式、主曲率と Gauss 曲率と平均曲率 | 曲線を曲率と捩率という二つの関数へ還元し、曲面を二つの基本形式へ還元して、標準的な曲面の曲率を実際に計算することができる |
| 共変微分・測地線・構造方程式 | 共変微分と平行移動、測地線と第一変分、Clairaut の関係式、直交標構と構造方程式、Gauss の驚異の定理、曲面論の基本定理 | 曲面の上だけで意味を持つ量と空間への入り方に依る量を区別し、Gauss 曲率が前者に属することを証明することができる。二つの基本形式から曲面を復元することができる |
| 大域定理と面積の第一変分 | 平面曲線の回転定理、局所 Gauss–Bonnet とホロノミー、大域 Gauss–Bonnet と Euler 標数、面積の第一変分と極小曲面 | 局所の曲率の積分が大域の位相不変量になることを証明し、閉曲面にどのような曲率が入りうるかを判定することができる。面積汎関数の臨界点として極小曲面を特徴づけることができる |
| 調和写像と可積分条件 | Dirichlet エネルギーと調和写像、負曲率曲面と sine–Gordon 方程式 | 測地線・極小曲面・調和写像を同じ第一変分の構造の三つの例として並べることができる。適合条件が非線形の偏微分方程式になる様子を、一つの具体例で追うことができる |
| 計算実験と実装 | Frenet 標構の数値積分、基本形式の記号計算、測地線と平行移動とホロノミー、角欠損、極小曲面と調和性、sine–Gordon 方程式の残差 | 本文の主張を、実行することのできるコードと、基準解・保存量・残差・収束表によって独立に検証することができる |
順序の理由は次のとおりである。曲線を先に扱うのは、曲率と捩率という二つの関数が曲線を合同変換を除いて決めるという事実が、後の曲面論の基本定理の縮小版になっているからである。第一基本形式を第二基本形式より先に置くのは、前者が後者なしに意味を持ち、逆は成り立たないからである。共変微分と測地線を構造方程式より先に置くのは、共変微分が第一基本形式だけで決まることを先に確立しておかないと、驚異の定理の証明が空回りするからである。回転定理を局所 Gauss–Bonnet の直前に独立して置くのは、その証明が平面曲線についての独立した内容を持ち、局所 Gauss–Bonnet の右辺が一周分の角度になる根拠のすべてを担っているからである。
各記事の内容
次の一覧は学習順に並んでいる。必修は16記事、発展は8記事である。「公開中」は、読者ページで本文を読むことができる記事を表す。「執筆予定」は、まだ本文が無い記事を表す。
曲線と曲面の基本量（必修）
- 正則曲線と弧長（公開中）正則なパラメータ曲線を定義し、パラメータの取り替えで長さが変わらないことを示す。弧長を速度の大きさの積分として定め、弧長による単位速度の表示がパラメータの平行移動と向きの反転を除いて一意であることを証明する。内接する折れ線の長さの上限として定めた長さが積分による長さに一致することを示す。
- Frenet–Serret の公式と曲線論の基本定理（公開中）三次元空間のベクトル積を定義したうえで、曲率と捩率を定め、Frenet 標構の一階の微分方程式を導く。曲率が至るところ正であるとき、与えた曲率と捩率を持つ曲線が向きを保つ合同変換を除いて一意に存在することを証明する。曲率が零になる点、平面曲線および直線を、標構が定まらない場合として区別する。
- 正則曲面・接平面・向き（公開中）三次元空間の二次元埋め込み部分多様体として正則曲面を定義し、座標変換が滑らかな微分同相であることを導く。接平面を定め、単位法線ベクトル場によって向きを定義する。向きづけ可能でない例として Möbius の帯を挙げる。
- 第一基本形式と面積要素（公開中）接平面へ三次元空間の内積を制限して第一基本形式を定め、長さ、角および面積をこの形式だけで表す。面積要素が座標の取り替えで変わらないことを確かめる。局所等長写像を定義し、平面と円柱が局所等長であることを示す。
- Gauss 写像・Weingarten 写像・第二基本形式（公開中） Gauss 写像とその微分から Weingarten 写像を定め、それが第一基本形式に関して自己共役であることを証明する。第二基本形式を対応する対称双線形形式として定め、法曲率として意味づける。向きの反転で符号が変わることを示す。
- 主曲率・Gauss 曲率・平均曲率（公開中）スペクトル定理から主曲率と主方向を得る。Gauss 曲率を主曲率の積、平均曲率を相加平均として定義し、点を楕円点・双曲点・放物点・平坦点へ分類する。球面、円柱、円環面、懸垂面および常螺旋面で両曲率を計算する。
共変微分・測地線・構造方程式（必修）
- 曲面上の共変微分と平行移動（公開中）接平面への射影として共変微分を定め、Christoffel 記号が第一基本形式とその一階微分だけで書けることを証明する。内積との両立と捩れの消滅がこの共変微分を一意に定めることを示す。第一基本形式だけを与えられた二次元の対象を抽象曲面として定義し、そのうえでも共変微分が一意に存在することを証明する。平行移動を線形常微分方程式の解として構成する。
- 測地線・測地曲率・エネルギーの第一変分（公開中）測地線を平行な速度ベクトルを持つ曲線として定義し、局所的な一意存在と定速性を導く。端点を固定した長さとエネルギーの第一変分を計算し、二つの臨界点の違いを区別する。測地曲率を定義する。
- 回転面の測地線と Clairaut の関係式（公開中）回転面の測地線方程式から Clairaut の関係式を導き、保存量によって測地線が到達できる範囲を決める。子午線と緯線がいつ測地線になるかを判定し、球面と円環面で測地線の定性的な振る舞いを分類する。
- 直交標構と Cartan の構造方程式（公開中）正規直交接標構と接続形式を定義する。第一構造方程式が接続形式を一意に定めること、したがって接続形式が第一基本形式だけで決まることを証明する。三次元空間における標構全体の微分から第二構造方程式を導く。
- Gauss 方程式と Gauss の驚異の定理（公開中） Gauss 方程式を証明し、接続形式の外微分が Gauss 曲率と面積要素で書けることを導く。Gauss 曲率が第一基本形式だけで決まることを証明し、直交座標における閉じた式を書き下す。局所等長写像が Gauss 曲率を保つことから、球面の一部が平面へ等長に写らないことを結論する。
- 曲面論の基本定理（公開中） Codazzi–Mainardi 方程式を導き、Gauss 方程式と合わせて適合条件を与える。単連結な座標領域の上で、適合条件を満たす二つの形式からはめ込みを復元し、合同変換を除いて一意であることを示す。はめ込みは単射とは限らず、像が正則曲面であるとは限らない。
大域定理と面積の第一変分（必修）
- 平面曲線の回転指数と回転定理（公開中）符号つき曲率と回転指数を定義し、区分的に滑らかな単純閉曲線について、滑らかな弧に沿う回転角と外角の総和が一周分の角度になることを証明する。証明では割線写像の定義域の側で角を線分へ膨らませる。計量を連続に変形しても回転指数が変わらないことを示す。
- 局所 Gauss–Bonnet とホロノミー（公開中）座標近傍の中の穴を持たない領域について、Gauss 曲率の面積分と測地曲率の線積分と外角の総和との和が一周分の角度に等しいことを、平面の Green の定理と回転定理から証明する。系としてホロノミーと測地三角形の内角の和を導く。
- 大域 Gauss–Bonnet と Euler 標数（公開中）三角形分割から局所公式の和を取り、閉曲面の全曲率が Euler 標数と一周分の角度の積に等しいことを証明する。三次元空間のコンパクトな曲面が正の Gauss 曲率を持つ点を必ず持つことを示し、埋め込まれた円環面で正と負の曲率が共存すること、平坦な計量を持つ円環面では共存しないことを対比する。
- 面積の第一変分と極小曲面（公開中）面積の第一変分を計算し、極小曲面が平均曲率の消える曲面として特徴づけられることを証明する。極小曲面方程式を導き、平面、懸垂面および常螺旋面が極小であることを確かめる。臨界点であることが面積の最小性を意味しないことを示す。
調和写像と可積分条件（発展）
- Dirichlet エネルギーと調和写像（公開中） Dirichlet エネルギーの第一変分を計算し、臨界点が調和写像であることを証明する。等温座標が与えられているという仮定のもとで、共形なはめ込みが調和であることと平均曲率が零であることが同値であることを示す。
- 負曲率曲面と sine–Gordon 方程式（公開中） Gauss 曲率が負の定数である曲面に漸近方向に沿う座標が与えられているという仮定のもとで、適合条件が sine–Gordon 方程式になることを証明する。標構の微分方程式の可積分条件が同じ方程式を与えることを確かめ、擬球面を解の例とする。
計算実験と実装（発展）
この章の記事はまだ書かれていない。計算で確かめた値を表に並べるのではなく、幾何の過程そのものが画面で動く形を取る。たとえば、与えた境界に対して初期の曲面を置き、各頂点にエネルギーを下げる向きのベクトルを描いて、曲面が極小曲面へ近づくとともにそのベクトルが零へ潰れていく様子を示し、その動かし方を記事が解説する。この形を実現する仕組みは現在の描画の仕組みにはまだ無い。理論の記事は、この章を読まなくても証明が閉じている。
- 曲線と Frenet 標構の実装（執筆予定） Frenet–Serret の公式を数値的に積分して曲線を復元し、常螺旋を厳密解として誤差を評価する。刻み幅を細かくしたときの誤差の減少を表にして収束次数と照合する。
- 基本形式の記号計算と曲率の検算（執筆予定）パラメータ表示から二つの基本形式、Christoffel 記号および二つの曲率を記号計算で求め、標準的な曲面で本文の計算と一致することを確かめる。Gauss 曲率の外在的な表示と内在的な表示の差が零へ簡約されることを検算する。
- 測地線・平行移動・ホロノミーの数値計算（執筆予定）測地線と平行移動を数値的に積分し、エネルギーと Clairaut の保存量が保たれることを離散化誤差の範囲で確かめる。閉曲線に沿う平行移動の回転角と、囲む領域の Gauss 曲率の積分を比較する。
- 三角形メッシュと角欠損の計算（執筆予定）三角形メッシュの角欠損を計算し、本文で証明した恒等式を球面と円環面の多面体近似で確かめる。メッシュを細かくすると角欠損が滑らかな曲面の Gauss 曲率の積分へ近づくことを、恒等式とは別の主張として観察する。
- 極小曲面と調和性の計算実験（執筆予定）極小曲面の平均曲率と極小曲面方程式の残差を評価する。長方形領域上の Dirichlet 問題を差分で離散化し、反復によって離散エネルギーと残差が減少することを観察する。
- 零曲率条件と sine–Gordon 方程式の数値検算（執筆予定） sine–Gordon 方程式の既知の解について残差を評価し、標構の微分方程式の可積分条件の残差を行列として計算する。得られた角から擬球面をパラメータ表示して Gauss 曲率が負の定数になることを検算する。
この先につながること
- Riemann 幾何 I: 一般の Riemann 多様体へ進み、Levi–Civita 接続、曲率テンソル、指数写像と法座標、Jacobi 場、および Hopf–Rinow の定理を扱う。本単元の測地線と平行移動は、その二次元の原型である。
- 変分法: 第一変分の計算から、解の存在を論じる直接法へ進む。
- Riemann 幾何 II: 極小曲面と調和写像の存在、正則性、第二変分および安定性を扱う。完備曲面の大域論もここにある。
- ベクトル束と接続: 接平面の上の接続を、一般のベクトル束と主束の上の接続へ広げ、曲率形式と特性類を扱う。
- ゲージ理論: 接続と曲率を場の理論の言葉へ翻訳し、Yang–Mills 方程式を扱う。
- 距離空間と測度距離空間: 曲面の測地線を原型として、測地距離空間と Gromov–Hausdorff 収束を扱う。
この単元で扱わないこと
一般次元の Riemann 多様体の計量、Levi–Civita 接続、曲率テンソル、Jacobi 場、完備性と Hopf–Rinow の定理はRiemann 幾何 Iが扱う。本単元は二次元の場合の共変微分の一意性だけを扱う。
指数写像、測地正規座標、測地極座標、Gauss の補題および測地線が局所的に長さを最小にすることもRiemann 幾何 Iが扱う。本単元は測地線を常微分方程式の解として構成し、第一変分の臨界点として特徴づけるところまでを扱う。これらの構成は、測地線が初期条件について滑らかに変化することを要求する。その事実は常微分方程式の範囲を超えるので、本単元では用いない。局所 Gauss–Bonnet の定理は、測地極座標ではなく正規直交標構と接続形式によって証明する。
境界を持つ曲面および向きづけ可能でない曲面に対する Gauss–Bonnet の定理はRiemann 幾何 Iが扱う。本単元は座標近傍の中の領域と、境界を持たない向きづけられた閉曲面を扱う。
一般の Euler–Lagrange 理論、直接法、下半連続性、弱コンパクト性および制約付き変分問題は変分法が扱う。極小曲面と調和写像の存在、正則性、第二変分、安定性、Weierstrass 表現および Plateau 問題はRiemann 幾何 IIが扱う。完備曲面の大域論、すなわち Hilbert の定理、Liebmann の剛性定理および平均曲率が定数である曲面の分類も同じ単元が扱う。
ベクトル束と主束の一般論、束の上の接続、曲率形式、特性類および Chern–Weil 理論はベクトル束と接続が扱う。本単元は接平面の上の共変微分と、標構に依存する接続形式までを扱う。Yang–Mills 汎関数、ゲージ群、自己双対方程式および一般のゲージ理論はゲージ理論が扱う。本単元が扱うのは、曲面上の標構変換と接続形式の変換則、および適合条件の可積分性という具体的な場合に限る。Gromov–Hausdorff 距離、点付き収束、崩壊および測度付き極限の一般論は距離空間と測度距離空間が扱う。
Euler 標数の定義と位相不変性、閉曲面の分類、局所ホモロジーによる向きと基本類、および閉曲面上の交叉形式は位相幾何入門が扱う。本単元はこれらを引用し、再構成しない。
認めて用いる外部の結果が三つある。第一に、コンパクトな曲面が三角形分割を持つことである。本リポジトリのどの単元もこの証明を持たないので、文献へ委ねて認めて用い、大域 Gauss–Bonnet の定理は、各三角形が一つの座標近傍に含まれ辺が区分的に滑らかな三角形分割が与えられたところから始める。第二に、Jordan の曲線定理と Schoenflies の定理である。局所 Gauss–Bonnet の定理では、境界の局所的な片側性を領域の仮定に含めることでこれを回避する。第三に、等温座標の存在である。共形な写像を扱うのは、等温座標が与えられている場合に限る。
逆散乱法、Bäcklund 変換の一般論、soliton の階層、およびスペクトルパラメータを含む一般の Lax 表示は扱わない。扱うのは一つの座標系における適合条件と、その解の検算までである。曲線の大域的な性質、すなわち全曲率に関する定理と四頂点定理も扱わない。曲線については局所的な曲率と捩率、および曲線論の基本定理までである。結び目と絡み目の不変量は結び目理論が扱う。
一段法の局所打切り誤差と収束次数、安定性、および線形方程式の解法の一般論は数値解析 Iが扱う。本単元の計算実験はこれらを引用して用いる。有限要素法、適応格子および偏微分方程式の時間発展の解法は数値解析 IIが扱う。