期待値の線形性を使う技法 | 場合の数と確率統計

1 指示確率変数

定義 1.1 (指示確率変数). 有限標本空間上の事象 $A$ に対して、

\mathbf{1}_A(\omega)= \begin{cases} 1&(\omega\in A),\\ 0&(\omega\notin A) \end{cases}

で定める確率変数を $A$ の指示確率変数といいます。

定理 1.2 (指示確率変数の期待値). 有限標本空間上の事象 $A$ について、

E[\mathbf{1}_A]=P(A)

が成り立ちます。

証明. $\mathbf{1}_A$ は確率 $P(A)$ で1を、確率 $1-P(A)$ で0をとるので、

E[\mathbf{1}_A]=1\cdot P(A)+0\cdot(1-P(A))=P(A)

です。▨

有限個の事象について、起こった事象の個数の期待値を求めます。

定理 1.3 (期待個数の公式). $A_1,\ldots,A_n$ を同じ有限標本空間上の事象とし、起こった事象の個数を

N=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{A_i}

とします。このとき、事象間の独立性を仮定せずに

E[N]=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)

が成り立ちます。

証明. 期待値の線形性と指示確率変数の期待値から、

E[N]=\sum_{i=1}^{n}E[\mathbf{1}_{A_i}] =\sum_{i=1}^{n}P(A_i)

を得ます。▨

線形性そのものの証明は「確率変数の期待値・分散」が与えています。本記事では有限個の指示確率変数への分解を扱います。

例 1.4 (無作為な順列の固定点). $n\ge2$ とし、 $n$ 人へ $n$ 通の手紙を無作為に一通ずつ配ります。人 $i$ が自分宛ての手紙を受け取る事象を $A_i$ とすると、 $P(A_i)=1/n$ です。自分宛てを受け取る人数 $N$ の期待値は

E[N]=\sum_{i=1}^{n}\frac1n=1

です。各事象は独立ではありませんが、期待値の計算には影響しません。

定理 1.5 (正の期待値からの存在). 有限標本空間上の非負整数値確率変数 $X$ が $E[X]>0$ を満たすならば、 $X(\omega)\ge1$ を満たす結果 $\omega$ が存在します。

証明. すべての結果で $X=0$ ならば $E[X]=0$ です。したがって $E[X]>0$ ならば、少なくとも一つの結果で $X\ge1$ です。▨

1では各回の表の指示確率変数を足し、期待値は $10\cdot(1/2)=5$ 回です。2では期待値の線形性が独立性を仮定しないため、各固定点の確率 $1/n$ だけで和の期待値を計算することができます。3では、常に $X=1/2$ である確率変数が反例です。