条件付き確率とベイズの定理 | 場合の数と確率統計

1 条件付き確率

定義 1.1 (条件付き確率). 事象 $A,B$ について $P(B)>0$ であるとき、 $B$ が起こったという条件のもとでの $A$ の条件付き確率を

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

と定義します。

定義を変形すると乗法定理を得ます。

公式 1.2 (乗法定理). $P(B)>0$ ならば、

P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)

が成り立ちます。さらに $P(A)>0$ ならば、

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

も成り立ちます。

原因に相当する事象を排反な場合へ分けて、結果が観測された後の確率を求めます。

定理 2.1 (ベイズの定理). $A_1,\ldots,A_m$ が標本空間の分割であり、各 $P(A_i)>0$ とします。事象 $B$ が $P(B)>0$ を満たすとき、

P(A_i\mid B) =\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)} {\sum_{j=1}^{m}P(B\mid A_j)P(A_j)}

が成り立ちます。

証明. 乗法定理から分子は $P(A_i\cap B)=P(B\mid A_i)P(A_i)$ です。また、 $A_j\cap B$ は互いに排反で、その和集合が $B$ なので、

P(B)=\sum_{j=1}^{m}P(B\mid A_j)P(A_j)

です。条件付き確率の定義へ代入すると結論を得ます。▨

例 2.2 (検査の陽性反応). 病気の割合を $1\%$ とします。病気がある人の検査陽性率を $90\%$ 、病気がない人の偽陽性率を $5\%$ とします。陽性となる確率は

0.90\cdot0.01+0.05\cdot0.99=0.0585

です。したがって、陽性者が病気である条件付き確率は

\frac{0.90\cdot0.01}{0.0585}\approx0.154

です。 $P(\text{陽性}\mid\text{病気})=0.90$ と $P(\text{病気}\mid\text{陽性})\approx0.154$ は異なります。

箱Aを確率 $0.4$ 、箱Bを確率 $0.6$ で選びます。箱Aから赤玉を引く確率は $0.5$ 、箱Bから赤玉を引く確率は $0.2$ です。赤玉を引いたとき、箱Aを選んでいた確率を求めます。
ベイズの定理で必要な分母の正値条件をすべて述べます。
$P(A\mid B)$ と $P(B\mid A)$ を取り違えた説明の例を一つ作り、誤りを訂正します。

1の答えは

\frac{0.5\cdot0.4}{0.5\cdot0.4+0.2\cdot0.6}=\frac58

です。2では各 $P(A_i)>0$ と $P(B)>0$ が必要です。3の例として、病気がある人の陽性率が90パーセントであることから、陽性者が病気である確率も90パーセントだとする説明は誤りです。後者は有病率と偽陽性率も用いてベイズの定理で求めます。