確率漸化式 | 場合の数と確率統計

1 状態と遷移

定義 1.1 (状態確率と遷移確率). $n$ 回目に状態 $i$ にある確率を $p_n(i)$ とします。状態 $i$ から次に状態 $j$ へ移る条件付き確率を、状態 $i$ から $j$ への遷移確率といいます。

各状態から着目する状態へ入る場合を排反に分けると、次の状態確率を求めることができます。

2 完結した二状態の例

ある機械は、毎日の終わりに正常または故障のいずれかの状態にあります。正常ならば翌日も正常である確率を $0.7$ 、故障ならば修理によって翌日に正常である確率を $0.2$ とします。初日は正常であるとします。

例 2.1 (二状態モデルの設定). $n$ 日目に正常である確率を $p_n$ とすると、故障である確率は $1-p_n$ です。翌日に正常である場合を、前日に正常であった場合と故障であった場合に分けると、

p_{n+1}=0.7p_n+0.2(1-p_n)=0.5p_n+0.2,\qquad p_1=1

を得ます。

定理 2.2 (二状態例の一般項). 上の二状態モデルでは、

p_n=0.4+0.6\left(\frac12\right)^{n-1}

が成り立ちます。

証明. 不動点 $\alpha$ は $\alpha=0.5\alpha+0.2$ を満たすので $\alpha=0.4$ です。したがって

p_{n+1}-0.4=0.5(p_n-0.4)

です。 $p_1-0.4=0.6$ なので、等比数列の一般項から結論を得ます。▨

注意 2.3 (確率としての検算). $0.4\le p_n\le1$ なので、一般項は確率の範囲にあります。また $n$ を大きくすると $p_n$ は0.4へ近づき、漸化式の不動点と一致します。

状態を一つの確率だけで表すことができるのは、全状態が二つで、もう一方の確率が $1-p_n$ と決まるためです。三状態以上では、通常は複数の状態確率を同時に追います。

例 2.4 (三状態への拡張). 状態を晴れ、曇り、雨の三つに分ける場合、 $n$ 日目の確率を $s_n,c_n,r_n$ とし、 $s_n+c_n+r_n=1$ を保ちながら、各遷移確率を係数とする連立漸化式を立てます。一つの確率だけを追うと、前日の残り二状態を区別することができません。

3 演習

上の機械が初日に故障している場合の $p_n$ を求めます。
正常から正常へ移る確率を $a$ 、故障から正常へ移る確率を $b$ とするとき、漸化式と不動点を求めます。
求めた一般項が0以上1以下にあり、漸化式と初期条件を満たすことを代入して確認します。

1では $p_1=0$ なので $p_n=0.4-0.4(1/2)^{n-1}$ です。2では $p_{n+1}=ap_n+b(1-p_n)$ であり、 $a-b\ne1$ ならば不動点は $b/(1-a+b)$ です。3では1の式を代入すると初期値は0であり、

p_{n+1}=0.4-\frac{0.4}{2^n} =0.5\left(0.4-\frac{0.4}{2^{n-1}}\right)+0.2

が成り立ちます。また $0\le p_n<0.4$ なので確率の範囲にあります。

§B4.14確率漸化式

1 状態と遷移

2 完結した二状態の例

3 演習

例題

演習

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