1 法方向の変分 定義 1.1. φ : U → R \varphi\colon U\to\mathbb{R} φ : U → R
K = { q ∈ U : φ ( q ) ≠ 0 } ‾ \mathcal{K}=\overline{\{q\in U:\varphi(q)\ne0\}} K = { q ∈ U : φ ( q ) = 0 } がコンパクトであってU U U t ∈ R t\in\mathbb{R} t ∈ R
x t ( u , v ) = x ( u , v ) + t φ ( u , v ) N ( u , v ) ( ( u , v ) ∈ U ) \boldsymbol{x}_t(u,v)=\boldsymbol{x}(u,v)+t\,\varphi(u,v)\,N(u,v)\qquad\bigl((u,v)\in U\bigr) x t ( u , v ) = x ( u , v ) + t φ ( u , v ) N ( u , v ) ( ( u , v ) ∈ U ) と定め、この族をx \boldsymbol{x} x 法方向の変分 (normal variation )φ \varphi φ 変分関数 (variation function )x 0 = x \boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x} x 0 = x U ∖ K U\setminus\mathcal{K} U ∖ K φ \varphi φ φ = φ u = φ v = 0 \varphi=\varphi_u=\varphi_v=0 φ = φ u = φ v = 0 x t = x \boldsymbol{x}_t=\boldsymbol{x} x t = x
証明. (1) を示す。定義 1.1 の式をu u u
( x t ) u = x u + t φ u N + t φ N u (\boldsymbol{x}_t)_u=\boldsymbol{x}_u+t\varphi_uN+t\varphi N_u ( x t ) u = x u + t φ u N + tφ N u である。§E19.5 命題 1.5 によりN u = − S ( x u ) N_u=-S(\boldsymbol{x}_u) N u = − S ( x u )
( x t ) u = ( x u − t φ S ( x u ) ) + t φ u N (\boldsymbol{x}_t)_u=\bigl(\boldsymbol{x}_u-t\varphi S(\boldsymbol{x}_u)\bigr)+t\varphi_uN ( x t ) u = ( x u − tφS ( x u ) ) + t φ u N である。同様に( x t ) v = ( x v − t φ S ( x v ) ) + t φ v N (\boldsymbol{x}_t)_v=\bigl(\boldsymbol{x}_v-t\varphi S(\boldsymbol{x}_v)\bigr)+t\varphi_vN ( x t ) v = ( x v − tφS ( x v ) ) + t φ v N S S S §E19.5 定義 1.4 ）、N N N
E t = ∥ x u − t φ S ( x u ) ∥ 2 + t 2 φ u 2 , E_t=\bigl\lVert\boldsymbol{x}_u-t\varphi S(\boldsymbol{x}_u)\bigr\rVert^2+t^2\varphi_u^{\,2}, E t = x u − tφS ( x u ) 2 + t 2 φ u 2 , F t = ⟨ x u − t φ S ( x u ) , x v − t φ S ( x v ) ⟩ + t 2 φ u φ v , F_t=\bigl\langle\boldsymbol{x}_u-t\varphi S(\boldsymbol{x}_u),\ \boldsymbol{x}_v-t\varphi S(\boldsymbol{x}_v)\bigr\rangle+t^2\varphi_u\varphi_v, F t = ⟨ x u − tφS ( x u ) , x v − tφS ( x v ) ⟩ + t 2 φ u φ v , G t = ∥ x v − t φ S ( x v ) ∥ 2 + t 2 φ v 2 G_t=\bigl\lVert\boldsymbol{x}_v-t\varphi S(\boldsymbol{x}_v)\bigr\rVert^2+t^2\varphi_v^{\,2} G t = x v − tφS ( x v ) 2 + t 2 φ v 2 である。§E19.5 命題 3.2 により⟨ S ( x u ) , x u ⟩ = e \langle S(\boldsymbol{x}_u),\boldsymbol{x}_u\rangle=e ⟨ S ( x u ) , x u ⟩ = e ⟨ S ( x u ) , x v ⟩ = ⟨ x u , S ( x v ) ⟩ = f \langle S(\boldsymbol{x}_u),\boldsymbol{x}_v\rangle=\langle\boldsymbol{x}_u,S(\boldsymbol{x}_v)\rangle=f ⟨ S ( x u ) , x v ⟩ = ⟨ x u , S ( x v )⟩ = f ⟨ S ( x v ) , x v ⟩ = g \langle S(\boldsymbol{x}_v),\boldsymbol{x}_v\rangle=g ⟨ S ( x v ) , x v ⟩ = g
E t = E − 2 t φ e + t 2 ( φ 2 ∥ S ( x u ) ∥ 2 + φ u 2 ) , E_t=E-2t\varphi e+t^2\bigl(\varphi^2\lVert S(\boldsymbol{x}_u)\rVert^2+\varphi_u^{\,2}\bigr), E t = E − 2 tφ e + t 2 ( φ 2 ∥ S ( x u ) ∥ 2 + φ u 2 ) , F t = F − 2 t φ f + t 2 ( φ 2 ⟨ S ( x u ) , S ( x v ) ⟩ + φ u φ v ) , F_t=F-2t\varphi f+t^2\bigl(\varphi^2\langle S(\boldsymbol{x}_u),S(\boldsymbol{x}_v)\rangle+\varphi_u\varphi_v\bigr), F t = F − 2 tφ f + t 2 ( φ 2 ⟨ S ( x u ) , S ( x v )⟩ + φ u φ v ) , G t = G − 2 t φ g + t 2 ( φ 2 ∥ S ( x v ) ∥ 2 + φ v 2 ) G_t=G-2t\varphi g+t^2\bigl(\varphi^2\lVert S(\boldsymbol{x}_v)\rVert^2+\varphi_v^{\,2}\bigr) G t = G − 2 tφ g + t 2 ( φ 2 ∥ S ( x v ) ∥ 2 + φ v 2 ) である。F t F_t F t ⟨ S ( x u ) , x v ⟩ \langle S(\boldsymbol{x}_u),\boldsymbol{x}_v\rangle ⟨ S ( x u ) , x v ⟩ ⟨ x u , S ( x v ) ⟩ \langle\boldsymbol{x}_u,S(\boldsymbol{x}_v)\rangle ⟨ x u , S ( x v )⟩ §E19.5 定理 2.1 による。係数はすべてU U U
(2) を示す。W t = E t G t − F t 2 W_t=E_tG_t-F_t^2 W t = E t G t − F t 2 t = 0 t=0 t = 0 E G − F 2 EG-F^2 E G − F 2 §E19.4 命題 1.2 ）から正である。積の微分により
∂ W t ∂ t ∣ t = 0 = ( ∂ E t ∂ t ∣ 0 ) G + E ( ∂ G t ∂ t ∣ 0 ) − 2 F ( ∂ F t ∂ t ∣ 0 ) = − 2 φ ( e G + g E − 2 f F ) \left.\frac{\partial W_t}{\partial t}\right|_{t=0}
=\left(\left.\frac{\partial E_t}{\partial t}\right|_{0}\right)G+E\left(\left.\frac{\partial G_t}{\partial t}\right|_{0}\right)-2F\left(\left.\frac{\partial F_t}{\partial t}\right|_{0}\right)
=-2\varphi\bigl(eG+gE-2fF\bigr) ∂ t ∂ W t t = 0 = ( ∂ t ∂ E t 0 ) G + E ( ∂ t ∂ G t 0 ) − 2 F ( ∂ t ∂ F t 0 ) = − 2 φ ( e G + g E − 2 f F ) である。§E19.6 公式 2.3 によりe G − 2 f F + g E = 2 H ( E G − F 2 ) eG-2fF+gE=2H(EG-F^2) e G − 2 f F + g E = 2 H ( E G − F 2 )
∂ W t ∂ t ∣ t = 0 = − 4 φ H ( E G − F 2 ) \left.\frac{\partial W_t}{\partial t}\right|_{t=0}=-4\varphi H\,(EG-F^2) ∂ t ∂ W t t = 0 = − 4 φ H ( E G − F 2 ) である。
(3) を示す。U ∖ K U\setminus\mathcal{K} U ∖ K x t = x \boldsymbol{x}_t=\boldsymbol{x} x t = x W t = W 0 > 0 W_t=W_0>0 W t = W 0 > 0 W W W U × R U\times\mathbb{R} U × R K × { 0 } \mathcal{K}\times\{0\} K × { 0 } K \mathcal{K} K q ∈ K q\in\mathcal{K} q ∈ K q q q 0 0 0 W > 0 W>0 W > 0 K \mathcal{K} K ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 K × ( − ε , ε ) \mathcal{K}\times(-\varepsilon,\varepsilon) K × ( − ε , ε ) W t > 0 W_t>0 W t > 0 ∣ t ∣ < ε \lvert t\rvert<\varepsilon ∣ t ∣ < ε U U U W t > 0 W_t>0 W t > 0 §E19.4 補題 1.5 によりW t = ∥ ( x t ) u × ( x t ) v ∥ 2 W_t=\lVert(\boldsymbol{x}_t)_u\times(\boldsymbol{x}_t)_v\rVert^2 W t = ∥( x t ) u × ( x t ) v ∥ 2 W t > 0 W_t>0 W t > 0 ( x t ) u (\boldsymbol{x}_t)_u ( x t ) u ( x t ) v (\boldsymbol{x}_t)_v ( x t ) v x t \boldsymbol{x}_t x t §E19.3 補題 1.4 ）。W W W W t \sqrt{W_t} W t ▨
2 面積の第一変分 定理 2.1 (面積の第一変分). 定義 1.1 の記号のもとで、ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 補題 1.2 (3) のように取る。D ⊆ U D\subseteq U D ⊆ U K \mathcal{K} K
A ( t ) = ∬ D W t ( u , v ) d u d v ( ∣ t ∣ < ε ) A(t)=\iint_D\sqrt{W_t(u,v)}\,du\,dv\qquad\bigl(\lvert t\rvert<\varepsilon\bigr) A ( t ) = ∬ D W t ( u , v ) d u d v ( ∣ t ∣ < ε ) と置く。被積分関数は連続でありD D D §E4.11 系 3.5 によりこの積分は定まる。このときA A A ( − ε , ε ) (-\varepsilon,\varepsilon) ( − ε , ε ) C 1 C^1 C 1
d A d t ∣ t = 0 = − ∬ U 2 H φ E G − F 2 d u d v \left.\frac{dA}{dt}\right|_{t=0}=-\iint_U2H\varphi\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv d t d A t = 0 = − ∬ U 2 H φ E G − F 2 d u d v が成り立つ。右辺の被積分関数の台はK \mathcal{K} K D D D §E19.4 定義 5.1 の記法では
d A d t ∣ t = 0 = − ∫ 2 H φ d A \left.\frac{dA}{dt}\right|_{t=0}=-\int2H\varphi\,dA d t d A t = 0 = − ∫ 2 H φ d A と書かれる。
証明の方針を述べる。出発点は補題 1.2 であり、面積要素のt t t − 2 φ H E G − F 2 -2\varphi H\sqrt{EG-F^2} − 2 φ H E G − F 2 ∂ t W t \partial_tW_t ∂ t W t 2 W 0 2\sqrt{W_0} 2 W 0 §E19.8 補題 2.1 は一つの変数についての積分に対する主張であるから、二重積分にそのままは適用することができない。そこで中間目標を二つ置く。第一に、被積分関数の差を、径数領域の外側で零になるようにR 2 \mathbb{R}^2 R 2 K \mathcal{K} K §E4.12 定理 1 によって累次積分へ直し、内側の積分と外側の積分のそれぞれに§E19.8 補題 2.1 を適用することである。外側へ適用するためには、内側の積分とそのt t t
証明. 被積分関数の差を延長する 。∣ t ∣ < ε \lvert t\rvert<\varepsilon ∣ t ∣ < ε
ψ ( u , v , t ) = W t ( u , v ) − W 0 ( u , v ) ( ( u , v ) ∈ U ) \psi(u,v,t)=\sqrt{W_t(u,v)}-\sqrt{W_0(u,v)}\qquad\bigl((u,v)\in U\bigr) ψ ( u , v , t ) = W t ( u , v ) − W 0 ( u , v ) ( ( u , v ) ∈ U ) と置く。補題 1.2 (3) によりψ \psi ψ U × ( − ε , ε ) U\times(-\varepsilon,\varepsilon) U × ( − ε , ε ) U ∖ K U\setminus\mathcal{K} U ∖ K W t = W 0 W_t=W_0 W t = W 0 ψ = 0 \psi=0 ψ = 0 ψ \psi ψ ( R 2 ∖ K ) × ( − ε , ε ) \bigl(\mathbb{R}^2\setminus\mathcal{K}\bigr)\times(-\varepsilon,\varepsilon) ( R 2 ∖ K ) × ( − ε , ε ) 0 0 0 R 2 × ( − ε , ε ) \mathbb{R}^2\times(-\varepsilon,\varepsilon) R 2 × ( − ε , ε ) K ⊆ U \mathcal{K}\subseteq U K ⊆ U U U U R 2 ∖ K \mathbb{R}^2\setminus\mathcal{K} R 2 ∖ K R 2 \mathbb{R}^2 R 2 U ∖ K U\setminus\mathcal{K} U ∖ K R 2 × ( − ε , ε ) \mathbb{R}^2\times(-\varepsilon,\varepsilon) R 2 × ( − ε , ε ) t t t ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) \psi(\cdot,\cdot,t) ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) K \mathcal{K} K
積分領域を長方形へ取り替える 。K \mathcal{K} K R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R = [ a , b ] × [ c , d ] K ⊆ R \mathcal{K}\subseteq R K ⊆ R ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) \psi(\cdot,\cdot,t) ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) K \mathcal{K} K K \mathcal{K} K K ⊆ D \mathcal{K}\subseteq D K ⊆ D K ⊆ R \mathcal{K}\subseteq R K ⊆ R
A ( t ) − A ( 0 ) = ∬ D ψ ( u , v , t ) d u d v = ∬ R ψ ( u , v , t ) d u d v = : Φ ( t ) A(t)-A(0)=\iint_D\psi(u,v,t)\,du\,dv=\iint_R\psi(u,v,t)\,du\,dv=:\Phi(t) A ( t ) − A ( 0 ) = ∬ D ψ ( u , v , t ) d u d v = ∬ R ψ ( u , v , t ) d u d v =: Φ ( t ) である。A A A Φ \Phi Φ
累次積分へ直す 。各t t t ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) \psi(\cdot,\cdot,t) ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) R R R §E4.12 定理 1 により
Φ ( t ) = ∫ a b ( ∫ c d ψ ( u , v , t ) d v ) d u \Phi(t)=\int_a^b\left(\int_c^d\psi(u,v,t)\,dv\right)du Φ ( t ) = ∫ a b ( ∫ c d ψ ( u , v , t ) d v ) d u である。内側の積分を
η ( u , t ) = ∫ c d ψ ( u , v , t ) d v \eta(u,t)=\int_c^d\psi(u,v,t)\,dv η ( u , t ) = ∫ c d ψ ( u , v , t ) d v と書く。
内側の積分へ補題を適用する 。u ∈ [ a , b ] u\in[a,b] u ∈ [ a , b ] ψ \psi ψ ∂ t ψ \partial_t\psi ∂ t ψ [ c , d ] × ( − ε , ε ) [c,d]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ c , d ] × ( − ε , ε ) §E19.8 補題 2.1 によりt ↦ η ( u , t ) t\mapsto\eta(u,t) t ↦ η ( u , t ) C 1 C^1 C 1
∂ η ∂ t ( u , t ) = ∫ c d ∂ ψ ∂ t ( u , v , t ) d v \frac{\partial\eta}{\partial t}(u,t)=\int_c^d\frac{\partial\psi}{\partial t}(u,v,t)\,dv ∂ t ∂ η ( u , t ) = ∫ c d ∂ t ∂ ψ ( u , v , t ) d v である。
η \eta η ∂ t η \partial_t\eta ∂ t η 0 < ε ′ < ε 0<\varepsilon'<\varepsilon 0 < ε ′ < ε R × [ − ε ′ , ε ′ ] R\times[-\varepsilon',\varepsilon'] R × [ − ε ′ , ε ′ ] ψ \psi ψ ∂ t ψ \partial_t\psi ∂ t ψ ( u , t ) (u,t) ( u , t ) ( u ′ , t ′ ) (u',t') ( u ′ , t ′ ) [ a , b ] × [ − ε ′ , ε ′ ] [a,b]\times[-\varepsilon',\varepsilon'] [ a , b ] × [ − ε ′ , ε ′ ]
∣ η ( u , t ) − η ( u ′ , t ′ ) ∣ ≤ ∫ c d ∣ ψ ( u , v , t ) − ψ ( u ′ , v , t ′ ) ∣ d v ≤ ( d − c ) sup v ∈ [ c , d ] ∣ ψ ( u , v , t ) − ψ ( u ′ , v , t ′ ) ∣ \lvert\eta(u,t)-\eta(u',t')\rvert\le\int_c^d\bigl\lvert\psi(u,v,t)-\psi(u',v,t')\bigr\rvert\,dv
\le(d-c)\sup_{v\in[c,d]}\bigl\lvert\psi(u,v,t)-\psi(u',v,t')\bigr\rvert ∣ η ( u , t ) − η ( u ′ , t ′ )∣ ≤ ∫ c d ψ ( u , v , t ) − ψ ( u ′ , v , t ′ ) d v ≤ ( d − c ) v ∈ [ c , d ] sup ψ ( u , v , t ) − ψ ( u ′ , v , t ′ ) であり、右辺は一様連続性により( u ′ , t ′ ) → ( u , t ) (u',t')\to(u,t) ( u ′ , t ′ ) → ( u , t ) 0 0 0 ∂ t η \partial_t\eta ∂ t η ∂ t ψ \partial_t\psi ∂ t ψ η \eta η ∂ t η \partial_t\eta ∂ t η [ a , b ] × ( − ε , ε ) [a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε )
外側の積分へ補題を適用する 。η \eta η ∂ t η \partial_t\eta ∂ t η [ a , b ] × ( − ε , ε ) [a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε ) §E19.8 補題 2.1 によりΦ \Phi Φ ( − ε , ε ) (-\varepsilon,\varepsilon) ( − ε , ε ) C 1 C^1 C 1
Φ ′ ( t ) = ∫ a b ∂ η ∂ t ( u , t ) d u = ∫ a b ( ∫ c d ∂ ψ ∂ t ( u , v , t ) d v ) d u = ∬ R ∂ ψ ∂ t ( u , v , t ) d u d v \Phi'(t)=\int_a^b\frac{\partial\eta}{\partial t}(u,t)\,du
=\int_a^b\left(\int_c^d\frac{\partial\psi}{\partial t}(u,v,t)\,dv\right)du
=\iint_R\frac{\partial\psi}{\partial t}(u,v,t)\,du\,dv Φ ′ ( t ) = ∫ a b ∂ t ∂ η ( u , t ) d u = ∫ a b ( ∫ c d ∂ t ∂ ψ ( u , v , t ) d v ) d u = ∬ R ∂ t ∂ ψ ( u , v , t ) d u d v である。最後の等号は、∂ t ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) \partial_t\psi(\cdot,\cdot,t) ∂ t ψ ( ⋅ , ⋅ , t ) R R R §E4.12 定理 1 による。
t = 0 t=0 t = 0 W 0 > 0 W_0>0 W 0 > 0
∂ ψ ∂ t ( u , v , 0 ) = 1 2 W 0 ∂ W t ∂ t ∣ t = 0 = − 4 φ H ( E G − F 2 ) 2 E G − F 2 = − 2 H φ E G − F 2 \frac{\partial\psi}{\partial t}(u,v,0)=\frac{1}{2\sqrt{W_0}}\left.\frac{\partial W_t}{\partial t}\right|_{t=0}
=\frac{-4\varphi H(EG-F^2)}{2\sqrt{EG-F^2}}
=-2H\varphi\sqrt{EG-F^2} ∂ t ∂ ψ ( u , v , 0 ) = 2 W 0 1 ∂ t ∂ W t t = 0 = 2 E G − F 2 − 4 φ H ( E G − F 2 ) = − 2 H φ E G − F 2 である。ここで補題 1.2 (2) を用いた。A ′ ( 0 ) = Φ ′ ( 0 ) A'(0)=\Phi'(0) A ′ ( 0 ) = Φ ′ ( 0 )
d A d t ∣ t = 0 = ∬ R ( − 2 H φ E G − F 2 ) d u d v = − ∬ U 2 H φ E G − F 2 d u d v \left.\frac{dA}{dt}\right|_{t=0}=\iint_R\bigl(-2H\varphi\sqrt{EG-F^2}\bigr)\,du\,dv
=-\iint_U2H\varphi\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv d t d A t = 0 = ∬ R ( − 2 H φ E G − F 2 ) d u d v = − ∬ U 2 H φ E G − F 2 d u d v である。最後の等号は、被積分関数の台がK ⊆ R ∩ U \mathcal{K}\subseteq R\cap U K ⊆ R ∩ U ▨
例 2.3 (球面による係数と符号の検算). 半径r > 0 r>0 r > 0 M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r } M=\{p\in\mathbb{R}^3:\lVert p\rVert=r\} M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r } N ( p ) = p / r N(p)=p/r N ( p ) = p / r §E19.6 命題 4.3 により、この向きに関してH ≡ − 1 / r H\equiv-1/r H ≡ − 1/ r φ ≡ 1 \varphi\equiv1 φ ≡ 1 M M M M M M
左辺を計算する 。法方向の変分は
x t ( p ) = p + t ⋅ 1 ⋅ p r = ( 1 + t r ) p \boldsymbol{x}_t(p)=p+t\cdot1\cdot\frac{p}{r}=\Bigl(1+\frac tr\Bigr)p x t ( p ) = p + t ⋅ 1 ⋅ r p = ( 1 + r t ) p であり、∣ t ∣ < r \lvert t\rvert<r ∣ t ∣ < r r + t r+t r + t §E19.15 例 5.2 により半径ρ \rho ρ 4 π ρ 2 4\pi\rho^2 4 π ρ 2
A ( t ) = 4 π ( r + t ) 2 , d A d t ∣ t = 0 = 8 π r A(t)=4\pi(r+t)^2,\qquad \left.\frac{dA}{dt}\right|_{t=0}=8\pi r A ( t ) = 4 π ( r + t ) 2 , d t d A t = 0 = 8 π r である。
右辺を計算する 。§E19.15 定義 2.1 により、球面全体にわたる積分は三角形分割による和として定まる。2 H φ 2H\varphi 2 H φ − 2 / r -2/r − 2/ r
− ∫ M 2 H φ d A = − ( − 2 r ) ⋅ 4 π r 2 = 8 π r -\int_M2H\varphi\,dA=-\Bigl(-\frac2r\Bigr)\cdot4\pi r^2=8\pi r − ∫ M 2 H φ d A = − ( − r 2 ) ⋅ 4 π r 2 = 8 π r である。
二つは一致する。この検算は係数2 2 2 。仮に第一変分を− ∫ H φ d A -\int H\varphi\,dA − ∫ H φ d A 4 π r 4\pi r 4 π r + ∫ 2 H φ d A +\int2H\varphi\,dA + ∫ 2 H φ d A − 8 π r -8\pi r − 8 π r 8 π r 8\pi r 8 π r N ( p ) = − p / r N(p)=-p/r N ( p ) = − p / r §E19.6 命題 4.3 によりH ≡ 1 / r H\equiv1/r H ≡ 1/ r x t \boldsymbol{x}_t x t r − t r-t r − t
定理 2.1 は一つのパラメータ表示の中で台がコンパクトな変分関数について証明したものであり、球面全体を一つのパラメータ表示で覆うことはできない。したがって上の計算は定理 2.1 の適用ではなく、公式の係数と符号を独立に確かめる検算である。
3 極小曲面 補題 3.1 (二変数の変分法の基本補題). U ⊆ R 2 U\subseteq\mathbb{R}^2 U ⊆ R 2 w : U → R w\colon U\to\mathbb{R} w : U → R U U U φ : U → R \varphi\colon U\to\mathbb{R} φ : U → R
∬ U w φ d u d v = 0 \iint_Uw\varphi\,du\,dv=0 ∬ U w φ d u d v = 0 が成り立つならば、U U U w ≡ 0 w\equiv0 w ≡ 0
証明. w ( q 0 ) ≠ 0 w(q_0)\ne0 w ( q 0 ) = 0 q 0 ∈ U q_0\in U q 0 ∈ U w w w − w -w − w w ( q 0 ) > 0 w(q_0)>0 w ( q 0 ) > 0 w w w q 0 q_0 q 0 V ⊆ U V\subseteq U V ⊆ U V V V w > w ( q 0 ) / 2 w>w(q_0)/2 w > w ( q 0 ) /2
二次元のC ∞ C^\infty C ∞ R 2 \mathbb{R}^2 R 2 §E17.2 命題 1.5 を適用し、χ : R 2 → [ 0 , 1 ] \chi\colon\mathbb{R}^2\to[0,1] χ : R 2 → [ 0 , 1 ] χ ( q 0 ) = 1 \chi(q_0)=1 χ ( q 0 ) = 1 V V V φ = χ ∣ U \varphi=\chi|_U φ = χ ∣ U φ \varphi φ
0 = ∬ U w φ d u d v = ∬ V w χ d u d v 0=\iint_Uw\varphi\,du\,dv=\iint_V w\chi\,du\,dv 0 = ∬ U w φ d u d v = ∬ V w χ d u d v である。しかし被積分関数はV V V q 0 q_0 q 0 ▨
「測地線・測地曲率・エネルギーの第一変分」の§E19.8 補題 3.5 は、曲線に沿うベクトル場についての同じ形の主張である。上の補題は、その二変数かつ実数値の場合にあたる。二つは設定が異なるので、一方から他方が直ちに従うわけではない。
定義 3.2. 正則曲面M M M 極小曲面 (minimal surface )M M M M M M H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0
平均曲率そのものは単位法線の選び方に依存するので、上の定義が単位法線の選び方に依らないことを確かめる必要がある。次の命題がこれを述べる。したがって極小曲面の定義は、曲面が向きづけ可能であることを要求しない。
命題 3.3. M M M U ⊆ M U\subseteq M U ⊆ M N N N N N N H H H − N -N − N H ~ \tilde H H ~ U U U H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 H ~ ≡ 0 \tilde H\equiv0 H ~ ≡ 0
証明. §E19.6 命題 2.4 により、U U U H ~ = − H \tilde H=-H H ~ = − H − H ( p ) = 0 -H(p)=0 − H ( p ) = 0 H ( p ) = 0 H(p)=0 H ( p ) = 0 ▨
定理 3.4. x : U → R 3 \boldsymbol{x}\colon U\to\mathbb{R}^3 x : U → R 3
台がコンパクトでU U U φ \varphi φ 定理 2.1 のA A A d A d t ∣ t = 0 = 0 \left.\dfrac{dA}{dt}\right|_{t=0}=0 d t d A t = 0 = 0
U U U H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 x ( U ) \boldsymbol{x}(U) x ( U ) 証明. (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 定理 2.1 の右辺の被積分関数が恒等的に零であるから、値は0 0 0
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) w = 2 H E G − F 2 w=2H\sqrt{EG-F^2} w = 2 H E G − F 2 H H H §E19.6 公式 2.3 の右辺が滑らかな関数の商であることによる）、E G − F 2 \sqrt{EG-F^2} E G − F 2 w w w U U U U U U φ \varphi φ 定義 1.1 のとおりK \mathcal{K} K 定理 2.1 が要求するD D D K \mathcal{K} K U U U K \mathcal{K} K R 2 ∖ U \mathbb{R}^2\setminus U R 2 ∖ U ρ \rho ρ U = R 2 U=\mathbb{R}^2 U = R 2 ρ / 2 \rho/2 ρ /2 K \mathcal{K} K K \mathcal{K} K U U U D D D 定理 2.1 により
∬ U w φ d u d v = 0 \iint_Uw\varphi\,du\,dv=0 ∬ U w φ d u d v = 0 である。φ \varphi φ U U U 補題 3.1 によりw ≡ 0 w\equiv0 w ≡ 0 E G − F 2 > 0 \sqrt{EG-F^2}>0 E G − F 2 > 0 H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 ▨
命題 3.5. W ⊆ R 2 W\subseteq\mathbb{R}^2 W ⊆ R 2 h : W → R h\colon W\to\mathbb{R} h : W → R M = { ( u , v , h ( u , v ) ) : ( u , v ) ∈ W } M=\{(u,v,h(u,v)):(u,v)\in W\} M = {( u , v , h ( u , v )) : ( u , v ) ∈ W } §E19.3 命題 2.1 によりM M M M M M W W W
( 1 + h v 2 ) h u u − 2 h u h v h u v + ( 1 + h u 2 ) h v v = 0 (1+h_v^{2})h_{uu}-2h_uh_vh_{uv}+(1+h_u^{2})h_{vv}=0 ( 1 + h v 2 ) h uu − 2 h u h v h uv + ( 1 + h u 2 ) h v v = 0 が成り立つこととは同値である。
証明. §E19.5 例 5.4 により、x ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v ) ) \boldsymbol{x}(u,v)=(u,v,h(u,v)) x ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v ))
E = 1 + h u 2 , F = h u h v , G = 1 + h v 2 , E G − F 2 = 1 + h u 2 + h v 2 E=1+h_u^2,\qquad F=h_uh_v,\qquad G=1+h_v^2,\qquad EG-F^2=1+h_u^2+h_v^2 E = 1 + h u 2 , F = h u h v , G = 1 + h v 2 , E G − F 2 = 1 + h u 2 + h v 2 であり、Ω = 1 + h u 2 + h v 2 \Omega=\sqrt{1+h_u^2+h_v^2} Ω = 1 + h u 2 + h v 2
e = h u u Ω , f = h u v Ω , g = h v v Ω e=\frac{h_{uu}}{\Omega},\qquad f=\frac{h_{uv}}{\Omega},\qquad g=\frac{h_{vv}}{\Omega} e = Ω h uu , f = Ω h uv , g = Ω h v v である。§E19.6 公式 2.3 により
H = e G − 2 f F + g E 2 ( E G − F 2 ) = ( 1 + h v 2 ) h u u − 2 h u h v h u v + ( 1 + h u 2 ) h v v 2 Ω 3 H=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}
=\frac{(1+h_v^2)h_{uu}-2h_uh_vh_{uv}+(1+h_u^2)h_{vv}}{2\Omega^{3}} H = 2 ( E G − F 2 ) e G − 2 f F + g E = 2 Ω 3 ( 1 + h v 2 ) h uu − 2 h u h v h uv + ( 1 + h u 2 ) h v v である。Ω > 0 \Omega>0 Ω > 0 H = 0 H=0 H = 0 0 0 0 ▨
4 極小曲面の例 例 4.1 (平面・懸垂面・常螺旋面). 平面 。p 0 ∈ R 3 p_0\in\mathbb{R}^3 p 0 ∈ R 3 w 1 , w 2 ∈ R 3 w_1,w_2\in\mathbb{R}^3 w 1 , w 2 ∈ R 3 x ( u , v ) = p 0 + u w 1 + v w 2 \boldsymbol{x}(u,v)=p_0+uw_1+vw_2 x ( u , v ) = p 0 + u w 1 + v w 2 p 0 p_0 p 0 w 1 , w 2 w_1,w_2 w 1 , w 2 x u = w 1 \boldsymbol{x}_u=w_1 x u = w 1 x v = w 2 \boldsymbol{x}_v=w_2 x v = w 2 §E19.5 命題 3.2 によりe = f = g = 0 e=f=g=0 e = f = g = 0 §E19.6 公式 2.3 によりH = 0 H=0 H = 0 K = 0 K=0 K = 0 h h h 命題 3.5 の左辺も恒等的に零になる。
懸垂面 。c > 0 c>0 c > 0
x ( u , v ) = ( c cosh u c cos v , c cosh u c sin v , u ) \boldsymbol{x}(u,v)=\Bigl(c\cosh\frac uc\cos v,\ c\cosh\frac uc\sin v,\ u\Bigr) x ( u , v ) = ( c cosh c u cos v , c cosh c u sin v , u ) と置く。§E19.6 命題 4.3 はH = 0 H=0 H = 0
x u = ( sinh u c cos v , sinh u c sin v , 1 ) , x v = ( − c cosh u c sin v , c cosh u c cos v , 0 ) \boldsymbol{x}_u=\Bigl(\sinh\frac uc\cos v,\ \sinh\frac uc\sin v,\ 1\Bigr),\qquad
\boldsymbol{x}_v=\Bigl(-c\cosh\frac uc\sin v,\ c\cosh\frac uc\cos v,\ 0\Bigr) x u = ( sinh c u cos v , sinh c u sin v , 1 ) , x v = ( − c cosh c u sin v , c cosh c u cos v , 0 ) であるから
E = sinh 2 u c + 1 = cosh 2 u c , F = 0 , G = c 2 cosh 2 u c E=\sinh^2\frac uc+1=\cosh^2\frac uc,\qquad F=0,\qquad G=c^2\cosh^2\frac uc E = sinh 2 c u + 1 = cosh 2 c u , F = 0 , G = c 2 cosh 2 c u である。ベクトル積は
x u × x v = c cosh u c ( − cos v , − sin v , sinh u c ) \boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v=c\cosh\frac uc\Bigl(-\cos v,\ -\sin v,\ \sinh\frac uc\Bigr) x u × x v = c cosh c u ( − cos v , − sin v , sinh c u ) であり、そのノルムはc cosh 2 ( u / c ) c\cosh^2(u/c) c cosh 2 ( u / c )
N = 1 cosh ( u / c ) ( − cos v , − sin v , sinh u c ) N=\frac{1}{\cosh(u/c)}\Bigl(-\cos v,\ -\sin v,\ \sinh\frac uc\Bigr) N = cosh ( u / c ) 1 ( − cos v , − sin v , sinh c u ) であり、水平成分が回転軸へ向かうので、回転軸へ向かう向きである。二階偏導関数は
x u u = ( 1 c cosh u c cos v , 1 c cosh u c sin v , 0 ) , x u v = ( − sinh u c sin v , sinh u c cos v , 0 ) , \boldsymbol{x}_{uu}=\Bigl(\tfrac1c\cosh\tfrac uc\cos v,\ \tfrac1c\cosh\tfrac uc\sin v,\ 0\Bigr),\quad
\boldsymbol{x}_{uv}=\Bigl(-\sinh\tfrac uc\sin v,\ \sinh\tfrac uc\cos v,\ 0\Bigr), x uu = ( c 1 cosh c u cos v , c 1 cosh c u sin v , 0 ) , x uv = ( − sinh c u sin v , sinh c u cos v , 0 ) , x v v = ( − c cosh u c cos v , − c cosh u c sin v , 0 ) \boldsymbol{x}_{vv}=\Bigl(-c\cosh\tfrac uc\cos v,\ -c\cosh\tfrac uc\sin v,\ 0\Bigr) x v v = ( − c cosh c u cos v , − c cosh c u sin v , 0 ) であるから、§E19.5 命題 3.2 により
e = − 1 c , f = 0 , g = c e=-\frac1c,\qquad f=0,\qquad g=c e = − c 1 , f = 0 , g = c である。よって§E19.6 公式 2.3 により
H = e G + g E 2 E G = − 1 c ⋅ c 2 cosh 2 u c + c cosh 2 u c 2 cosh 2 u c ⋅ c 2 cosh 2 u c = 0 , K = e g E G = − 1 c 2 cosh 4 u c H=\frac{eG+gE}{2EG}=\frac{-\frac1c\cdot c^2\cosh^2\frac uc+c\cosh^2\frac uc}{2\cosh^2\frac uc\cdot c^2\cosh^2\frac uc}=0,
\qquad
K=\frac{eg}{EG}=\frac{-1}{c^2\cosh^4\frac uc} H = 2 E G e G + g E = 2 cosh 2 c u ⋅ c 2 cosh 2 c u − c 1 ⋅ c 2 cosh 2 c u + c cosh 2 c u = 0 , K = E G e g = c 2 cosh 4 c u − 1 である。この結果は§E19.6 命題 4.3 の表と一致する 。
常螺旋面 。c > 0 c>0 c > 0 x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , c v ) \boldsymbol{x}(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ cv) x ( u , v ) = ( u cos v , u sin v , c v ) §E19.6 命題 4.3 の証明が
E = 1 , F = 0 , G = u 2 + c 2 , e = 0 , f = − c u 2 + c 2 , g = 0 E=1,\quad F=0,\quad G=u^2+c^2,\quad e=0,\quad f=\frac{-c}{\sqrt{u^2+c^2}},\quad g=0 E = 1 , F = 0 , G = u 2 + c 2 , e = 0 , f = u 2 + c 2 − c , g = 0 を計算しており、§E19.6 公式 2.3 によりH = ( 0 − 0 + 0 ) / ( 2 ( u 2 + c 2 ) ) = 0 H=(0-0+0)/(2(u^2+c^2))=0 H = ( 0 − 0 + 0 ) / ( 2 ( u 2 + c 2 )) = 0 F = 0 F=0 F = 0 e = g = 0 e=g=0 e = g = 0 F ≠ 0 F\ne0 F = 0 H = − f F / ( E G − F 2 ) H=-fF/(EG-F^2) H = − f F / ( E G − F 2 )
5 臨界点であることは面積の最小性を意味しない 極小曲面は面積汎関数の臨界点である。臨界点が最小点であるとは限らないことは、一変数の微分積分で見慣れた事実であり、面積汎関数でも同じである。ここでは、同じ境界を持つ二つの極小曲面であって面積が異なるものを具体的に構成する。
命題 5.1. r > 0 r>0 r > 0 h > 0 h>0 h > 0 τ = h / r \tau=h/r τ = h / r a > 0 a>0 a > 0
C a = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 = a cosh z a , ∣ z ∣ ≤ h } C_a=\Bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ \sqrt{x^2+y^2}=a\cosh\frac za,\ \lvert z\rvert\le h\Bigr\} C a = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 = a cosh a z , ∣ z ∣ ≤ h } と定める。C a C_a C a z = ± h z=\pm h z = ± h a cosh ( h / a ) a\cosh(h/a) a cosh ( h / a ) z z z z = 0 z=0 z = 0 x 2 + y 2 = a cosh ( ( z − z 0 ) / a ) \sqrt{x^2+y^2}=a\cosh\bigl((z-z_0)/a\bigr) x 2 + y 2 = a cosh ( ( z − z 0 ) / a ) ∣ z ∣ ≤ h \lvert z\rvert\le h ∣ z ∣ ≤ h z = h z=h z = h z = − h z=-h z = − h cosh ( ( h − z 0 ) / a ) = cosh ( ( h + z 0 ) / a ) \cosh\bigl((h-z_0)/a\bigr)=\cosh\bigl((h+z_0)/a\bigr) cosh ( ( h − z 0 ) / a ) = cosh ( ( h + z 0 ) / a ) ∣ h − z 0 ∣ = ∣ h + z 0 ∣ \lvert h-z_0\rvert=\lvert h+z_0\rvert ∣ h − z 0 ∣ = ∣ h + z 0 ∣ h > 0 h>0 h > 0 z 0 = 0 z_0=0 z 0 = 0
ψ ( t ) = t cosh t , ρ ( t ) = t + sinh t cosh t cosh 2 t ( t > 0 ) \psi(t)=\frac{t}{\cosh t},\qquad \rho(t)=\frac{t+\sinh t\cosh t}{\cosh^2t}\qquad(t>0) ψ ( t ) = cosh t t , ρ ( t ) = cosh 2 t t + sinh t cosh t ( t > 0 ) と置く。
t tanh t = 1 t\tanh t=1 t tanh t = 1 t ∗ t^{*} t ∗ ψ \psi ψ ( 0 , t ∗ ] (0,t^{*}] ( 0 , t ∗ ] [ t ∗ , ∞ ) [t^{*},\infty) [ t ∗ , ∞ ) ψ ( 0 + ) = 0 \psi(0^{+})=0 ψ ( 0 + ) = 0 ψ ( ∞ ) = 0 \psi(\infty)=0 ψ ( ∞ ) = 0 τ ∗ = ψ ( t ∗ ) \tau^{*}=\psi(t^{*}) τ ∗ = ψ ( t ∗ ) C a C_a C a r r r ψ ( h / a ) = τ \psi(h/a)=\tau ψ ( h / a ) = τ a > 0 a>0 a > 0 τ > τ ∗ \tau>\tau^{*} τ > τ ∗ τ = τ ∗ \tau=\tau^{*} τ = τ ∗ 0 < τ < τ ∗ 0<\tau<\tau^{*} 0 < τ < τ ∗ t = h / a t=h/a t = h / a C a C_a C a 2 π a 2 ( t + sinh t cosh t ) 2\pi a^{2}\bigl(t+\sinh t\cosh t\bigr) 2 π a 2 ( t + sinh t cosh t ) C a C_a C a r r r 2 π r 2 ρ ( t ) 2\pi r^{2}\rho(t) 2 π r 2 ρ ( t ) 0 < τ < τ ∗ 0<\tau<\tau^{*} 0 < τ < τ ∗ t 1 < t ∗ < t 2 t_1<t^{*}<t_2 t 1 < t ∗ < t 2 ρ ( t 2 ) > ρ ( t 1 ) \rho(t_2)>\rho(t_1) ρ ( t 2 ) > ρ ( t 1 ) a i = h / t i a_i=h/t_i a i = h / t i a 2 < a 1 a_2<a_1 a 2 < a 1 a a a C a C_a C a z = 0 z=0 z = 0 首の細いほうが面積が大きい 。 証明. まずC a C_a C a φ ( u ) = a cosh ( u / a ) \varphi(u)=a\cosh(u/a) φ ( u ) = a cosh ( u / a ) Ψ ( u ) = u \Psi(u)=u Ψ ( u ) = u φ > 0 \varphi>0 φ > 0 φ ′ 2 + Ψ ′ 2 = sinh 2 ( u / a ) + 1 > 0 \varphi'^2+\Psi'^2=\sinh^2(u/a)+1>0 φ ′2 + Ψ ′2 = sinh 2 ( u / a ) + 1 > 0 u ↦ ( a cosh ( u / a ) , u ) u\mapsto\bigl(a\cosh(u/a),\ u\bigr) u ↦ ( a cosh ( u / a ) , u ) u u u §E19.4 命題 6.1 により
x ( u , v ) = ( a cosh u a cos v , a cosh u a sin v , u ) \boldsymbol{x}(u,v)=\Bigl(a\cosh\tfrac ua\cos v,\ a\cosh\tfrac ua\sin v,\ u\Bigr) x ( u , v ) = ( a cosh a u cos v , a cosh a u sin v , u ) は正則パラメータ表示を与え、
E = cosh 2 u a , F = 0 , G = a 2 cosh 2 u a , E G − F 2 = a cosh 2 u a E=\cosh^2\frac ua,\qquad F=0,\qquad G=a^2\cosh^2\frac ua,\qquad
\sqrt{EG-F^2}=a\cosh^2\frac ua E = cosh 2 a u , F = 0 , G = a 2 cosh 2 a u , E G − F 2 = a cosh 2 a u である。C a C_a C a §E19.4 定義 5.1 の値のv v v
A ( C a ) = ∫ 0 2 π ∫ − h h a cosh 2 u a d u d v A(C_a)=\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-h}^{h}a\cosh^2\frac ua\,du\,dv A ( C a ) = ∫ 0 2 π ∫ − h h a cosh 2 a u d u d v で定める。境界の二円の半径がφ ( ± h ) = a cosh ( h / a ) \varphi(\pm h)=a\cosh(h/a) φ ( ± h ) = a cosh ( h / a )
(1) を示す。g ( t ) = cosh t − t sinh t g(t)=\cosh t-t\sinh t g ( t ) = cosh t − t sinh t g ( 0 ) = 1 > 0 g(0)=1>0 g ( 0 ) = 1 > 0 g ′ ( t ) = − t cosh t < 0 g'(t)=-t\cosh t<0 g ′ ( t ) = − t cosh t < 0 t > 0 t>0 t > 0 g g g ( 0 , ∞ ) (0,\infty) ( 0 , ∞ ) t → ∞ t\to\infty t → ∞ g ( t ) → − ∞ g(t)\to-\infty g ( t ) → − ∞ g g g t ∗ t^{*} t ∗ g ( t ) = 0 g(t)=0 g ( t ) = 0 cosh t = t sinh t \cosh t=t\sinh t cosh t = t sinh t t tanh t = 1 t\tanh t=1 t tanh t = 1
ψ ′ ( t ) = cosh t − t sinh t cosh 2 t = g ( t ) cosh 2 t \psi'(t)=\frac{\cosh t-t\sinh t}{\cosh^2t}=\frac{g(t)}{\cosh^2t} ψ ′ ( t ) = cosh 2 t cosh t − t sinh t = cosh 2 t g ( t ) であるから、ψ ′ \psi' ψ ′ g g g ψ \psi ψ ( 0 , t ∗ ] (0,t^{*}] ( 0 , t ∗ ] [ t ∗ , ∞ ) [t^{*},\infty) [ t ∗ , ∞ ) ψ ( t ) → 0 \psi(t)\to0 ψ ( t ) → 0 t → 0 + t\to0^{+} t → 0 + t → ∞ t\to\infty t → ∞
(2) を示す。境界の半径がr r r a cosh ( h / a ) = r a\cosh(h/a)=r a cosh ( h / a ) = r t = h / a t=h/a t = h / a a = h / t a=h/t a = h / t
h t cosh t = r , すなわち t cosh t = h r = τ \frac ht\cosh t=r,\qquad\text{すなわち}\qquad \frac{t}{\cosh t}=\frac hr=\tau t h cosh t = r , すなわち cosh t t = r h = τ と同値である。a > 0 a>0 a > 0 t > 0 t>0 t > 0 ψ ( t ) = τ \psi(t)=\tau ψ ( t ) = τ (1) により、ψ \psi ψ ( 0 , t ∗ ] (0,t^{*}] ( 0 , t ∗ ] 0 0 0 τ ∗ \tau^{*} τ ∗ [ t ∗ , ∞ ) [t^{*},\infty) [ t ∗ , ∞ ) τ ∗ \tau^{*} τ ∗ 0 0 0 τ > τ ∗ \tau>\tau^{*} τ > τ ∗ τ = τ ∗ \tau=\tau^{*} τ = τ ∗ t ∗ t^{*} t ∗ 0 < τ < τ ∗ 0<\tau<\tau^{*} 0 < τ < τ ∗
(3) を示す。∫ cosh 2 u a d u = a 2 ( u a + sinh u a cosh u a ) \displaystyle\int\cosh^2\frac ua\,du=\frac a2\Bigl(\frac ua+\sinh\frac ua\cosh\frac ua\Bigr) ∫ cosh 2 a u d u = 2 a ( a u + sinh a u cosh a u )
∫ − h h a cosh 2 u a d u = a ⋅ a ( t + sinh t cosh t ) = a 2 ( t + sinh t cosh t ) \int_{-h}^{h}a\cosh^2\frac ua\,du=a\cdot a\bigl(t+\sinh t\cosh t\bigr)=a^2\bigl(t+\sinh t\cosh t\bigr) ∫ − h h a cosh 2 a u d u = a ⋅ a ( t + sinh t cosh t ) = a 2 ( t + sinh t cosh t ) である。ここでt = h / a t=h/a t = h / a A ( C a ) = 2 π a 2 ( t + sinh t cosh t ) A(C_a)=2\pi a^2(t+\sinh t\cosh t) A ( C a ) = 2 π a 2 ( t + sinh t cosh t ) r r r r = a cosh t r=a\cosh t r = a cosh t a = r / cosh t a=r/\cosh t a = r / cosh t
A ( C a ) = 2 π r 2 ⋅ t + sinh t cosh t cosh 2 t = 2 π r 2 ρ ( t ) A(C_a)=2\pi r^2\cdot\frac{t+\sinh t\cosh t}{\cosh^2t}=2\pi r^2\rho(t) A ( C a ) = 2 π r 2 ⋅ cosh 2 t t + sinh t cosh t = 2 π r 2 ρ ( t ) である。
(4) を示す。N ( t ) = t + sinh t cosh t N(t)=t+\sinh t\cosh t N ( t ) = t + sinh t cosh t D ( t ) = cosh 2 t D(t)=\cosh^2t D ( t ) = cosh 2 t N ′ ( t ) = 1 + cosh 2 t = 2 cosh 2 t N'(t)=1+\cosh2t=2\cosh^2t N ′ ( t ) = 1 + cosh 2 t = 2 cosh 2 t D ′ ( t ) = 2 cosh t sinh t D'(t)=2\cosh t\sinh t D ′ ( t ) = 2 cosh t sinh t
ρ ′ ( t ) = 2 cosh 4 t − 2 cosh t sinh t ( t + sinh t cosh t ) cosh 4 t = 2 ( cosh t ( cosh 2 t − sinh 2 t ) − t sinh t ) cosh 3 t = 2 g ( t ) cosh 3 t \rho'(t)=\frac{2\cosh^4t-2\cosh t\sinh t\,(t+\sinh t\cosh t)}{\cosh^4t}
=\frac{2\bigl(\cosh t(\cosh^2t-\sinh^2t)-t\sinh t\bigr)}{\cosh^3t}
=\frac{2g(t)}{\cosh^3t} ρ ′ ( t ) = cosh 4 t 2 cosh 4 t − 2 cosh t sinh t ( t + sinh t cosh t ) = cosh 3 t 2 ( cosh t ( cosh 2 t − sinh 2 t ) − t sinh t ) = cosh 3 t 2 g ( t ) である。したがって
ρ ′ ( t ) = 2 cosh t ψ ′ ( t ) \rho'(t)=\frac{2}{\cosh t}\,\psi'(t) ρ ′ ( t ) = cosh t 2 ψ ′ ( t ) が( 0 , ∞ ) (0,\infty) ( 0 , ∞ )
ψ \psi ψ [ t ∗ , ∞ ) [t^{*},\infty) [ t ∗ , ∞ ) ( 0 , τ ∗ ] (0,\tau^{*}] ( 0 , τ ∗ ] ( t ∗ , ∞ ) (t^{*},\infty) ( t ∗ , ∞ ) ψ ′ < 0 \psi'<0 ψ ′ < 0 μ : ( 0 , τ ∗ ) → ( t ∗ , ∞ ) \mu\colon(0,\tau^{*})\to(t^{*},\infty) μ : ( 0 , τ ∗ ) → ( t ∗ , ∞ ) C ∞ C^{\infty} C ∞ v → τ ∗ − v\to\tau^{*-} v → τ ∗− μ ( v ) → t ∗ \mu(v)\to t^{*} μ ( v ) → t ∗ σ = μ ∘ ψ ∣ ( 0 , t ∗ ) \sigma=\mu\circ\psi|_{(0,t^{*})} σ = μ ∘ ψ ∣ ( 0 , t ∗ ) σ : ( 0 , t ∗ ) → ( t ∗ , ∞ ) \sigma\colon(0,t^{*})\to(t^{*},\infty) σ : ( 0 , t ∗ ) → ( t ∗ , ∞ ) C ∞ C^{\infty} C ∞ ψ ( σ ( t ) ) = ψ ( t ) \psi(\sigma(t))=\psi(t) ψ ( σ ( t )) = ψ ( t ) σ ( t ) \sigma(t) σ ( t ) t t t τ \tau τ
Δ ( t ) = ρ ( σ ( t ) ) − ρ ( t ) \Delta(t)=\rho(\sigma(t))-\rho(t) Δ ( t ) = ρ ( σ ( t )) − ρ ( t ) ψ ( σ ( t ) ) = ψ ( t ) \psi(\sigma(t))=\psi(t) ψ ( σ ( t )) = ψ ( t ) ψ ′ ( σ ( t ) ) σ ′ ( t ) = ψ ′ ( t ) \psi'(\sigma(t))\sigma'(t)=\psi'(t) ψ ′ ( σ ( t )) σ ′ ( t ) = ψ ′ ( t )
Δ ′ ( t ) = ρ ′ ( σ ( t ) ) σ ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) = 2 cosh σ ( t ) ψ ′ ( σ ( t ) ) σ ′ ( t ) − 2 cosh t ψ ′ ( t ) = ψ ′ ( t ) ( 2 cosh σ ( t ) − 2 cosh t ) \Delta'(t)=\rho'(\sigma(t))\sigma'(t)-\rho'(t)
=\frac{2}{\cosh\sigma(t)}\psi'(\sigma(t))\sigma'(t)-\frac{2}{\cosh t}\psi'(t)
=\psi'(t)\left(\frac{2}{\cosh\sigma(t)}-\frac{2}{\cosh t}\right) Δ ′ ( t ) = ρ ′ ( σ ( t )) σ ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) = cosh σ ( t ) 2 ψ ′ ( σ ( t )) σ ′ ( t ) − cosh t 2 ψ ′ ( t ) = ψ ′ ( t ) ( cosh σ ( t ) 2 − cosh t 2 ) である。t ∈ ( 0 , t ∗ ) t\in(0,t^{*}) t ∈ ( 0 , t ∗ ) ψ ′ ( t ) > 0 \psi'(t)>0 ψ ′ ( t ) > 0 σ ( t ) > t ∗ > t \sigma(t)>t^{*}>t σ ( t ) > t ∗ > t cosh σ ( t ) > cosh t \cosh\sigma(t)>\cosh t cosh σ ( t ) > cosh t Δ ′ < 0 \Delta'<0 Δ ′ < 0 ( 0 , t ∗ ) (0,t^{*}) ( 0 , t ∗ )
t → t ∗ − t\to t^{*-} t → t ∗− ψ ( t ) → τ ∗ − \psi(t)\to\tau^{*-} ψ ( t ) → τ ∗− σ ( t ) → t ∗ \sigma(t)\to t^{*} σ ( t ) → t ∗ ρ \rho ρ Δ ( t ) → ρ ( t ∗ ) − ρ ( t ∗ ) = 0 \Delta(t)\to\rho(t^{*})-\rho(t^{*})=0 Δ ( t ) → ρ ( t ∗ ) − ρ ( t ∗ ) = 0 Δ \Delta Δ ( 0 , t ∗ ) (0,t^{*}) ( 0 , t ∗ ) 0 0 0 ( 0 , t ∗ ) (0,t^{*}) ( 0 , t ∗ ) Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 t 2 = σ ( t 1 ) t_2=\sigma(t_1) t 2 = σ ( t 1 ) ρ ( t 2 ) > ρ ( t 1 ) \rho(t_2)>\rho(t_1) ρ ( t 2 ) > ρ ( t 1 )
t 1 < t 2 t_1<t_2 t 1 < t 2 a 1 = h / t 1 > h / t 2 = a 2 a_1=h/t_1>h/t_2=a_2 a 1 = h / t 1 > h / t 2 = a 2 C a C_a C a z = 0 z=0 z = 0 a cosh 0 = a a\cosh0=a a cosh 0 = a ∣ z ∣ ≤ h \lvert z\rvert\le h ∣ z ∣ ≤ h a cosh ( z / a ) a\cosh(z/a) a cosh ( z / a ) a a a ▨
定理 5.2. r > 0 r>0 r > 0 h > 0 h>0 h > 0 0 < h / r < τ ∗ 0<h/r<\tau^{*} 0 < h / r < τ ∗ z = ± h z=\pm h z = ± h r r r z z z C a C_a C a 命題 5.1 ）はちょうど二つ存在し、それらをC a 1 C_{a_1} C a 1 a 1 a_1 a 1 C a 2 C_{a_2} C a 2 a 2 a_2 a 2
C a 1 C_{a_1} C a 1 C a 2 C_{a_2} C a 2 定義 3.2 の意味でH ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 A ( C a 2 ) > A ( C a 1 ) A(C_{a_2})>A(C_{a_1}) A ( C a 2 ) > A ( C a 1 ) したがってC a 2 C_{a_2} C a 2 C a 1 C_{a_1} C a 1
極小曲面であることから面積の最小性は従わない 。
証明. (1) を示す。C a C_a C a 例 4.1 の懸垂面の∣ z ∣ ≤ h \lvert z\rvert\le h ∣ z ∣ ≤ h H ≡ 0 H\equiv0 H ≡ 0 例 4.1 のc c c a a a
(2) を示す。命題 5.1 (3) によりA ( C a i ) = 2 π r 2 ρ ( t i ) A(C_{a_i})=2\pi r^2\rho(t_i) A ( C a i ) = 2 π r 2 ρ ( t i ) 命題 5.1 (4) によりρ ( t 2 ) > ρ ( t 1 ) \rho(t_2)>\rho(t_1) ρ ( t 2 ) > ρ ( t 1 )
(3) を示す。C a 1 C_{a_1} C a 1 C a 2 C_{a_2} C a 2 命題 5.1 (2) ）、面積は真に小さい。したがってC a 2 C_{a_2} C a 2 ▨
6 演習 問題 6.1.
補題 1.2 (1) の計算を再現する。( x t ) u (\boldsymbol{x}_t)_u ( x t ) u E t E_t E t t φ u N t\varphi_uN t φ u N 補題 1.2 (2) で§E19.5 定理 2.1 を用いた箇所を特定する。自己共役性が成り立たない場合にF t F_t F t ∂ t W t ∣ t = 0 \partial_tW_t|_{t=0} ∂ t W t ∣ t = 0 定理 2.1 の証明のうち、被積分関数の差ψ \psi ψ R 2 \mathbb{R}^2 R 2 U U U U U U 定理 2.1 の証明で§E19.8 補題 2.1 を二度適用した。二度目の適用のためにη \eta η ∂ t η \partial_t\eta ∂ t η 例 2.3 の検算を、単位法線を内向きに取った場合について書き直す。H H H x t \boldsymbol{x}_t x t 定理 3.4 (1) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) 補題 3.1 を適用するために確かめたw w w 命題 3.5 を用いて、h ( u , v ) = log ( cos v / cos u ) h(u,v)=\log\bigl(\cos v/\cos u\bigr) h ( u , v ) = log ( cos v / cos u ) 例 4.1 の三つの例のいずれとも一致しないことを述べる。命題 5.1 (4) の証明を再現する。Δ \Delta Δ ( 0 , t ∗ ) (0,t^{*}) ( 0 , t ∗ ) 0 0 0 定理 5.2 の主張を、「極小曲面は面積を最小にする」という誤った命題の反例として述べ直す。反例としてh / r > τ ∗ h/r>\tau^{*} h / r > τ ∗ 注意 5.3 に即して述べる。 7 境界と次 法方向の変分だけを扱ったこと 。定義 1.1 は変分をx + t φ N \boldsymbol{x}+t\varphi N x + tφN
面積の最小性を主張しないこと 。定理 3.4 が示したのは、極小曲面が面積汎関数の臨界点であることだけである。定理 5.2 は、臨界点が最小点でない具体例を与えている。臨界点が極小であるかどうかは第二変分によって判定され、安定性の概念がそこから定まる。第二変分、安定性、極小曲面の存在、正則性、Weierstrass 表現および Plateau 問題は「Riemann 幾何 II」が扱う。汎関数の下限が達成されることを示す直接法、下半連続性および弱コンパクト性は「変分法」が扱う。
存在を扱わないこと 。本記事は、与えられた曲面が極小であるかどうかを判定する道具と、極小曲面の具体例を与えた。与えた境界に対して極小曲面が存在するかどうかは別の問題であり、命題 5.1 (2) は、回転面という限られた族の中でさえ存在が条件つきであることを示している。
次の記事へ渡すもの 。定理 2.1 と定義 3.2 は、「Dirichlet エネルギーと調和写像」が用いる。そこでは、等温座標が与えられているという仮定のもとで、共形なはめ込みが調和であることと平均曲率が零であることが同値であることが示される。命題 3.5 は「極小曲面と調和性の計算実験」が数値的に残差を評価する対象である。§E19.6 定義 3.3 の漸近方向を用いた別の話題、すなわち Gauss 曲率が負の定数である曲面は「負曲率曲面と sine–Gordon 方程式」が扱う。