1 測地線 定義 1.1. I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M γ \gamma γ 測地線 (geodesic )I I I
D γ ′ d t = 0 \frac{D\gamma'}{dt}=0 d t D γ ′ = 0 が成り立つこと、すなわち速度ベクトル場γ ′ \gamma' γ ′ γ \gamma γ §E19.7 定義 6.4 ）をいう。チャート( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) γ \gamma γ ( u 1 ( t ) , u 2 ( t ) ) (u^1(t),u^2(t)) ( u 1 ( t ) , u 2 ( t )) §E19.7 命題 6.2 の表示により、この条件はγ − 1 ( U ) \gamma^{-1}(U) γ − 1 ( U )
u ¨ k + ∑ i , j = 1 2 Γ i j k ( γ ( t ) ) u ˙ i u ˙ j = 0 ( k = 1 , 2 ) \ddot u^k+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\dot u^i\,\dot u^j=0\qquad(k=1,2) u ¨ k + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k ( γ ( t ) ) u ˙ i u ˙ j = 0 ( k = 1 , 2 ) と同値である。
命題 1.2.
定速性 。γ \gamma γ ∥ γ ′ ∥ \lVert\gamma'\rVert ∥ γ ′ ∥
局所的な一意存在 。p ∈ M p\in M p ∈ M X ∈ T p M X\in T_pM X ∈ T p M δ > 0 \delta>0 δ > 0 γ : ( − δ , δ ) → M \gamma:(-\delta,\delta)\to M γ : ( − δ , δ ) → M γ ( 0 ) = p \gamma(0)=p γ ( 0 ) = p γ ′ ( 0 ) = X \gamma'(0)=X γ ′ ( 0 ) = X 0 0 0
証明. (1) を示す。§E19.7 命題 6.3 により
d d t I ( γ ′ , γ ′ ) = 2 I ( D γ ′ d t , γ ′ ) = 0 \frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(\gamma',\gamma')=2\,\mathrm{I}\left(\frac{D\gamma'}{dt},\gamma'\right)=0 d t d I ( γ ′ , γ ′ ) = 2 I ( d t D γ ′ , γ ′ ) = 0 であるからI ( γ ′ , γ ′ ) \mathrm{I}(\gamma',\gamma') I ( γ ′ , γ ′ ) ∥ γ ′ ∥ \lVert\gamma'\rVert ∥ γ ′ ∥
(2) を示す。p p p ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) φ : U → φ ( U ) ⊆ R 2 \varphi:U\to\varphi(U)\subseteq\mathbb{R}^2 φ : U → φ ( U ) ⊆ R 2 V = φ ( U ) × R 2 ⊆ R 4 V=\varphi(U)\times\mathbb{R}^2\subseteq\mathbb{R}^4 V = φ ( U ) × R 2 ⊆ R 4 定義 1.1 の二階の方程式を、未知関数y = ( u 1 , u 2 , w 1 , w 2 ) y=(u^1,u^2,w^1,w^2) y = ( u 1 , u 2 , w 1 , w 2 )
y ′ = F ( y ) , F ( u , w ) = ( w 1 , w 2 , − ∑ i , j = 1 2 Γ i j 1 w i w j , − ∑ i , j = 1 2 Γ i j 2 w i w j ) y'=F(y),\qquad
F(u,w)=\left(w^1,\ w^2,\ -\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^1_{ij}\,w^iw^j,\ -\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^2_{ij}\,w^iw^j\right) y ′ = F ( y ) , F ( u , w ) = ( w 1 , w 2 , − i , j = 1 ∑ 2 Γ ij 1 w i w j , − i , j = 1 ∑ 2 Γ ij 2 w i w j ) へ書き直す。ここでΓ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k u u u §E19.7 定理 3.3 によりΓ i j k \Gamma^k_{ij} Γ ij k C ∞ C^\infty C ∞ F : V → R 4 F:V\to\mathbb{R}^4 F : V → R 4 C ∞ C^\infty C ∞ C 1 C^1 C 1 §E17.6 補題 1.3 により、y 0 = ( φ ( p ) , X y_0=(\varphi(p),X y 0 = ( φ ( p ) , X ) ) ) B ‾ ( y 0 , b ) ⊆ V \overline{B}(y_0,b)\subseteq V B ( y 0 , b ) ⊆ V F F F L L L Ω = R × V \Omega=\mathbb{R}\times V Ω = R × V R = [ − a , a ] × B ‾ ( y 0 , b ) ⊆ Ω R=[-a,a]\times\overline{B}(y_0,b)\subseteq\Omega R = [ − a , a ] × B ( y 0 , b ) ⊆ Ω F F F t t t R R R §E10.4 系 4.1 の仮定が満たされる。同定理により局所解が存在し、初期値を共有する二つの局所解は0 0 0 C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ ▨
2 積分記号下の微分 第一変分の計算は、径数s s s
補題 2.1. a < b a<b a < b J ⊆ R J\subseteq\mathbb{R} J ⊆ R n n n F : [ a , b ] × J → R n F:[a,b]\times J\to\mathbb{R}^n F : [ a , b ] × J → R n
F F F 偏導関数∂ F ∂ s \dfrac{\partial F}{\partial s} ∂ s ∂ F [ a , b ] × J [a,b]\times J [ a , b ] × J [ a , b ] × J [a,b]\times J [ a , b ] × J
このとき
φ ( s ) = ∫ a b F ( t , s ) d t \varphi(s)=\int_a^bF(t,s)\,dt φ ( s ) = ∫ a b F ( t , s ) d t はJ J J C 1 C^1 C 1 s ∈ J s\in J s ∈ J
φ ′ ( s ) = ∫ a b ∂ F ∂ s ( t , s ) d t \varphi'(s)=\int_a^b\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)\,dt φ ′ ( s ) = ∫ a b ∂ s ∂ F ( t , s ) d t が成り立つ。
証明. 各成分について示せば足りるので、n = 1 n=1 n = 1
φ \varphi φ s ∈ J s\in J s ∈ J t ↦ F ( t , s ) t\mapsto F(t,s) t ↦ F ( t , s ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] φ ( s ) \varphi(s) φ ( s )
微分可能性を示す 。s 0 ∈ J s_0\in J s 0 ∈ J [ s 0 − δ , s 0 + δ ] ⊆ J [s_0-\delta,s_0+\delta]\subseteq J [ s 0 − δ , s 0 + δ ] ⊆ J δ > 0 \delta>0 δ > 0 K = [ a , b ] × [ s 0 − δ , s 0 + δ ] K=[a,b]\times[s_0-\delta,s_0+\delta] K = [ a , b ] × [ s 0 − δ , s 0 + δ ] ∂ F / ∂ s \partial F/\partial s ∂ F / ∂ s K K K h > 0 h>0 h > 0
ω ( h ) = sup { ∣ ∂ F ∂ s ( t , s ) − ∂ F ∂ s ( t , s ′ ) ∣ : t ∈ [ a , b ] , s , s ′ ∈ [ s 0 − δ , s 0 + δ ] , ∣ s − s ′ ∣ ≤ h } \omega(h)=\sup\left\{\left|\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)-\frac{\partial F}{\partial s}(t,s')\right|:\ t\in[a,b],\ s,s'\in[s_0-\delta,s_0+\delta],\ |s-s'|\le h\right\} ω ( h ) = sup { ∂ s ∂ F ( t , s ) − ∂ s ∂ F ( t , s ′ ) : t ∈ [ a , b ] , s , s ′ ∈ [ s 0 − δ , s 0 + δ ] , ∣ s − s ′ ∣ ≤ h } と置くと、一様連続性によりh → 0 + h\to0^{+} h → 0 + ω ( h ) → 0 \omega(h)\to0 ω ( h ) → 0
0 < ∣ h ∣ ≤ δ 0<|h|\le\delta 0 < ∣ h ∣ ≤ δ t ∈ [ a , b ] t\in[a,b] t ∈ [ a , b ] s ↦ F ( t , s ) s\mapsto F(t,s) s ↦ F ( t , s ) s 0 s_0 s 0 s 0 + h s_0+h s 0 + h θ = θ ( t , h ) ∈ ( 0 , 1 ) \theta=\theta(t,h)\in(0,1) θ = θ ( t , h ) ∈ ( 0 , 1 )
F ( t , s 0 + h ) − F ( t , s 0 ) h = ∂ F ∂ s ( t , s 0 + θ h ) \frac{F(t,s_0+h)-F(t,s_0)}{h}=\frac{\partial F}{\partial s}\bigl(t,s_0+\theta h\bigr) h F ( t , s 0 + h ) − F ( t , s 0 ) = ∂ s ∂ F ( t , s 0 + θ h ) が成り立つ。したがって、各t t t
∣ F ( t , s 0 + h ) − F ( t , s 0 ) h − ∂ F ∂ s ( t , s 0 ) ∣ ≤ ω ( ∣ h ∣ ) \left|\frac{F(t,s_0+h)-F(t,s_0)}{h}-\frac{\partial F}{\partial s}(t,s_0)\right|\le\omega(|h|) h F ( t , s 0 + h ) − F ( t , s 0 ) − ∂ s ∂ F ( t , s 0 ) ≤ ω ( ∣ h ∣ ) である。左辺の中身はt t t
∣ φ ( s 0 + h ) − φ ( s 0 ) h − ∫ a b ∂ F ∂ s ( t , s 0 ) d t ∣ ≤ ∫ a b ω ( ∣ h ∣ ) d t = ( b − a ) ω ( ∣ h ∣ ) \left|\frac{\varphi(s_0+h)-\varphi(s_0)}{h}-\int_a^b\frac{\partial F}{\partial s}(t,s_0)\,dt\right|
\le\int_a^b\omega(|h|)\,dt=(b-a)\,\omega(|h|) h φ ( s 0 + h ) − φ ( s 0 ) − ∫ a b ∂ s ∂ F ( t , s 0 ) d t ≤ ∫ a b ω ( ∣ h ∣ ) d t = ( b − a ) ω ( ∣ h ∣ ) を得る。右辺はh → 0 h\to0 h → 0 0 0 0 φ \varphi φ s 0 s_0 s 0 φ ′ ( s 0 ) = ∫ a b ∂ s F ( t , s 0 ) d t \varphi'(s_0)=\int_a^b\partial_sF(t,s_0)\,dt φ ′ ( s 0 ) = ∫ a b ∂ s F ( t , s 0 ) d t
導関数が連続であることを示す 。s , s ′ ∈ [ s 0 − δ , s 0 + δ ] s,s'\in[s_0-\delta,s_0+\delta] s , s ′ ∈ [ s 0 − δ , s 0 + δ ]
∣ φ ′ ( s ) − φ ′ ( s ′ ) ∣ ≤ ∫ a b ∣ ∂ F ∂ s ( t , s ) − ∂ F ∂ s ( t , s ′ ) ∣ d t ≤ ( b − a ) ω ( ∣ s − s ′ ∣ ) |\varphi'(s)-\varphi'(s')|\le\int_a^b\left|\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)-\frac{\partial F}{\partial s}(t,s')\right|dt\le(b-a)\,\omega(|s-s'|) ∣ φ ′ ( s ) − φ ′ ( s ′ ) ∣ ≤ ∫ a b ∂ s ∂ F ( t , s ) − ∂ s ∂ F ( t , s ′ ) d t ≤ ( b − a ) ω ( ∣ s − s ′ ∣ ) である。ω ( h ) → 0 \omega(h)\to0 ω ( h ) → 0 φ ′ \varphi' φ ′ s 0 s_0 s 0 s 0 ∈ J s_0\in J s 0 ∈ J φ \varphi φ J J J C 1 C^1 C 1 ▨
3 変分の族 定義 3.1. I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M [ a , b ] ⊆ I [a,b]\subseteq I [ a , b ] ⊆ I γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] 変分 (variation )ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0
α : I × ( − ε , ε ) → M , α ( t , 0 ) = γ ( t ) \alpha:I\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to M,\qquad \alpha(t,0)=\gamma(t) α : I × ( − ε , ε ) → M , α ( t , 0 ) = γ ( t ) の組をいう。V ( t ) = ∂ s α ( t , 0 ) V(t)=\partial_s\alpha(t,0) V ( t ) = ∂ s α ( t , 0 ) α \alpha α 変分場 (variation field )V V V γ \gamma γ s ∈ ( − ε , ε ) s\in(-\varepsilon,\varepsilon) s ∈ ( − ε , ε ) α ( a , s ) = γ ( a ) \alpha(a,s)=\gamma(a) α ( a , s ) = γ ( a ) α ( b , s ) = γ ( b ) \alpha(b,s)=\gamma(b) α ( b , s ) = γ ( b ) α \alpha α 端点を固定する (fixed-endpoint variation )V ( a ) = V ( b ) = 0 V(a)=V(b)=0 V ( a ) = V ( b ) = 0
定義 3.2. A ⊆ R 2 A\subseteq\mathbb{R}^2 A ⊆ R 2 α : A → M \alpha:A\to M α : A → M α \alpha α に沿うベクトル場 (vector field along a map )( t , s ) ∈ A (t,s)\in A ( t , s ) ∈ A W ( t , s ) ∈ T α ( t , s ) M W(t,s)\in T_{\alpha(t,s)}M W ( t , s ) ∈ T α ( t , s ) M C ∞ C^\infty C ∞ s s s t ↦ α ( t , s ) t\mapsto\alpha(t,s) t ↦ α ( t , s ) ∇ t W \nabla_tW ∇ t W t t t s ↦ α ( t , s ) s\mapsto\alpha(t,s) s ↦ α ( t , s ) ∇ s W \nabla_sW ∇ s W ∂ t α \partial_t\alpha ∂ t α ∂ s α \partial_s\alpha ∂ s α α \alpha α
§E19.7 命題 6.3 を、s s s t t t α \alpha α V , W V,W V , W
∂ t I ( V , W ) = I ( ∇ t V , W ) + I ( V , ∇ t W ) , ∂ s I ( V , W ) = I ( ∇ s V , W ) + I ( V , ∇ s W ) \partial_t\,\mathrm{I}(V,W)=\mathrm{I}(\nabla_tV,W)+\mathrm{I}(V,\nabla_tW),\qquad
\partial_s\,\mathrm{I}(V,W)=\mathrm{I}(\nabla_sV,W)+\mathrm{I}(V,\nabla_sW) ∂ t I ( V , W ) = I ( ∇ t V , W ) + I ( V , ∇ t W ) , ∂ s I ( V , W ) = I ( ∇ s V , W ) + I ( V , ∇ s W ) が成り立つ。
補題 3.3. A ⊆ R 2 A\subseteq\mathbb{R}^2 A ⊆ R 2 α : A → M \alpha:A\to M α : A → M A A A
∇ s ∂ t α = ∇ t ∂ s α \nabla_s\,\partial_t\alpha=\nabla_t\,\partial_s\alpha ∇ s ∂ t α = ∇ t ∂ s α が成り立つ。
証明. 主張は局所的であるから、チャート( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) α − 1 ( U ) \alpha^{-1}(U) α − 1 ( U ) α \alpha α u k ( t , s ) u^k(t,s) u k ( t , s )
∂ t α = ∑ j = 1 2 ∂ u j ∂ t ∂ j , ∂ s α = ∑ j = 1 2 ∂ u j ∂ s ∂ j \partial_t\alpha=\sum_{j=1}^{2}\frac{\partial u^j}{\partial t}\,\partial_j,\qquad
\partial_s\alpha=\sum_{j=1}^{2}\frac{\partial u^j}{\partial s}\,\partial_j ∂ t α = j = 1 ∑ 2 ∂ t ∂ u j ∂ j , ∂ s α = j = 1 ∑ 2 ∂ s ∂ u j ∂ j である。§E19.7 命題 6.2 の表示を、t t t s ↦ α ( t , s ) s\mapsto\alpha(t,s) s ↦ α ( t , s )
∇ s ∂ t α = ∑ k = 1 2 ( ∂ 2 u k ∂ s ∂ t + ∑ i , j = 1 2 Γ i j k ∂ u i ∂ s ∂ u j ∂ t ) ∂ k \nabla_s\,\partial_t\alpha
=\sum_{k=1}^{2}\left(\frac{\partial^2u^k}{\partial s\,\partial t}
+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\,\frac{\partial u^i}{\partial s}\,\frac{\partial u^j}{\partial t}\right)\partial_k ∇ s ∂ t α = k = 1 ∑ 2 ( ∂ s ∂ t ∂ 2 u k + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k ∂ s ∂ u i ∂ t ∂ u j ) ∂ k である。t t t s s s
∇ t ∂ s α = ∑ k = 1 2 ( ∂ 2 u k ∂ t ∂ s + ∑ i , j = 1 2 Γ i j k ∂ u i ∂ t ∂ u j ∂ s ) ∂ k \nabla_t\,\partial_s\alpha
=\sum_{k=1}^{2}\left(\frac{\partial^2u^k}{\partial t\,\partial s}
+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\,\frac{\partial u^i}{\partial t}\,\frac{\partial u^j}{\partial s}\right)\partial_k ∇ t ∂ s α = k = 1 ∑ 2 ( ∂ t ∂ s ∂ 2 u k + i , j = 1 ∑ 2 Γ ij k ∂ t ∂ u i ∂ s ∂ u j ) ∂ k である。u k u^k u k C ∞ C^\infty C ∞ §E4.4 定理 2.1 により∂ 2 u k / ∂ s ∂ t = ∂ 2 u k / ∂ t ∂ s \partial^2u^k/\partial s\partial t=\partial^2u^k/\partial t\partial s ∂ 2 u k / ∂ s ∂ t = ∂ 2 u k / ∂ t ∂ s i i i j j j §E19.7 定理 3.3 が与える対称性Γ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k ▨
捩れの消滅が用いられているのは、Γ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k
第一変分の臨界点を特徴づけるためには、あらかじめ与えたベクトル場を変分場に持つ変分を作る必要がある。曲面がR 3 \mathbb{R}^3 R 3 γ ( t ) + s V ( t ) \gamma(t)+sV(t) γ ( t ) + s V ( t )
補題 3.4. I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M [ a , b ] ⊆ I [a,b]\subseteq I [ a , b ] ⊆ I V V V γ \gamma γ
K = { t ∈ I : V ( t ) ≠ 0 } ‾ K=\overline{\{t\in I:\ V(t)\ne0\}} K = { t ∈ I : V ( t ) = 0 } がコンパクトであって、ある一つのチャート( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) K ⊆ ( a , b ) ∩ γ − 1 ( U ) K\subseteq(a,b)\cap\gamma^{-1}(U) K ⊆ ( a , b ) ∩ γ − 1 ( U ) ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] α : I × ( − ε , ε ) → M \alpha:I\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to M α : I × ( − ε , ε ) → M V V V t ∉ K t\notin K t ∈ / K α ( t , s ) = γ ( t ) \alpha(t,s)=\gamma(t) α ( t , s ) = γ ( t ) α \alpha α
証明. φ : U → φ ( U ) ⊆ R 2 \varphi:U\to\varphi(U)\subseteq\mathbb{R}^2 φ : U → φ ( U ) ⊆ R 2 c ( t ) = φ ( γ ( t ) ) c(t)=\varphi(\gamma(t)) c ( t ) = φ ( γ ( t )) t ∈ γ − 1 ( U ) t\in\gamma^{-1}(U) t ∈ γ − 1 ( U ) V = ∑ k V k ∂ k V=\sum_kV^k\,\partial_k V = ∑ k V k ∂ k V k V^k V k K K K 0 0 0 I I I V k V^k V k γ − 1 ( U ) \gamma^{-1}(U) γ − 1 ( U ) C ∞ C^\infty C ∞ K K K 0 0 0 I I I C ∞ C^\infty C ∞ V = ( V 1 , V 2 ) \boldsymbol{V}=(V^1,V^2) V = ( V 1 , V 2 )
c ( K ) c(K) c ( K ) φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) d > 0 d>0 d > 0 c ( K ) c(K) c ( K ) d d d φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) m = max t ∈ K ∥ V ( t ) ∥ m=\max_{t\in K}\lVert\boldsymbol{V}(t)\rVert m = max t ∈ K ∥ V ( t )∥ ε = d / ( m + 1 ) \varepsilon=d/(m+1) ε = d / ( m + 1 ) t ∈ K t\in K t ∈ K ∣ s ∣ < ε |s|<\varepsilon ∣ s ∣ < ε ∥ s V ( t ) ∥ < d \lVert s\boldsymbol{V}(t)\rVert<d ∥ s V ( t )∥ < d c ( t ) + s V ( t ) ∈ φ ( U ) c(t)+s\boldsymbol{V}(t)\in\varphi(U) c ( t ) + s V ( t ) ∈ φ ( U )
α ( t , s ) = { φ − 1 ( c ( t ) + s V ( t ) ) ( t ∈ γ − 1 ( U ) ) , γ ( t ) ( t ∈ I ∖ K ) \alpha(t,s)=
\begin{cases}
\varphi^{-1}\bigl(c(t)+s\boldsymbol{V}(t)\bigr) & (t\in\gamma^{-1}(U)),\\[2pt]
\gamma(t) & (t\in I\setminus K)
\end{cases} α ( t , s ) = { φ − 1 ( c ( t ) + s V ( t ) ) γ ( t ) ( t ∈ γ − 1 ( U )) , ( t ∈ I ∖ K ) と定める。t ∈ γ − 1 ( U ) ∖ K t\in\gamma^{-1}(U)\setminus K t ∈ γ − 1 ( U ) ∖ K V ( t ) = 0 \boldsymbol{V}(t)=0 V ( t ) = 0 α \alpha α I × ( − ε , ε ) I\times(-\varepsilon,\varepsilon) I × ( − ε , ε ) γ − 1 ( U ) \gamma^{-1}(U) γ − 1 ( U ) I ∖ K I\setminus K I ∖ K I I I I I I α \alpha α α \alpha α α ( t , 0 ) = γ ( t ) \alpha(t,0)=\gamma(t) α ( t , 0 ) = γ ( t ) t ∈ γ − 1 ( U ) t\in\gamma^{-1}(U) t ∈ γ − 1 ( U )
∂ s α ( t , 0 ) = d φ c ( t ) − 1 ( V ( t ) ) = ∑ k = 1 2 V k ( t ) ∂ k = V ( t ) \partial_s\alpha(t,0)=d\varphi^{-1}_{c(t)}\bigl(\boldsymbol{V}(t)\bigr)=\sum_{k=1}^{2}V^k(t)\,\partial_k=V(t) ∂ s α ( t , 0 ) = d φ c ( t ) − 1 ( V ( t ) ) = k = 1 ∑ 2 V k ( t ) ∂ k = V ( t ) である。t ∉ K t\notin K t ∈ / K 0 0 0 K ⊆ ( a , b ) K\subseteq(a,b) K ⊆ ( a , b ) a , b ∉ K a,b\notin K a , b ∈ / K α ( a , s ) = γ ( a ) \alpha(a,s)=\gamma(a) α ( a , s ) = γ ( a ) α ( b , s ) = γ ( b ) \alpha(b,s)=\gamma(b) α ( b , s ) = γ ( b ) ▨
補題 3.5 (変分法の基本補題). I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M [ a , b ] ⊆ I [a,b]\subseteq I [ a , b ] ⊆ I w w w γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] γ \gamma γ V V V ( a , b ) (a,b) ( a , b )
∫ a b I ( w ( t ) , V ( t ) ) d t = 0 \int_a^b\mathrm{I}\bigl(w(t),V(t)\bigr)\,dt=0 ∫ a b I ( w ( t ) , V ( t ) ) d t = 0 が成り立つ。このとき[ a , b ] [a,b] [ a , b ] w ≡ 0 w\equiv0 w ≡ 0
証明. t 0 ∈ ( a , b ) t_0\in(a,b) t 0 ∈ ( a , b ) w ( t 0 ) ≠ 0 w(t_0)\ne0 w ( t 0 ) = 0 γ ( t 0 ) \gamma(t_0) γ ( t 0 ) ( U , ( u 1 , u 2 ) ) (U,(u^1,u^2)) ( U , ( u 1 , u 2 )) γ − 1 ( U ) ∩ ( a , b ) \gamma^{-1}(U)\cap(a,b) γ − 1 ( U ) ∩ ( a , b ) t 0 t_0 t 0 t 0 t_0 t 0 J J J γ − 1 ( U ) ∩ ( a , b ) \gamma^{-1}(U)\cap(a,b) γ − 1 ( U ) ∩ ( a , b )
§E19.7 定理 6.5 により、γ \gamma γ P P P P ( t 0 ) = w ( t 0 ) P(t_0)=w(t_0) P ( t 0 ) = w ( t 0 ) P P P t ↦ I ( w ( t ) , P ( t ) ) t\mapsto\mathrm{I}(w(t),P(t)) t ↦ I ( w ( t ) , P ( t )) t 0 t_0 t 0 I ( w ( t 0 ) , w ( t 0 ) ) = ∥ w ( t 0 ) ∥ 2 > 0 \mathrm{I}(w(t_0),w(t_0))=\lVert w(t_0)\rVert^2>0 I ( w ( t 0 ) , w ( t 0 )) = ∥ w ( t 0 ) ∥ 2 > 0 t 0 t_0 t 0 J ′ ⊆ J J'\subseteq J J ′ ⊆ J J ′ J' J ′ I ( w , P ) > 0 \mathrm{I}(w,P)>0 I ( w , P ) > 0
一次元のC ∞ C^\infty C ∞ R \mathbb{R} R §E17.2 命題 1.5 を適用し、χ : R → [ 0 , 1 ] \chi:\mathbb{R}\to[0,1] χ : R → [ 0 , 1 ] χ ( t 0 ) = 1 \chi(t_0)=1 χ ( t 0 ) = 1 J ′ J' J ′ V = χ P V=\chi P V = χ P V V V γ \gamma γ J ′ ⊆ ( a , b ) ∩ γ − 1 ( U ) J'\subseteq(a,b)\cap\gamma^{-1}(U) J ′ ⊆ ( a , b ) ∩ γ − 1 ( U )
0 = ∫ a b I ( w , V ) d t = ∫ a b χ ( t ) I ( w ( t ) , P ( t ) ) d t 0=\int_a^b\mathrm{I}(w,V)\,dt=\int_a^b\chi(t)\,\mathrm{I}\bigl(w(t),P(t)\bigr)\,dt 0 = ∫ a b I ( w , V ) d t = ∫ a b χ ( t ) I ( w ( t ) , P ( t ) ) d t である。しかし被積分関数は連続で非負であり、t = t 0 t=t_0 t = t 0
よって( a , b ) (a,b) ( a , b ) w ≡ 0 w\equiv0 w ≡ 0 w w w [ a , b ] [a,b] [ a , b ] w = 0 w=0 w = 0 ▨
4 エネルギーと長さの第一変分 定義 4.1. γ : [ a , b ] → M \gamma:[a,b]\to M γ : [ a , b ] → M
L ( γ ) = ∫ a b ∥ γ ′ ( t ) ∥ d t , E ( γ ) = 1 2 ∫ a b ∥ γ ′ ( t ) ∥ 2 d t L(\gamma)=\int_a^b\lVert\gamma'(t)\rVert\,dt,\qquad
E(\gamma)=\frac12\int_a^b\lVert\gamma'(t)\rVert^2\,dt L ( γ ) = ∫ a b ∥ γ ′ ( t )∥ d t , E ( γ ) = 2 1 ∫ a b ∥ γ ′ ( t ) ∥ 2 d t をそれぞれγ \gamma γ 長さ (length )エネルギー (energy )
定理 4.2 (エネルギーの第一変分). I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M [ a , b ] ⊆ I [a,b]\subseteq I [ a , b ] ⊆ I α : I × ( − ε , ε ) → M \alpha:I\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to M α : I × ( − ε , ε ) → M γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] V V V
E ( s ) = 1 2 ∫ a b ∥ ∂ t α ( t , s ) ∥ 2 d t \mathcal{E}(s)=\frac12\int_a^b\bigl\lVert\partial_t\alpha(t,s)\bigr\rVert^2\,dt E ( s ) = 2 1 ∫ a b ∂ t α ( t , s ) 2 d t と置く。このときE \mathcal{E} E ( − ε , ε ) (-\varepsilon,\varepsilon) ( − ε , ε ) C 1 C^1 C 1
d E d s ∣ s = 0 = [ I ( V ( t ) , γ ′ ( t ) ) ] t = a t = b − ∫ a b I ( V ( t ) , D γ ′ d t ( t ) ) d t \left.\frac{d\mathcal{E}}{ds}\right|_{s=0}
=\Bigl[\mathrm{I}\bigl(V(t),\gamma'(t)\bigr)\Bigr]_{t=a}^{t=b}
-\int_a^b\mathrm{I}\left(V(t),\frac{D\gamma'}{dt}(t)\right)dt d s d E s = 0 = [ I ( V ( t ) , γ ′ ( t ) ) ] t = a t = b − ∫ a b I ( V ( t ) , d t D γ ′ ( t ) ) d t が成り立つ。とくにα \alpha α
d E d s ∣ s = 0 = − ∫ a b I ( V , D γ ′ d t ) d t \left.\frac{d\mathcal{E}}{ds}\right|_{s=0}
=-\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right)dt d s d E s = 0 = − ∫ a b I ( V , d t D γ ′ ) d t である。
証明の方針を述べる。出発点はF ( t , s ) = 1 2 ∥ ∂ t α ( t , s ) ∥ 2 F(t,s)=\tfrac12\lVert\partial_t\alpha(t,s)\rVert^2 F ( t , s ) = 2 1 ∥ ∂ t α ( t , s ) ∥ 2 ∂ s F \partial_sF ∂ s F s s s I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) \mathrm{I}(\nabla_s\partial_t\alpha,\partial_t\alpha) I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) ∇ s ∂ t α \nabla_s\partial_t\alpha ∇ s ∂ t α 補題 3.3 によって∇ t ∂ s α \nabla_t\partial_s\alpha ∇ t ∂ s α t t t ∇ t ∂ t α \nabla_t\partial_t\alpha ∇ t ∂ t α 補題 2.1 による。
証明. F ( t , s ) = 1 2 I ( ∂ t α ( t , s ) , ∂ t α ( t , s ) ) F(t,s)=\tfrac12\,\mathrm{I}\bigl(\partial_t\alpha(t,s),\partial_t\alpha(t,s)\bigr) F ( t , s ) = 2 1 I ( ∂ t α ( t , s ) , ∂ t α ( t , s ) ) F F F C ∞ C^\infty C ∞ F F F I × ( − ε , ε ) I\times(-\varepsilon,\varepsilon) I × ( − ε , ε ) C ∞ C^\infty C ∞ F F F ∂ s F \partial_sF ∂ s F [ a , b ] × ( − ε , ε ) [a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε ) 補題 2.1 によりE \mathcal{E} E C 1 C^1 C 1
d E d s ( s ) = ∫ a b ∂ F ∂ s ( t , s ) d t \frac{d\mathcal{E}}{ds}(s)=\int_a^b\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)\,dt d s d E ( s ) = ∫ a b ∂ s ∂ F ( t , s ) d t である。
内積についての積の公式をs s s
∂ F ∂ s = I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) \frac{\partial F}{\partial s}=\mathrm{I}\bigl(\nabla_s\,\partial_t\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr) ∂ s ∂ F = I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) である。補題 3.3 により∇ s ∂ t α = ∇ t ∂ s α \nabla_s\partial_t\alpha=\nabla_t\partial_s\alpha ∇ s ∂ t α = ∇ t ∂ s α
∂ F ∂ s = I ( ∇ t ∂ s α , ∂ t α ) = ∂ t I ( ∂ s α , ∂ t α ) − I ( ∂ s α , ∇ t ∂ t α ) \frac{\partial F}{\partial s}=\mathrm{I}\bigl(\nabla_t\,\partial_s\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr)
=\partial_t\,\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr)-\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\ \nabla_t\,\partial_t\alpha\bigr) ∂ s ∂ F = I ( ∇ t ∂ s α , ∂ t α ) = ∂ t I ( ∂ s α , ∂ t α ) − I ( ∂ s α , ∇ t ∂ t α ) である。ここで二つ目の等号は、内積についての積の公式をt t t t t t a a a b b b
d E d s ( s ) = [ I ( ∂ s α , ∂ t α ) ] t = a t = b − ∫ a b I ( ∂ s α , ∇ t ∂ t α ) d t \frac{d\mathcal{E}}{ds}(s)=\Bigl[\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\partial_t\alpha\bigr)\Bigr]_{t=a}^{t=b}
-\int_a^b\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\ \nabla_t\,\partial_t\alpha\bigr)\,dt d s d E ( s ) = [ I ( ∂ s α , ∂ t α ) ] t = a t = b − ∫ a b I ( ∂ s α , ∇ t ∂ t α ) d t を得る。s = 0 s=0 s = 0 ∂ s α ( t , 0 ) = V ( t ) \partial_s\alpha(t,0)=V(t) ∂ s α ( t , 0 ) = V ( t ) ∂ t α ( t , 0 ) = γ ′ ( t ) \partial_t\alpha(t,0)=\gamma'(t) ∂ t α ( t , 0 ) = γ ′ ( t ) ∇ t ∂ t α ( t , 0 ) = D γ ′ d t ( t ) \nabla_t\partial_t\alpha(t,0)=\dfrac{D\gamma'}{dt}(t) ∇ t ∂ t α ( t , 0 ) = d t D γ ′ ( t ) ∂ s α ( a , s ) = 0 \partial_s\alpha(a,s)=0 ∂ s α ( a , s ) = 0 ∂ s α ( b , s ) = 0 \partial_s\alpha(b,s)=0 ∂ s α ( b , s ) = 0 V ( a ) = V ( b ) = 0 V(a)=V(b)=0 V ( a ) = V ( b ) = 0 ▨
系 4.3. I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M [ a , b ] ⊆ I [a,b]\subseteq I [ a , b ] ⊆ I
γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] d E d s ∣ s = 0 = 0 \left.\dfrac{d\mathcal{E}}{ds}\right|_{s=0}=0 d s d E s = 0 = 0 γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] 証明. (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) D γ ′ / d t ≡ 0 D\gamma'/dt\equiv0 D γ ′ / d t ≡ 0 定理 4.2 の積分が消える。
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) w = D γ ′ / d t w=D\gamma'/dt w = D γ ′ / d t w w w γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] V V V ( a , b ) (a,b) ( a , b ) γ \gamma γ 補題 3.4 により、V V V 定理 4.2 により∫ a b I ( V , w ) d t = 0 \int_a^b\mathrm{I}(V,w)\,dt=0 ∫ a b I ( V , w ) d t = 0 I \mathrm{I} I ∫ a b I ( w , V ) d t = 0 \int_a^b\mathrm{I}(w,V)\,dt=0 ∫ a b I ( w , V ) d t = 0 補題 3.5 によりw ≡ 0 w\equiv0 w ≡ 0 ▨
長さについては、被積分関数が∥ ∂ t α ∥ \lVert\partial_t\alpha\rVert ∥ ∂ t α ∥
定理 4.4 (長さの第一変分). I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M ∥ γ ′ ∥ ≡ 1 \lVert\gamma'\rVert\equiv1 ∥ γ ′ ∥ ≡ 1 [ a , b ] ⊆ I [a,b]\subseteq I [ a , b ] ⊆ I α : I × ( − ε 0 , ε 0 ) → M \alpha:I\times(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\to M α : I × ( − ε 0 , ε 0 ) → M γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] V V V 0 < ε ≤ ε 0 0<\varepsilon\le\varepsilon_0 0 < ε ≤ ε 0
L ( s ) = ∫ a b ∥ ∂ t α ( t , s ) ∥ d t \mathcal{L}(s)=\int_a^b\bigl\lVert\partial_t\alpha(t,s)\bigr\rVert\,dt L ( s ) = ∫ a b ∂ t α ( t , s ) d t は( − ε , ε ) (-\varepsilon,\varepsilon) ( − ε , ε ) C 1 C^1 C 1
d L d s ∣ s = 0 = [ I ( V , γ ′ ) ] t = a t = b − ∫ a b I ( V , D γ ′ d t ) d t \left.\frac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0}
=\Bigl[\mathrm{I}\bigl(V,\gamma'\bigr)\Bigr]_{t=a}^{t=b}
-\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right)dt d s d L s = 0 = [ I ( V , γ ′ ) ] t = a t = b − ∫ a b I ( V , d t D γ ′ ) d t が成り立つ。とくにα \alpha α
d L d s ∣ s = 0 = − ∫ a b I ( V , D γ ′ d t ) d t \left.\frac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0}=-\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right)dt d s d L s = 0 = − ∫ a b I ( V , d t D γ ′ ) d t である。
証明. ρ ( t , s ) = ∥ ∂ t α ( t , s ) ∥ \rho(t,s)=\lVert\partial_t\alpha(t,s)\rVert ρ ( t , s ) = ∥ ∂ t α ( t , s )∥ ρ 2 = I ( ∂ t α , ∂ t α ) \rho^2=\mathrm{I}(\partial_t\alpha,\partial_t\alpha) ρ 2 = I ( ∂ t α , ∂ t α ) I × ( − ε 0 , ε 0 ) I\times(-\varepsilon_0,\varepsilon_0) I × ( − ε 0 , ε 0 ) C ∞ C^\infty C ∞ ρ ( t , 0 ) = 1 \rho(t,0)=1 ρ ( t , 0 ) = 1 ρ 2 \rho^2 ρ 2 t ∈ [ a , b ] t\in[a,b] t ∈ [ a , b ] t t t 0 0 0 ρ 2 > 1 / 4 \rho^2>1/4 ρ 2 > 1/4 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] 0 < ε ≤ ε 0 0<\varepsilon\le\varepsilon_0 0 < ε ≤ ε 0 [ a , b ] × ( − ε , ε ) [a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε ) ρ 2 > 1 / 4 \rho^2>1/4 ρ 2 > 1/4 ρ = ρ 2 \rho=\sqrt{\rho^2} ρ = ρ 2 C ∞ C^\infty C ∞
F ( t , s ) = ρ ( t , s ) F(t,s)=\rho(t,s) F ( t , s ) = ρ ( t , s ) 補題 2.1 を適用すると、L \mathcal{L} L C 1 C^1 C 1 d L d s = ∫ a b ∂ s ρ d t \dfrac{d\mathcal{L}}{ds}=\int_a^b\partial_s\rho\,dt d s d L = ∫ a b ∂ s ρ d t s s s
∂ s ρ = I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) ρ \partial_s\rho=\frac{\mathrm{I}\bigl(\nabla_s\,\partial_t\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr)}{\rho} ∂ s ρ = ρ I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) である。補題 3.3 により分子の∇ s ∂ t α \nabla_s\partial_t\alpha ∇ s ∂ t α ∇ t ∂ s α \nabla_t\partial_s\alpha ∇ t ∂ s α s = 0 s=0 s = 0 ρ = 1 \rho=1 ρ = 1 ∂ t α = γ ′ \partial_t\alpha=\gamma' ∂ t α = γ ′ ∇ t ∂ s α = D V d t \nabla_t\partial_s\alpha=\dfrac{DV}{dt} ∇ t ∂ s α = d t D V
∂ s ρ ( t , 0 ) = I ( D V d t , γ ′ ) = d d t I ( V , γ ′ ) − I ( V , D γ ′ d t ) \partial_s\rho(t,0)=\mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},\gamma'\right)
=\frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(V,\gamma')-\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right) ∂ s ρ ( t , 0 ) = I ( d t D V , γ ′ ) = d t d I ( V , γ ′ ) − I ( V , d t D γ ′ ) である。t t t V ( a ) = V ( b ) = 0 V(a)=V(b)=0 V ( a ) = V ( b ) = 0 ▨
系 4.5. I I I γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M γ ′ ( t ) ≠ 0 \gamma'(t)\ne0 γ ′ ( t ) = 0 t t t [ a , b ] ⊆ I [a,b]\subseteq I [ a , b ] ⊆ I ρ = ∥ γ ′ ∥ \rho=\lVert\gamma'\rVert ρ = ∥ γ ′ ∥ T = γ ′ / ρ T=\gamma'/\rho T = γ ′ / ρ
γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] d L d s ∣ s = 0 = 0 \left.\dfrac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0}=0 d s d L s = 0 = 0 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] D T d t = 0 \dfrac{DT}{dt}=0 d t D T = 0 D T d t = 0 \dfrac{DT}{dt}=0 d t D T = 0 γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] D T d t = 0 \dfrac{DT}{dt}=0 d t D T = 0 γ ∣ [ a , b ] \gamma|_{[a,b]} γ ∣ [ a , b ] ρ \rho ρ [ a , b ] [a,b] [ a , b ] 証明. (1) を示す。定理 4.4 の証明を、単位速度でない場合について繰り返す。ρ \rho ρ [ a , b ] [a,b] [ a , b ] μ = min [ a , b ] ρ > 0 \mu=\min_{[a,b]}\rho>0 μ = min [ a , b ] ρ > 0 [ a , b ] × ( − ε , ε ) [a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon) [ a , b ] × ( − ε , ε ) ∥ ∂ t α ∥ 2 > μ 2 / 4 \lVert\partial_t\alpha\rVert^2>\mu^2/4 ∥ ∂ t α ∥ 2 > μ 2 /4 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ∥ ∂ t α ∥ \lVert\partial_t\alpha\rVert ∥ ∂ t α ∥ C ∞ C^\infty C ∞ s = 0 s=0 s = 0 ∥ ∂ t α ( t , 0 ) ∥ = ρ ( t ) \lVert\partial_t\alpha(t,0)\rVert=\rho(t) ∥ ∂ t α ( t , 0 )∥ = ρ ( t )
∂ s ρ ( t , 0 ) = 1 ρ I ( D V d t , γ ′ ) = I ( D V d t , T ) = d d t I ( V , T ) − I ( V , D T d t ) \partial_s\rho(t,0)=\frac{1}{\rho}\,\mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},\gamma'\right)=\mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},T\right)
=\frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(V,T)-\mathrm{I}\left(V,\frac{DT}{dt}\right) ∂ s ρ ( t , 0 ) = ρ 1 I ( d t D V , γ ′ ) = I ( d t D V , T ) = d t d I ( V , T ) − I ( V , d t D T ) である。端点を固定する変分に対してはV ( a ) = V ( b ) = 0 V(a)=V(b)=0 V ( a ) = V ( b ) = 0
d L d s ∣ s = 0 = − ∫ a b I ( V , D T d t ) d t \left.\frac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0}=-\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{DT}{dt}\right)dt d s d L s = 0 = − ∫ a b I ( V , d t D T ) d t である。あとは系 4.3 と同じ議論、すなわち補題 3.4 と補題 3.5 をw = D T / d t w=DT/dt w = D T / d t
(2) を示す。σ ( t ) = ∫ a t ρ ( τ ) d τ \sigma(t)=\int_a^t\rho(\tau)\,d\tau σ ( t ) = ∫ a t ρ ( τ ) d τ ρ > 0 \rho>0 ρ > 0 σ \sigma σ [ a , b ] [a,b] [ a , b ] [ 0 , L ( γ ∣ [ a , b ] ) ] [0,L(\gamma|_{[a,b]})] [ 0 , L ( γ ∣ [ a , b ] )] C ∞ C^\infty C ∞ h h h γ ~ = γ ∘ h \widetilde{\gamma}=\gamma\circ h γ = γ ∘ h §E19.1 定義 2.1 ）。h ′ ( ς ) = 1 / ρ ( h ( ς ) ) h'(\varsigma)=1/\rho(h(\varsigma)) h ′ ( ς ) = 1/ ρ ( h ( ς )) γ ~ ′ ( ς ) = h ′ ( ς ) γ ′ ( h ( ς ) ) = T ( h ( ς ) ) \widetilde{\gamma}'(\varsigma)=h'(\varsigma)\,\gamma'(h(\varsigma))=T(h(\varsigma)) γ ′ ( ς ) = h ′ ( ς ) γ ′ ( h ( ς )) = T ( h ( ς )) §E19.7 命題 6.2 の座標表示に連鎖律を適用すると
D γ ~ ′ d ς ( ς ) = h ′ ( ς ) D T d t ( h ( ς ) ) = 0 \frac{D\widetilde{\gamma}'}{d\varsigma}(\varsigma)=h'(\varsigma)\,\frac{DT}{dt}\bigl(h(\varsigma)\bigr)=0 d ς D γ ′ ( ς ) = h ′ ( ς ) d t D T ( h ( ς ) ) = 0 である。よってγ ~ \widetilde{\gamma} γ
(3) を示す。γ ′ = ρ T \gamma'=\rho\,T γ ′ = ρ T §E19.7 命題 6.2 (1) により
D γ ′ d t = ρ ˙ T + ρ D T d t = ρ ˙ T \frac{D\gamma'}{dt}=\dot\rho\,T+\rho\,\frac{DT}{dt}=\dot\rho\,T d t D γ ′ = ρ ˙ T + ρ d t D T = ρ ˙ T である。T ≠ 0 T\ne0 T = 0 ρ ˙ ≡ 0 \dot\rho\equiv0 ρ ˙ ≡ 0 ▨
5 測地曲率 以下、M M M M ⊆ R 3 M\subseteq\mathbb{R}^3 M ⊆ R 3 N N N §E19.3 定義 4.2 ）。T p M T_pM T p M ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) 正 であるとは、M ⊆ R 3 M\subseteq\mathbb{R}^3 M ⊆ R 3 X × Y X\times Y X × Y N ( p ) N(p) N ( p ) M M M
定義 5.1. M M M γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M 単位速度 の曲線とする。T = γ ′ T=\gamma' T = γ ′ t t t n ( t ) ∈ T γ ( t ) M n(t)\in T_{\gamma(t)}M n ( t ) ∈ T γ ( t ) M ∥ n ∥ = 1 \lVert n\rVert=1 ∥ n ∥ = 1 I ( T , n ) = 0 \mathrm{I}(T,n)=0 I ( T , n ) = 0 ( T , n ) (T,n) ( T , n ) M ⊆ R 3 M\subseteq\mathbb{R}^3 M ⊆ R 3 n = N × T n=N\times T n = N × T
κ g ( t ) = I ( D T d t ( t ) , n ( t ) ) \kappa_g(t)=\mathrm{I}\left(\frac{DT}{dt}(t),\ n(t)\right) κ g ( t ) = I ( d t D T ( t ) , n ( t ) ) をγ \gamma γ 測地曲率 (geodesic curvature )測地曲率は単位速度の曲線に対してのみ定義する 。単位速度でない正則曲線に対して同じ式を書くと、速さの三乗の因子が入り、径数の取り替えで値が変わってしまうためである。
M ⊆ R 3 M\subseteq\mathbb{R}^3 M ⊆ R 3 n = N × T n=N\times T n = N × T ∥ N × T ∥ = ∥ N ∥ ∥ T ∥ = 1 \lVert N\times T\rVert=\lVert N\rVert\lVert T\rVert=1 ∥ N × T ∥ = ∥ N ∥ ∥ T ∥ = 1 N ⊥ T N\perp T N ⊥ T ⟨ N × T , T ⟩ = 0 \langle N\times T,T\rangle=0 ⟨ N × T , T ⟩ = 0 N × T ⊥ N N\times T\perp N N × T ⊥ N N × T ∈ T p M N\times T\in T_pM N × T ∈ T p M
T × ( N × T ) = N ⟨ T , T ⟩ − T ⟨ T , N ⟩ = N T\times(N\times T)=N\,\langle T,T\rangle-T\,\langle T,N\rangle=N T × ( N × T ) = N ⟨ T , T ⟩ − T ⟨ T , N ⟩ = N であるから( T , N × T ) (T,N\times T) ( T , N × T )
命題 5.2. γ : I → M \gamma:I\to M γ : I → M
D T d t = κ g n \dfrac{DT}{dt}=\kappa_g\,n d t D T = κ g n γ \gamma γ κ g ≡ 0 \kappa_g\equiv0 κ g ≡ 0 曲面の向きを反転させると（M ⊆ R 3 M\subseteq\mathbb{R}^3 M ⊆ R 3 N N N − N -N − N κ g \kappa_g κ g γ ~ ( t ) = γ ( − t ) \widetilde{\gamma}(t)=\gamma(-t) γ ( t ) = γ ( − t ) κ g \kappa_g κ g
M ⊆ R 3 M\subseteq\mathbb{R}^3 M ⊆ R 3 γ \gamma γ R 3 \mathbb{R}^3 R 3 γ ′ ′ = κ g n + I I ( T , T ) N \gamma''=\kappa_g\,n+\mathrm{II}(T,T)\,N γ ′′ = κ g n + II ( T , T ) N γ \gamma γ κ = ∥ γ ′ ′ ∥ \kappa=\lVert\gamma''\rVert κ = ∥ γ ′′ ∥ §E19.2 定義 3.1 ）について
κ 2 = κ g 2 + I I ( T , T ) 2 \kappa^2=\kappa_g^{\,2}+\mathrm{II}(T,T)^2 κ 2 = κ g 2 + II ( T , T ) 2 証明. (1) を示す。I ( T , T ) ≡ 1 \mathrm{I}(T,T)\equiv1 I ( T , T ) ≡ 1 §E19.7 命題 6.3 によって微分すると2 I ( D T / d t , T ) = 0 2\,\mathrm{I}(DT/dt,T)=0 2 I ( D T / d t , T ) = 0 ( T , n ) (T,n) ( T , n ) T γ ( t ) M T_{\gamma(t)}M T γ ( t ) M
D T d t = I ( D T d t , T ) T + I ( D T d t , n ) n = κ g n \frac{DT}{dt}=\mathrm{I}\left(\frac{DT}{dt},T\right)T+\mathrm{I}\left(\frac{DT}{dt},n\right)n=\kappa_g\,n d t D T = I ( d t D T , T ) T + I ( d t D T , n ) n = κ g n である。n ≠ 0 n\ne0 n = 0 D T / d t = 0 DT/dt=0 D T / d t = 0 κ g = 0 \kappa_g=0 κ g = 0
(2) を示す。D T / d t DT/dt D T / d t n n n − n -n − n κ g \kappa_g κ g T ~ ( t ) = γ ~ ′ ( t ) = − T ( − t ) \widetilde{T}(t)=\widetilde{\gamma}'(t)=-T(-t) T ( t ) = γ ′ ( t ) = − T ( − t ) §E19.7 命題 6.2 の座標表示から、Y Y Y γ \gamma γ t ↦ Y ( − t ) t\mapsto Y(-t) t ↦ Y ( − t ) γ ~ \widetilde{\gamma} γ − D Y d t ( − t ) -\dfrac{DY}{dt}(-t) − d t D Y ( − t ) Y = − T Y=-T Y = − T
D T ~ d t ( t ) = D T d t ( − t ) \frac{D\widetilde{T}}{dt}(t)=\frac{DT}{dt}(-t) d t D T ( t ) = d t D T ( − t ) である。一方n ~ ( t ) = − n ( − t ) \widetilde{n}(t)=-n(-t) n ( t ) = − n ( − t ) κ ~ g ( t ) = − κ g ( − t ) \widetilde{\kappa}_g(t)=-\kappa_g(-t) κ g ( t ) = − κ g ( − t )
(3) を示す。γ ′ ′ ( t ) \gamma''(t) γ ′′ ( t ) §E19.7 命題 6.2 によりD T / d t = κ g n DT/dt=\kappa_g n D T / d t = κ g n ⟨ γ ′ ′ , N ⟩ N \langle\gamma'',N\rangle N ⟨ γ ′′ , N ⟩ N ⟨ γ ′ ( t ) , N ( γ ( t ) ) ⟩ ≡ 0 \langle\gamma'(t),N(\gamma(t))\rangle\equiv0 ⟨ γ ′ ( t ) , N ( γ ( t ))⟩ ≡ 0 t t t
⟨ γ ′ ′ , N ⟩ + ⟨ T , d d t ( N ∘ γ ) ⟩ = 0 \langle\gamma'',N\rangle+\left\langle T,\frac{d}{dt}\bigl(N\circ\gamma\bigr)\right\rangle=0 ⟨ γ ′′ , N ⟩ + ⟨ T , d t d ( N ∘ γ ) ⟩ = 0 である。d d t ( N ∘ γ ) = d N ( T ) = − S ( T ) \dfrac{d}{dt}(N\circ\gamma)=dN(T)=-S(T) d t d ( N ∘ γ ) = d N ( T ) = − S ( T ) §E19.5 定義 1.4 ）であるから
⟨ γ ′ ′ , N ⟩ = ⟨ T , S ( T ) ⟩ = I I ( T , T ) \langle\gamma'',N\rangle=\langle T,S(T)\rangle=\mathrm{II}(T,T) ⟨ γ ′′ , N ⟩ = ⟨ T , S ( T )⟩ = II ( T , T ) である（§E19.5 定義 3.1 ）。n n n N N N κ 2 = κ g 2 + I I ( T , T ) 2 \kappa^2=\kappa_g^2+\mathrm{II}(T,T)^2 κ 2 = κ g 2 + II ( T , T ) 2 ▨
I I ( T , T ) \mathrm{II}(T,T) II ( T , T ) T T T §E19.5 定理 4.4 ）。したがって(3) は、曲面上の曲線の曲率が、曲面の内側で測る成分と、曲面が空間の中で曲がっていることに由来する成分とに分かれることを述べている。測地線は前者が消える曲線であり、後者はどのように曲面が入っているかに依存する。
6 例 例 6.1 (球面の測地線は大円である). 半径r > 0 r>0 r > 0 M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r } M=\{p\in\mathbb{R}^3:\lVert p\rVert=r\} M = { p ∈ R 3 : ∥ p ∥ = r } p ∈ M p\in M p ∈ M X ∈ T p M X\in T_pM X ∈ T p M ∥ X ∥ = 1 \lVert X\rVert=1 ∥ X ∥ = 1
γ ( s ) = cos ( s r ) p + r sin ( s r ) X ( s ∈ R ) \gamma(s)=\cos\left(\frac{s}{r}\right)p+r\sin\left(\frac{s}{r}\right)X\qquad(s\in\mathbb{R}) γ ( s ) = cos ( r s ) p + r sin ( r s ) X ( s ∈ R ) と置く。⟨ p , X ⟩ = 0 \langle p,X\rangle=0 ⟨ p , X ⟩ = 0 ∥ p ∥ = r \lVert p\rVert=r ∥ p ∥ = r ∥ X ∥ = 1 \lVert X\rVert=1 ∥ X ∥ = 1
∥ γ ( s ) ∥ 2 = r 2 cos 2 ( s r ) + r 2 sin 2 ( s r ) = r 2 \lVert\gamma(s)\rVert^2=r^2\cos^2\left(\frac{s}{r}\right)+r^2\sin^2\left(\frac{s}{r}\right)=r^2 ∥ γ ( s ) ∥ 2 = r 2 cos 2 ( r s ) + r 2 sin 2 ( r s ) = r 2 であり、γ \gamma γ M M M p p p X X X M M M γ ( 0 ) = p \gamma(0)=p γ ( 0 ) = p γ ′ ( 0 ) = X \gamma'(0)=X γ ′ ( 0 ) = X
γ ′ ( s ) = − 1 r sin ( s r ) p + cos ( s r ) X , γ ′ ′ ( s ) = − 1 r 2 γ ( s ) \gamma'(s)=-\frac{1}{r}\sin\left(\frac{s}{r}\right)p+\cos\left(\frac{s}{r}\right)X,\qquad
\gamma''(s)=-\frac{1}{r^2}\gamma(s) γ ′ ( s ) = − r 1 sin ( r s ) p + cos ( r s ) X , γ ′′ ( s ) = − r 2 1 γ ( s ) である。∥ γ ′ ( s ) ∥ 2 = sin 2 ( s / r ) + cos 2 ( s / r ) = 1 \lVert\gamma'(s)\rVert^2=\sin^2(s/r)+\cos^2(s/r)=1 ∥ γ ′ ( s ) ∥ 2 = sin 2 ( s / r ) + cos 2 ( s / r ) = 1 γ \gamma γ γ ′ ′ ( s ) \gamma''(s) γ ′′ ( s ) γ ( s ) \gamma(s) γ ( s ) γ ′ ′ ( s ) \gamma''(s) γ ′′ ( s )
D γ ′ d s = ( γ ′ ′ ) ⊤ = 0 \frac{D\gamma'}{ds}=\bigl(\gamma''\bigr)^{\top}=0 d s D γ ′ = ( γ ′′ ) ⊤ = 0 であり、γ \gamma γ
逆に、M M M 命題 1.2 (1) により定速であるから、定数曲線でなければ弧長で径数づけ直すことができ、初期点と初期速度が一致する上の大円と命題 1.2 (2) の一意性により局所的に一致する。一致する時刻の集合は、閉じており、同じ一意性から開いており、区間は連結であるから区間全体である。
例 6.2 (球面の緯線の測地曲率). §E19.7 例 7.3 と同じ設定を取る。すなわち
x ( u , v ) = r ( sin u cos v , sin u sin v , cos u ) ( 0 < u < π ) \boldsymbol{x}(u,v)=r(\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u)\qquad(0<u<\pi) x ( u , v ) = r ( sin u cos v , sin u sin v , cos u ) ( 0 < u < π ) とし、向きは、囲む領域から見て内向きのN ( p ) = − p / r N(p)=-p/r N ( p ) = − p / r
Γ 22 1 = − sin u cos u , Γ 12 2 = Γ 21 2 = cos u sin u \Gamma^1_{22}=-\sin u\cos u,\qquad \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{\cos u}{\sin u} Γ 22 1 = − sin u cos u , Γ 12 2 = Γ 21 2 = sin u cos u であり、残りは零である。
0 < u 0 < π 0<u_0<\pi 0 < u 0 < π v v v
γ ( s ) = x ( u 0 , − s r sin u 0 ) \gamma(s)=\boldsymbol{x}\left(u_0,\ -\frac{s}{r\sin u_0}\right) γ ( s ) = x ( u 0 , − r sin u 0 s ) と径数づける。座標表示はu 1 ( s ) = u 0 u^1(s)=u_0 u 1 ( s ) = u 0 u 2 ( s ) = − s / ( r sin u 0 ) u^2(s)=-s/(r\sin u_0) u 2 ( s ) = − s / ( r sin u 0 )
∥ γ ′ ∥ 2 = G ( u ˙ 2 ) 2 = r 2 sin 2 u 0 ⋅ 1 r 2 sin 2 u 0 = 1 \lVert\gamma'\rVert^2=G\,(\dot u^2)^2=r^2\sin^2u_0\cdot\frac{1}{r^2\sin^2u_0}=1 ∥ γ ′ ∥ 2 = G ( u ˙ 2 ) 2 = r 2 sin 2 u 0 ⋅ r 2 sin 2 u 0 1 = 1 であるから単位速度である。T = γ ′ T=\gamma' T = γ ′ T = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 T=\xi^1\partial_1+\xi^2\partial_2 T = ξ 1 ∂ 1 + ξ 2 ∂ 2 ξ 1 = 0 \xi^1=0 ξ 1 = 0 ξ 2 = − 1 / ( r sin u 0 ) \xi^2=-1/(r\sin u_0) ξ 2 = − 1/ ( r sin u 0 ) §E19.7 命題 6.2 の表示により
( D T d s ) 1 = Γ 22 1 u ˙ 2 ξ 2 = ( − sin u 0 cos u 0 ) ⋅ 1 r 2 sin 2 u 0 = − cos u 0 r 2 sin u 0 , \left(\frac{DT}{ds}\right)^1=\Gamma^1_{22}\,\dot u^2\,\xi^2
=(-\sin u_0\cos u_0)\cdot\frac{1}{r^2\sin^2u_0}=-\frac{\cos u_0}{r^2\sin u_0}, ( d s D T ) 1 = Γ 22 1 u ˙ 2 ξ 2 = ( − sin u 0 cos u 0 ) ⋅ r 2 sin 2 u 0 1 = − r 2 sin u 0 cos u 0 , ( D T d s ) 2 = Γ 21 2 u ˙ 2 ξ 1 + Γ 12 2 u ˙ 1 ξ 2 = 0 \left(\frac{DT}{ds}\right)^2=\Gamma^2_{21}\,\dot u^2\,\xi^1+\Gamma^2_{12}\,\dot u^1\,\xi^2=0 ( d s D T ) 2 = Γ 21 2 u ˙ 2 ξ 1 + Γ 12 2 u ˙ 1 ξ 2 = 0 である。∂ 1 = x u \partial_1=\boldsymbol{x}_u ∂ 1 = x u ∥ x u ∥ = r \lVert\boldsymbol{x}_u\rVert=r ∥ x u ∥ = r e = x u / r e=\boldsymbol{x}_u/r e = x u / r
D T d s = − cos u 0 r sin u 0 e . \frac{DT}{ds}=-\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\,e. d s D T = − r sin u 0 cos u 0 e . 一方n = N × T n=N\times T n = N × T v = 0 v=0 v = 0 N = ( − sin u 0 , 0 , − cos u 0 ) N=(-\sin u_0,0,-\cos u_0) N = ( − sin u 0 , 0 , − cos u 0 ) T = − x v / ( r sin u 0 ) = ( 0 , − 1 , 0 ) T=-\boldsymbol{x}_v/(r\sin u_0)=(0,-1,0) T = − x v / ( r sin u 0 ) = ( 0 , − 1 , 0 )
n = N × T = ( − cos u 0 , 0 , sin u 0 ) = − x u r = − e . n=N\times T=(-\cos u_0,\ 0,\ \sin u_0)=-\frac{\boldsymbol{x}_u}{r}=-e. n = N × T = ( − cos u 0 , 0 , sin u 0 ) = − r x u = − e . したがって
κ g = I ( D T d s , n ) = ( − cos u 0 r sin u 0 ) ( − 1 ) = cos u 0 r sin u 0 \kappa_g=\mathrm{I}\left(\frac{DT}{ds},n\right)=\left(-\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\right)(-1)=\frac{\cos u_0}{r\sin u_0} κ g = I ( d s D T , n ) = ( − r sin u 0 cos u 0 ) ( − 1 ) = r sin u 0 cos u 0 である。u 0 = π / 2 u_0=\pi/2 u 0 = π /2 κ g = 0 \kappa_g=0 κ g = 0 例 6.1 の結論と整合する。
この値は、「局所 Gauss–Bonnet とホロノミー」が証明する局所 Gauss–Bonnet の公式と整合する。球冠R = { u < u 0 } R=\{u<u_0\} R = { u < u 0 } ∫ R K d A = 2 π ( 1 − cos u 0 ) \int_RK\,dA=2\pi(1-\cos u_0) ∫ R K d A = 2 π ( 1 − cos u 0 ) §E19.7 例 7.3 ）、緯線の長さは2 π r sin u 0 2\pi r\sin u_0 2 π r sin u 0
∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s = 2 π ( 1 − cos u 0 ) + cos u 0 r sin u 0 ⋅ 2 π r sin u 0 = 2 π \int_RK\,dA+\int_{\partial R}\kappa_g\,ds=2\pi(1-\cos u_0)+\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\cdot2\pi r\sin u_0=2\pi ∫ R K d A + ∫ ∂ R κ g d s = 2 π ( 1 − cos u 0 ) + r sin u 0 cos u 0 ⋅ 2 π r sin u 0 = 2 π となる。境界をv v v n = N × T n=N\times T n = N × T R R R
ただし、この球冠は本例が用いた球面座標x ( u , v ) \boldsymbol{x}(u,v) x ( u , v ) 0 < u < π 0<u<\pi 0 < u < π R R R u = 0 u=0 u = 0 §E19.14 例 8.2 が行っており、そこでは南極からの立体射影によるチャートを取り、球冠がそのチャートの中で単純な座標領域になることを確かめている。
例 6.3 (円柱の測地線). M = { ( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1 } M=\{(x,y,z):x^2+y^2=1\} M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1 } x ( u , v ) = ( cos u , sin u , v ) \boldsymbol{x}(u,v)=(\cos u,\sin u,v) x ( u , v ) = ( cos u , sin u , v ) §E19.7 例 7.2 のとおりΓ i j k ≡ 0 \Gamma^k_{ij}\equiv0 Γ ij k ≡ 0 定義 1.1 の方程式はu ¨ 1 = u ¨ 2 = 0 \ddot u^1=\ddot u^2=0 u ¨ 1 = u ¨ 2 = 0
u 1 ( t ) = a t + b , u 2 ( t ) = c t + d ( a , b , c , d ∈ R ) u^1(t)=at+b,\qquad u^2(t)=ct+d\qquad(a,b,c,d\in\mathbb{R}) u 1 ( t ) = a t + b , u 2 ( t ) = c t + d ( a , b , c , d ∈ R ) で与えられる。a = 0 a=0 a = 0 c ≠ 0 c\ne0 c = 0 c = 0 c=0 c = 0 a ≠ 0 a\ne0 a = 0 z = d z=d z = d a ≠ 0 a\ne0 a = 0 c ≠ 0 c\ne0 c = 0 a = c = 0 a=c=0 a = c = 0
例 6.4 (長さの臨界点であって測地線でない曲線). 例 6.1 の大円γ \gamma γ h ( t ) = e t h(t)=e^t h ( t ) = e t γ ~ ( t ) = γ ( h ( t ) ) \widetilde{\gamma}(t)=\gamma(h(t)) γ ( t ) = γ ( h ( t )) t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 ) h h h C ∞ C^\infty C ∞ γ ~ \widetilde{\gamma} γ γ ~ ′ ( t ) = e t γ ′ ( e t ) \widetilde{\gamma}'(t)=e^t\gamma'(e^t) γ ′ ( t ) = e t γ ′ ( e t ) ρ ( t ) = ∥ γ ~ ′ ( t ) ∥ = e t \rho(t)=\lVert\widetilde{\gamma}'(t)\rVert=e^t ρ ( t ) = ∥ γ ′ ( t )∥ = e t T ~ ( t ) = γ ′ ( e t ) \widetilde{T}(t)=\gamma'(e^t) T ( t ) = γ ′ ( e t ) γ \gamma γ
D T ~ d t ( t ) = e t D γ ′ d s ( e t ) = 0 \frac{D\widetilde{T}}{dt}(t)=e^t\,\frac{D\gamma'}{ds}(e^t)=0 d t D T ( t ) = e t d s D γ ′ ( e t ) = 0 である。したがって系 4.5 (1) によりγ ~ \widetilde{\gamma} γ
D γ ~ ′ d t = ρ ˙ T ~ = e t T ~ ≠ 0 \frac{D\widetilde{\gamma}'}{dt}=\dot\rho\,\widetilde{T}=e^t\,\widetilde{T}\ne0 d t D γ ′ = ρ ˙ T = e t T = 0 であるから、γ ~ \widetilde{\gamma} γ 系 4.3 によりエネルギーの臨界点でもない。定速に取り直せば、すなわちγ \gamma γ
7 演習 問題 7.1.
補題 2.1 の証明では、平均値の定理で得たθ ( t , h ) \theta(t,h) θ ( t , h ) t t t 補題 3.3 の証明で、Γ i j k = Γ j i k \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} Γ ij k = Γ j i k ∇ s ∂ t α − ∇ t ∂ s α \nabla_s\partial_t\alpha-\nabla_t\partial_s\alpha ∇ s ∂ t α − ∇ t ∂ s α 補題 3.4 の構成では、α \alpha α γ ( t ) + s V ( t ) \gamma(t)+sV(t) γ ( t ) + s V ( t ) M ⊆ R 3 M\subseteq\mathbb{R}^3 M ⊆ R 3 α ( t , s ) \alpha(t,s) α ( t , s ) 補題 3.5 の証明では、V = χ P V=\chi P V = χ P P P P P P P w w w V = χ w V=\chi w V = χ w V V V 定理 4.2 の証明で補題 3.3 を適用する一手を省き、I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) \mathrm{I}(\nabla_s\partial_t\alpha,\partial_t\alpha) I ( ∇ s ∂ t α , ∂ t α ) t t t 定理 4.4 ではε \varepsilon ε ρ ↦ ρ 2 \rho\mapsto\sqrt{\rho^2} ρ ↦ ρ 2 γ \gamma γ 系 4.5 (3) を用いて、次を示せ。長さの臨界点であって測地線でない曲線は、どの測地線とも像が異なるとはかぎらない。像が同じでも径数が異なることがある、という主張を、例 6.4 を用いて厳密に述べ直せ。命題 5.2 (2) で、曲線の向きの反転によってκ g \kappa_g κ g κ g \kappa_g κ g 例 6.2 の計算にどのように現れるかを述べよ。 8 境界と次 測地線が長さを最小にすることを主張しないこと 。本記事が示したのは、測地線が長さとエネルギーの臨界点であることだけである。臨界点であることは最小であることを意味しない。球面の大円上の二点を結ぶ二つの弧はどちらも測地線であるが、一方は長いほうである。測地線が十分近い二点の間で長さを最小にするという主張は、測地極座標と Gauss の補題を用いて証明されるものであり、「Riemann 幾何 I」が扱う。本単元がその経路を取らない理由は注意 1.3 に述べたとおりである。
第二変分を扱わないこと 。臨界点が極小であるかどうかは第二変分によって判定される。第二変分、Jacobi 場および共役点は「Riemann 幾何 I」が扱う。極小曲面と調和写像についての第二変分と安定性は「Riemann 幾何 II」が扱う。
解の存在を扱わないこと 。本記事は、与えられた曲線が臨界点であるかどうかを判定する道具を作った。与えられた二点を結ぶ最短の曲線が存在するかどうかは別の問題であり、直接法、下半連続性および弱コンパクト性を要する。これらは「変分法」が扱う。
距離空間としての扱いを行わないこと 。本記事の測地線は、常微分方程式の解として、また長さとエネルギーの臨界点として定めたものであり、二点を結ぶ最短の曲線として定めたものではない。任意の二点が最短の曲線で結ばれる距離空間、すなわち測地距離空間と、そのような空間の族の収束を測る Gromov–Hausdorff 収束は「距離空間と測度距離空間」が扱う。
測地曲率を単位速度の曲線にだけ定義したこと 。定義 5.1 のとおり、本単元は測地曲率を単位速度の曲線に対してのみ定める。一般の正則曲線γ \gamma γ I ( D γ ′ / d t , N × γ ′ ) \mathrm{I}(D\gamma'/dt,\ N\times\gamma') I ( D γ ′ / d t , N × γ ′ )
次の記事へ渡すもの 。測地線の方程式は、回転面の第一基本形式に対して具体的に解かれ、Clairaut の関係式という保存量を与える。測地曲率は、局所 Gauss–Bonnet の定理の境界項として現れ、その符号の規約が大域 Gauss–Bonnet の定理における辺の相殺を支える。補題 2.1 と補題 3.5 は、面積の第一変分と Dirichlet エネルギーの第一変分の計算でそのまま再利用される。