1 平面曲線の符号つき曲率 第2項は空間曲線の曲率をκ = ∥ T ′ ∥ \kappa=\lVert T'\rVert κ = ∥ T ′ ∥ §E19.2 定義 2.1 ）。この量は非負であり、曲がる向きの情報を持たない。平面曲線では、向きの情報を符号として持たせることができる。
定義 1.1. I I I γ : I → R 2 \gamma\colon I\to\mathbb{R}^2 γ : I → R 2 §E19.1 定理 2.2 ）とし、T = γ ′ T=\gamma' T = γ ′ s ∈ I s\in I s ∈ I
n ( s ) = J T ( s ) n(s)=J\,T(s) n ( s ) = J T ( s ) と定め、n n n γ \gamma γ 単位法線 (unit normal )∥ T ∥ ≡ 1 \lVert T\rVert\equiv1 ∥ T ∥ ≡ 1 ⟨ T ′ , T ⟩ = 0 \langle T',T\rangle=0 ⟨ T ′ , T ⟩ = 0 ( T ( s ) , n ( s ) ) (T(s),n(s)) ( T ( s ) , n ( s )) R 2 \mathbb{R}^2 R 2 T ′ ( s ) T'(s) T ′ ( s ) n ( s ) n(s) n ( s )
κ s ( s ) = ⟨ γ ′ ′ ( s ) , n ( s ) ⟩ , すなわち T ′ ( s ) = κ s ( s ) n ( s ) \kappa_s(s)=\langle\gamma''(s),n(s)\rangle,\qquad\text{すなわち}\qquad T'(s)=\kappa_s(s)\,n(s) κ s ( s ) = ⟨ γ ′′ ( s ) , n ( s )⟩ , すなわち T ′ ( s ) = κ s ( s ) n ( s ) をγ \gamma γ 符号つき曲率 (signed curvature )
命題 1.2. γ : I → R 2 \gamma\colon I\to\mathbb{R}^2 γ : I → R 2
γ \gamma γ R 3 \mathbb{R}^3 R 3 κ = ∥ T ′ ∥ \kappa=\lVert T'\rVert κ = ∥ T ′ ∥ §E19.2 定義 2.1 ）についてκ = ∣ κ s ∣ \kappa=\lvert\kappa_s\rvert κ = ∣ κ s ∣ γ \gamma γ γ ~ ( s ) = γ ( − s ) \widetilde\gamma(s)=\gamma(-s) γ ( s ) = γ ( − s ) κ ~ s ( s ) = − κ s ( − s ) \widetilde\kappa_s(s)=-\kappa_s(-s) κ s ( s ) = − κ s ( − s ) A A A R 2 \mathbb{R}^2 R 2 c ∈ R 2 c\in\mathbb{R}^2 c ∈ R 2 γ ~ = A γ + c \widetilde\gamma=A\gamma+c γ = A γ + c det A = 1 \det A=1 det A = 1 κ ~ s ( s ) = κ s ( s ) \widetilde\kappa_s(s)=\kappa_s(s) κ s ( s ) = κ s ( s ) det A = − 1 \det A=-1 det A = − 1 κ ~ s ( s ) = − κ s ( s ) \widetilde\kappa_s(s)=-\kappa_s(s) κ s ( s ) = − κ s ( s ) 証明. (1) を示す。T ′ = κ s n T'=\kappa_s n T ′ = κ s n ∥ n ∥ = 1 \lVert n\rVert=1 ∥ n ∥ = 1 κ = ∥ T ′ ∥ = ∣ κ s ∣ \kappa=\lVert T'\rVert=\lvert\kappa_s\rvert κ = ∥ T ′ ∥ = ∣ κ s ∣
(2) を示す。γ ~ ′ ( s ) = − γ ′ ( − s ) \widetilde\gamma'(s)=-\gamma'(-s) γ ′ ( s ) = − γ ′ ( − s ) T ~ ( s ) = − T ( − s ) \widetilde T(s)=-T(-s) T ( s ) = − T ( − s ) n ~ ( s ) = J T ~ ( s ) = − n ( − s ) \widetilde n(s)=J\widetilde T(s)=-n(-s) n ( s ) = J T ( s ) = − n ( − s ) T ~ ′ ( s ) = T ′ ( − s ) = κ s ( − s ) n ( − s ) \widetilde T'(s)=T'(-s)=\kappa_s(-s)n(-s) T ′ ( s ) = T ′ ( − s ) = κ s ( − s ) n ( − s )
κ ~ s ( s ) = ⟨ T ~ ′ ( s ) , n ~ ( s ) ⟩ = ⟨ κ s ( − s ) n ( − s ) , − n ( − s ) ⟩ = − κ s ( − s ) \widetilde\kappa_s(s)=\langle\widetilde T'(s),\widetilde n(s)\rangle=\bigl\langle\kappa_s(-s)n(-s),\,-n(-s)\bigr\rangle=-\kappa_s(-s) κ s ( s ) = ⟨ T ′ ( s ) , n ( s )⟩ = ⟨ κ s ( − s ) n ( − s ) , − n ( − s ) ⟩ = − κ s ( − s ) である。
(3) を示す。T ~ = A T \widetilde T=AT T = A T A A A γ ~ \widetilde\gamma γ det A = 1 \det A=1 det A = 1 A A A A J = J A AJ=JA A J = J A n ~ = J A T = A J T = A n \widetilde n=J AT=A JT=An n = J A T = A J T = A n
κ ~ s = ⟨ A T ′ , A n ⟩ = ⟨ T ′ , n ⟩ = κ s \widetilde\kappa_s=\langle AT',An\rangle=\langle T',n\rangle=\kappa_s κ s = ⟨ A T ′ , A n ⟩ = ⟨ T ′ , n ⟩ = κ s である。det A = − 1 \det A=-1 det A = − 1 A J = − J A AJ=-JA A J = − J A n ~ = − A n \widetilde n=-An n = − A n ▨
2 偏角の連続な選択 回転指数を定めるには、単位ベクトル場の偏角を連続に選ぶ操作が要る。この操作は「位相幾何入門」の指数被覆による道の持ち上げそのものである。
補題 2.1. [ a , b ] [a,b] [ a , b ] w : [ a , b ] → S 1 w\colon[a,b]\to S^1 w : [ a , b ] → S 1
連続関数φ : [ a , b ] → R \varphi\colon[a,b]\to\mathbb{R} φ : [ a , b ] → R s ∈ [ a , b ] s\in[a,b] s ∈ [ a , b ] w ( s ) = ( cos φ ( s ) , sin φ ( s ) ) w(s)=\bigl(\cos\varphi(s),\ \sin\varphi(s)\bigr) w ( s ) = ( cos φ ( s ) , sin φ ( s ) )
φ ( a ) \varphi(a) φ ( a ) φ \varphi φ 2 π k 2\pi k 2 π k k k k 差φ ( b ) − φ ( a ) \varphi(b)-\varphi(a) φ ( b ) − φ ( a ) φ \varphi φ
このφ \varphi φ w w w 偏角の連続な選択 という。
証明. (1) と(2) を示す。S 1 S^1 S 1 1 1 1 p : R → S 1 p\colon\mathbb{R}\to S^1 p : R → S 1 p ( t ) = e 2 π i t p(t)=e^{2\pi it} p ( t ) = e 2 π i t §E18.5 例 1.3 によりp p p [ a , b ] [a,b] [ a , b ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] w w w S 1 S^1 S 1 θ 0 ∈ R \theta_0\in\mathbb{R} θ 0 ∈ R p ( θ 0 ) = w ( a ) p(\theta_0)=w(a) p ( θ 0 ) = w ( a ) §E18.5 補題 2.1 により、w ~ ( a ) = θ 0 \widetilde w(a)=\theta_0 w ( a ) = θ 0 p ∘ w ~ = w p\circ\widetilde w=w p ∘ w = w w ~ : [ a , b ] → R \widetilde w\colon[a,b]\to\mathbb{R} w : [ a , b ] → R φ = 2 π w ~ \varphi=2\pi\widetilde w φ = 2 π w
一意性を示す。φ 1 , φ 2 \varphi_1,\varphi_2 φ 1 , φ 2 φ 1 ( a ) = φ 2 ( a ) \varphi_1(a)=\varphi_2(a) φ 1 ( a ) = φ 2 ( a ) φ 1 / ( 2 π ) \varphi_1/(2\pi) φ 1 / ( 2 π ) φ 2 / ( 2 π ) \varphi_2/(2\pi) φ 2 / ( 2 π ) w w w §E18.5 補題 2.1 の一意性により一致する。始点を指定しない場合は、φ 1 − φ 2 \varphi_1-\varphi_2 φ 1 − φ 2 2 π Z 2\pi\mathbb{Z} 2 π Z [ a , b ] [a,b] [ a , b ] 2 π k 2\pi k 2 π k
(3) を示す。(2) により二つの選択の差は定数であるから、差φ ( b ) − φ ( a ) \varphi(b)-\varphi(a) φ ( b ) − φ ( a ) ▨
補題 2.2. γ : [ a , b ] → R 2 \gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2 γ : [ a , b ] → R 2 C ∞ C^\infty C ∞ T = γ ′ T=\gamma' T = γ ′ φ \varphi φ T T T φ \varphi φ C ∞ C^\infty C ∞ [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
φ ′ = κ s \varphi'=\kappa_s φ ′ = κ s が成り立つ。とくに
φ ( b ) − φ ( a ) = ∫ a b κ s ( s ) d s \varphi(b)-\varphi(a)=\int_a^b\kappa_s(s)\,ds φ ( b ) − φ ( a ) = ∫ a b κ s ( s ) d s である。
証明. φ \varphi φ C ∞ C^\infty C ∞ T = ( T 1 , T 2 ) T=(T^1,T^2) T = ( T 1 , T 2 ) T 1 = cos φ T^1=\cos\varphi T 1 = cos φ T 2 = sin φ T^2=\sin\varphi T 2 = sin φ ( T 1 ) 2 + ( T 2 ) 2 = 1 (T^1)^2+(T^2)^2=1 ( T 1 ) 2 + ( T 2 ) 2 = 1 T 1 T^1 T 1 T 2 T^2 T 2 s 0 ∈ [ a , b ] s_0\in[a,b] s 0 ∈ [ a , b ]
T 1 ( s 0 ) ≠ 0 T^1(s_0)\ne0 T 1 ( s 0 ) = 0 T 1 T^1 T 1 s 0 s_0 s 0 I 0 I_0 I 0 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] T 1 ≠ 0 T^1\ne0 T 1 = 0 cos φ = T 1 ≠ 0 \cos\varphi=T^1\ne0 cos φ = T 1 = 0 I 0 I_0 I 0 φ \varphi φ ⋃ k ∈ Z ( k π − π 2 , k π + π 2 ) \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(k\pi-\tfrac{\pi}{2},\,k\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr) ⋃ k ∈ Z ( k π − 2 π , k π + 2 π ) φ \varphi φ I 0 I_0 I 0 φ ( I 0 ) \varphi(I_0) φ ( I 0 ) ( k π − π 2 , k π + π 2 ) \bigl(k\pi-\tfrac{\pi}{2},k\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr) ( k π − 2 π , k π + 2 π ) R \mathbb{R} R C ∞ C^\infty C ∞ tan φ = T 2 / T 1 \tan\varphi=T^2/T^1 tan φ = T 2 / T 1
φ = k π + arctan T 2 T 1 （ I 0 の上で） \varphi=k\pi+\arctan\frac{T^2}{T^1}\qquad\text{（$I_0$ の上で）} φ = k π + arctan T 1 T 2 （ I 0 の上で） である。T 1 , T 2 T^1,T^2 T 1 , T 2 C ∞ C^\infty C ∞ φ \varphi φ I 0 I_0 I 0 C ∞ C^\infty C ∞
T 2 ( s 0 ) ≠ 0 T^2(s_0)\ne0 T 2 ( s 0 ) = 0 s 0 s_0 s 0 sin φ ≠ 0 \sin\varphi\ne0 sin φ = 0 φ \varphi φ ⋃ k ( k π , ( k + 1 ) π ) \bigcup_k(k\pi,(k+1)\pi) ⋃ k ( k π , ( k + 1 ) π ) R \mathbb{R} R C ∞ C^\infty C ∞ cot φ = T 1 / T 2 \cot\varphi=T^1/T^2 cot φ = T 1 / T 2 φ \varphi φ C ∞ C^\infty C ∞ s 0 s_0 s 0 φ \varphi φ [ a , b ] [a,b] [ a , b ] C ∞ C^\infty C ∞
φ ′ = κ s \varphi'=\kappa_s φ ′ = κ s T = ( cos φ , sin φ ) T=(\cos\varphi,\sin\varphi) T = ( cos φ , sin φ )
T ′ = φ ′ ( − sin φ , cos φ ) = φ ′ J T = φ ′ n T'=\varphi'\,(-\sin\varphi,\ \cos\varphi)=\varphi'\,JT=\varphi'\,n T ′ = φ ′ ( − sin φ , cos φ ) = φ ′ J T = φ ′ n である。定義 1.1 によりT ′ = κ s n T'=\kappa_s n T ′ = κ s n n ≠ 0 n\ne0 n = 0 φ ′ = κ s \varphi'=\kappa_s φ ′ = κ s §D1.19 定理 1.1 による。▨
3 区分的に滑らかな閉曲線と回転指数 定義 3.1. 連続写像γ : [ a , b ] → R 2 \gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2 γ : [ a , b ] → R 2 区分的に滑らかな正則閉曲線 (piecewise smooth regular closed curve )
γ ( a ) = γ ( b ) \gamma(a)=\gamma(b) γ ( a ) = γ ( b ) 分割a = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = b a=t_0<t_1<\cdots<t_N=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = b γ ∣ [ t j − 1 , t j ] \gamma|_{[t_{j-1},t_j]} γ ∣ [ t j − 1 , t j ] C ∞ C^\infty C ∞
各j j j t ∈ [ t j − 1 , t j ] t\in[t_{j-1},t_j] t ∈ [ t j − 1 , t j ] γ ′ ( t ) ≠ 0 \gamma'(t)\ne0 γ ′ ( t ) = 0
さらにγ ∣ [ a , b ) \gamma|_{[a,b)} γ ∣ [ a , b ) γ \gamma γ 単純 (simple )
1 ≤ j ≤ N − 1 1\le j\le N-1 1 ≤ j ≤ N − 1 t j t_j t j 入る側の単位接ベクトル (incoming unit tangent vector )出る側の単位接ベクトル (outgoing unit tangent vector )
T j − = γ ′ ( t j − ) ∥ γ ′ ( t j − ) ∥ , T j + = γ ′ ( t j + ) ∥ γ ′ ( t j + ) ∥ T^-_j=\frac{\gamma'(t_j^-)}{\lVert\gamma'(t_j^-)\rVert},\qquad
T^+_j=\frac{\gamma'(t_j^+)}{\lVert\gamma'(t_j^+)\rVert} T j − = ∥ γ ′ ( t j − )∥ γ ′ ( t j − ) , T j + = ∥ γ ′ ( t j + )∥ γ ′ ( t j + ) と定める。j = N j=N j = N j = 0 j=0 j = 0
T N − = γ ′ ( b − ) ∥ γ ′ ( b − ) ∥ , T N + = γ ′ ( a + ) ∥ γ ′ ( a + ) ∥ T^-_N=\frac{\gamma'(b^-)}{\lVert\gamma'(b^-)\rVert},\qquad
T^+_N=\frac{\gamma'(a^+)}{\lVert\gamma'(a^+)\rVert} T N − = ∥ γ ′ ( b − )∥ γ ′ ( b − ) , T N + = ∥ γ ′ ( a + )∥ γ ′ ( a + ) と定める。T j − ≠ − T j + T^-_j\ne-T^+_j T j − = − T j + j j j γ \gamma γ 尖点を持たない (cusp-free )T j − ≠ T j + T^-_j\ne T^+_j T j − = T j + t j t_j t j 角 (corner )
尖点を持たないという条件は、外角を( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π )
定義 3.2. γ \gamma γ j j j T j − ≠ − T j + T^-_j\ne-T^+_j T j − = − T j +
cos θ j = ⟨ T j − , T j + ⟩ , sin θ j = ⟨ J T j − , T j + ⟩ \cos\theta_j=\langle T^-_j,\ T^+_j\rangle,\qquad
\sin\theta_j=\langle J\,T^-_j,\ T^+_j\rangle cos θ j = ⟨ T j − , T j + ⟩ , sin θ j = ⟨ J T j − , T j + ⟩ を満たすθ j \theta_j θ j ( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π ) θ j \theta_j θ j t j t_j t j 外角 (exterior angle )
θ j \theta_j θ j ( T j − , J T j − ) (T^-_j,JT^-_j) ( T j − , J T j − ) R 2 \mathbb{R}^2 R 2 T j + T^+_j T j + 1 1 1 θ j \theta_j θ j 2 π 2\pi 2 π T j − ≠ − T j + T^-_j\ne-T^+_j T j − = − T j + cos θ j ≠ − 1 \cos\theta_j\ne-1 cos θ j = − 1 ( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π ) θ j = 0 \theta_j=0 θ j = 0 T j − = T j + T^-_j=T^+_j T j − = T j + 0 0 0
外角は、二つの単位ベクトルを結ぶ線分の上で偏角がどれだけ動くかとしても取り出すことができる。次の補題は、この取り出し方を回転定理の証明で二度用いるために用意するものである。
補題 3.3. w 0 , w 1 ∈ S 1 w_0,w_1\in S^1 w 0 , w 1 ∈ S 1 w 1 ≠ − w 0 w_1\ne-w_0 w 1 = − w 0 定義 3.2 と同じ定め方で
cos θ = ⟨ w 0 , w 1 ⟩ , sin θ = ⟨ J w 0 , w 1 ⟩ \cos\theta=\langle w_0,w_1\rangle,\qquad
\sin\theta=\langle Jw_0,w_1\rangle cos θ = ⟨ w 0 , w 1 ⟩ , sin θ = ⟨ J w 0 , w 1 ⟩ を満たすθ ∈ ( − π , π ) \theta\in(-\pi,\pi) θ ∈ ( − π , π ) μ ∈ [ 0 , 1 ] \mu\in[0,1] μ ∈ [ 0 , 1 ] z ( μ ) = ( 1 − μ ) w 0 + μ w 1 z(\mu)=(1-\mu)w_0+\mu w_1 z ( μ ) = ( 1 − μ ) w 0 + μ w 1
すべてのμ ∈ [ 0 , 1 ] \mu\in[0,1] μ ∈ [ 0 , 1 ] z ( μ ) ≠ 0 z(\mu)\ne0 z ( μ ) = 0 Z ( μ ) = z ( μ ) / ∥ z ( μ ) ∥ Z(\mu)=z(\mu)/\lVert z(\mu)\rVert Z ( μ ) = z ( μ ) / ∥ z ( μ )∥ [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] S 1 S^1 S 1
Z Z Z 補題 2.1 ）をζ \zeta ζ ζ ( 1 ) − ζ ( 0 ) = θ \zeta(1)-\zeta(0)=\theta ζ ( 1 ) − ζ ( 0 ) = θ c 0 , c 1 ≥ 0 c_0,c_1\ge0 c 0 , c 1 ≥ 0 c 0 + c 1 > 0 c_0+c_1>0 c 0 + c 1 > 0 c 0 w 0 + c 1 w 1 ≠ 0 c_0w_0+c_1w_1\ne0 c 0 w 0 + c 1 w 1 = 0 μ = c 1 / ( c 0 + c 1 ) \mu=c_1/(c_0+c_1) μ = c 1 / ( c 0 + c 1 ) ( c 0 w 0 + c 1 w 1 ) / ∥ c 0 w 0 + c 1 w 1 ∥ = Z ( μ ) (c_0w_0+c_1w_1)/\lVert c_0w_0+c_1w_1\rVert=Z(\mu) ( c 0 w 0 + c 1 w 1 ) / ∥ c 0 w 0 + c 1 w 1 ∥ = Z ( μ ) 証明. (1) を示す。μ ∈ { 0 , 1 } \mu\in\{0,1\} μ ∈ { 0 , 1 } z ( μ ) z(\mu) z ( μ ) μ ∈ ( 0 , 1 ) \mu\in(0,1) μ ∈ ( 0 , 1 ) z ( μ ) = 0 z(\mu)=0 z ( μ ) = 0 ( 1 − μ ) w 0 = − μ w 1 (1-\mu)w_0=-\mu w_1 ( 1 − μ ) w 0 = − μ w 1 1 − μ = μ 1-\mu=\mu 1 − μ = μ μ = 1 / 2 \mu=1/2 μ = 1/2 w 0 = − w 1 w_0=-w_1 w 0 = − w 1 z z z μ \mu μ ∥ z ∥ > 0 \lVert z\rVert>0 ∥ z ∥ > 0 Z Z Z
(2) を示す。w 0 w_0 w 0 β \beta β θ \theta θ w 1 = ( cos ( β + θ ) , sin ( β + θ ) ) w_1=(\cos(\beta+\theta),\sin(\beta+\theta)) w 1 = ( cos ( β + θ ) , sin ( β + θ )) − β -\beta − β β = 0 \beta=0 β = 0 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 z ( μ ) = ( 1 − μ ) + μ e i θ z(\mu)=(1-\mu)+\mu e^{i\theta} z ( μ ) = ( 1 − μ ) + μ e i θ
C C C 1 1 1 e i θ e^{i\theta} e i θ ∣ θ ∣ < π \lvert\theta\rvert<\pi ∣ θ ∣ < π C C C 0 0 0 θ \theta θ I I I 2 π 2\pi 2 π I I I ∣ θ ∣ < π \lvert\theta\rvert<\pi ∣ θ ∣ < π z ( μ ) z(\mu) z ( μ ) C C C ζ \zeta ζ ζ ( 0 ) = 0 \zeta(0)=0 ζ ( 0 ) = 0 ⋃ k ∈ Z ( I + 2 π k ) \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(I+2\pi k) ⋃ k ∈ Z ( I + 2 π k ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ζ ( [ 0 , 1 ] ) \zeta([0,1]) ζ ([ 0 , 1 ]) I I I ζ ( 1 ) \zeta(1) ζ ( 1 ) θ \theta θ 2 π 2\pi 2 π I I I ζ ( 1 ) = θ \zeta(1)=\theta ζ ( 1 ) = θ
(3) を示す。c 0 + c 1 > 0 c_0+c_1>0 c 0 + c 1 > 0 c 0 w 0 + c 1 w 1 = ( c 0 + c 1 ) z ( μ ) c_0w_0+c_1w_1=(c_0+c_1)\,z(\mu) c 0 w 0 + c 1 w 1 = ( c 0 + c 1 ) z ( μ ) μ = c 1 / ( c 0 + c 1 ) ∈ [ 0 , 1 ] \mu=c_1/(c_0+c_1)\in[0,1] μ = c 1 / ( c 0 + c 1 ) ∈ [ 0 , 1 ] (1) により零でない。正の実数倍は正規化した値を変えない。▨
定義 3.4. γ : [ a , b ] → R 2 \gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2 γ : [ a , b ] → R 2 a = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = b a=t_0<t_1<\cdots<t_N=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = b θ 1 , … , θ N \theta_1,\ldots,\theta_N θ 1 , … , θ N 定義 3.1 と定義 3.2 のとおりとする。各j j j γ ∣ [ t j − 1 , t j ] \gamma|_{[t_{j-1},t_j]} γ ∣ [ t j − 1 , t j ] T = γ ′ / ∥ γ ′ ∥ T=\gamma'/\lVert\gamma'\rVert T = γ ′ / ∥ γ ′ ∥ φ j : [ t j − 1 , t j ] → R \varphi_j\colon[t_{j-1},t_j]\to\mathbb{R} φ j : [ t j − 1 , t j ] → R 補題 2.1 ）。このとき
ι ( γ ) = 1 2 π ( ∑ j = 1 N ( φ j ( t j ) − φ j ( t j − 1 ) ) + ∑ j = 1 N θ j ) \iota(\gamma)=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(t_j)-\varphi_j(t_{j-1})\bigr)+\sum_{j=1}^{N}\theta_j\right) ι ( γ ) = 2 π 1 ( j = 1 ∑ N ( φ j ( t j ) − φ j ( t j − 1 ) ) + j = 1 ∑ N θ j ) をγ \gamma γ 回転指数 (rotation index )補題 2.1 (3) により、各増分はφ j \varphi_j φ j ι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ ) γ \gamma γ T T T [ a , b ] [a,b] [ a , b ] 0 0 0 ι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ ) T T T 2 π 2\pi 2 π
弧に沿う増分を、単位速度に取り直したうえで補題 2.2 によって書き直すと
φ j ( t j ) − φ j ( t j − 1 ) = ∫ 弧 j κ s d s \varphi_j(t_j)-\varphi_j(t_{j-1})=\int_{\text{弧}_j}\kappa_s\,ds φ j ( t j ) − φ j ( t j − 1 ) = ∫ 弧 j κ s d s である。したがって回転指数の定義は、記号を略した形では
2 π ι ( γ ) = ∑ j ∫ 弧 j d φ + ∑ j θ j 2\pi\,\iota(\gamma)=\sum_j\int_{\text{弧}_j}d\varphi+\sum_j\theta_j 2 π ι ( γ ) = j ∑ ∫ 弧 j d φ + j ∑ θ j と書かれる。
命題 3.5. γ \gamma γ
ι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ ) ι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ ) 定義 3.1 の分割の取り方に依らない。h : [ c , d ] → [ a , b ] h\colon[c,d]\to[a,b] h : [ c , d ] → [ a , b ] h ′ > 0 h'>0 h ′ > 0 ι ( γ ∘ h ) = ι ( γ ) \iota(\gamma\circ h)=\iota(\gamma) ι ( γ ∘ h ) = ι ( γ ) 証明. (1) を示す。w j = cos φ j + i sin φ j w_j=\cos\varphi_j+i\sin\varphi_j w j = cos φ j + i sin φ j
u = exp ( i ∑ j = 1 N ( φ j ( t j ) − φ j ( t j − 1 ) ) + i ∑ j = 1 N θ j ) u=\exp\left(i\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(t_j)-\varphi_j(t_{j-1})\bigr)+i\sum_{j=1}^{N}\theta_j\right) u = exp ( i j = 1 ∑ N ( φ j ( t j ) − φ j ( t j − 1 ) ) + i j = 1 ∑ N θ j ) を考える。e i φ j ( t j ) = T j − e^{i\varphi_j(t_j)}=T^-_j e i φ j ( t j ) = T j − e i φ j ( t j − 1 ) = T j − 1 + e^{i\varphi_j(t_{j-1})}=T^+_{j-1} e i φ j ( t j − 1 ) = T j − 1 + T 0 + = T N + T^+_0=T^+_N T 0 + = T N + 定義 3.2 の定め方によりe i θ j = T j + T j − ‾ e^{i\theta_j}=T^+_j\,\overline{T^-_j} e i θ j = T j + T j −
u = ∏ j = 1 N T j − T j − 1 + ⋅ ∏ j = 1 N T j + T j − = ∏ j = 1 N T j + T j − 1 + = 1 u=\prod_{j=1}^{N}\frac{T^-_j}{T^+_{j-1}}\cdot\prod_{j=1}^{N}\frac{T^+_j}{T^-_j}
=\prod_{j=1}^{N}\frac{T^+_j}{T^+_{j-1}}=1 u = j = 1 ∏ N T j − 1 + T j − ⋅ j = 1 ∏ N T j − T j + = j = 1 ∏ N T j − 1 + T j + = 1 である。最後の等号は、積が電話帳式に相殺しT N + / T 0 + = 1 T^+_N/T^+_0=1 T N + / T 0 + = 1 u = 1 u=1 u = 1 2 π 2\pi 2 π ι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ )
(2) を示す。二つの分割の共通の細分を取れば足りる。分割へ点t ∗ ∈ ( t j − 1 , t j ) t^\ast\in(t_{j-1},t_j) t ∗ ∈ ( t j − 1 , t j ) 0 0 0 [ t j − 1 , t j ] [t_{j-1},t_j] [ t j − 1 , t j ] [ t j − 1 , t ∗ ] [t_{j-1},t^\ast] [ t j − 1 , t ∗ ] [ t ∗ , t j ] [t^\ast,t_j] [ t ∗ , t j ] φ j \varphi_j φ j ι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ )
(3) を示す。h ′ > 0 h'>0 h ′ > 0 γ ∘ h \gamma\circ h γ ∘ h T ∘ h T\circ h T ∘ h φ j ∘ h \varphi_j\circ h φ j ∘ h ▨
4 境界の向きの規約と支持点 回転定理の証明は、曲線が支持直線に接する点を出発点に取る。その点が角である場合を排除することはできないので、角である場合を含めて、そこでの外角の値を先に決めておく。
以下、D D D §E4.22 定義 1.2 の意味の区分的に一階連続微分可能な正則領域、Ω \Omega Ω §E4.22 定義 1.2 条件 (c) と§E4.22 定義 1.2 条件 (d) を、本記事では次の形で用いる。境界の滑らかな弧の内部の点γ ( t ) \gamma(t) γ ( t ) δ t > 0 \delta_t>0 δ t > 0
0 < δ < δ t ⟹ γ ( t ) + δ J γ ′ ( t ) ∈ Ω , γ ( t ) − δ J γ ′ ( t ) ∉ D 0<\delta<\delta_t\ \Longrightarrow\ \gamma(t)+\delta\,J\gamma'(t)\in\Omega,\qquad
\gamma(t)-\delta\,J\gamma'(t)\notin D 0 < δ < δ t ⟹ γ ( t ) + δ J γ ′ ( t ) ∈ Ω , γ ( t ) − δ J γ ′ ( t ) ∈ / D が成り立つ。これが「D D D
det ( v , w ) = v 1 w 2 − v 2 w 1 \det(v,w)=v_1w_2-v_2w_1 det ( v , w ) = v 1 w 2 − v 2 w 1 J J J v , w ∈ R 2 v,w\in\mathbb{R}^2 v , w ∈ R 2
det ( v , J w ) = ⟨ v , w ⟩ , ⟨ v , J w ⟩ = − det ( v , w ) , det ( v , J v ) = ∥ v ∥ 2 \det(v,Jw)=\langle v,w\rangle,\qquad
\langle v,Jw\rangle=-\det(v,w),\qquad
\det(v,Jv)=\lVert v\rVert^2 det ( v , J w ) = ⟨ v , w ⟩ , ⟨ v , J w ⟩ = − det ( v , w ) , det ( v , J v ) = ∥ v ∥ 2 が成り立つ。
補題 4.1. γ : [ 0 , L ] → R 2 \gamma\colon[0,L]\to\mathbb{R}^2 γ : [ 0 , L ] → R 2 D D D D D D γ \gamma γ L L L R \mathbb{R} R p = γ ( 0 ) p=\gamma(0) p = γ ( 0 ) γ 2 \gamma_2 γ 2 [ 0 , L ] [0,L] [ 0 , L ] p = 0 p=0 p = 0 γ 2 ( 0 ) = 0 \gamma_2(0)=0 γ 2 ( 0 ) = 0
u 1 = γ ′ ( 0 + ) u_1=\gamma'(0^{+}) u 1 = γ ′ ( 0 + ) u 2 = − γ ′ ( 0 − ) u_2=-\gamma'(0^{-}) u 2 = − γ ′ ( 0 − ) a 1 , a 2 ∈ [ − π , π ] a_1,a_2\in[-\pi,\pi] a 1 , a 2 ∈ [ − π , π ] u i = ( cos a i , sin a i ) u_i=(\cos a_i,\sin a_i) u i = ( cos a i , sin a i )
a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a_1,a_2\in[0,\pi] a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] u 1 ≠ u 2 u_1\ne u_2 u 1 = u 2 a 1 < a 2 a_1<a_2 a 1 < a 2 p p p θ = a 1 − a 2 + π \theta=a_1-a_2+\pi θ = a 1 − a 2 + π θ ∈ [ 0 , π ) \theta\in[0,\pi) θ ∈ [ 0 , π ) 証明. (1) を示す。γ 2 ( t ) ≥ 0 \gamma_2(t)\ge0 γ 2 ( t ) ≥ 0 t t t γ 2 ( t ) = t sin a 1 + o ( t ) \gamma_2(t)=t\sin a_1+o(t) γ 2 ( t ) = t sin a 1 + o ( t ) t ↓ 0 t\downarrow0 t ↓ 0 sin a 1 < 0 \sin a_1<0 sin a 1 < 0 t > 0 t>0 t > 0 γ 2 ( t ) < 0 \gamma_2(t)<0 γ 2 ( t ) < 0 sin a 1 ≥ 0 \sin a_1\ge0 sin a 1 ≥ 0 a 1 ∈ [ 0 , π ] a_1\in[0,\pi] a 1 ∈ [ 0 , π ] γ 2 ( − t ) = − t γ 2 ′ ( 0 − ) + o ( t ) = t sin a 2 + o ( t ) \gamma_2(-t)=-t\,\gamma_2'(0^{-})+o(t)=t\sin a_2+o(t) γ 2 ( − t ) = − t γ 2 ′ ( 0 − ) + o ( t ) = t sin a 2 + o ( t ) sin a 2 ≥ 0 \sin a_2\ge0 sin a 2 ≥ 0 a 2 ∈ [ 0 , π ] a_2\in[0,\pi] a 2 ∈ [ 0 , π ] u 1 = u 2 u_1=u_2 u 1 = u 2 γ ′ ( 0 + ) = − γ ′ ( 0 − ) \gamma'(0^{+})=-\gamma'(0^{-}) γ ′ ( 0 + ) = − γ ′ ( 0 − )
(2) を示す。A 1 ( t ) = γ ( t ) A_1(t)=\gamma(t) A 1 ( t ) = γ ( t ) A 2 ( t ) = γ ( − t ) A_2(t)=\gamma(-t) A 2 ( t ) = γ ( − t ) t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 A i A_i A i t = 0 t=0 t = 0 C ∞ C^\infty C ∞ A i ( 0 ) = 0 A_i(0)=0 A i ( 0 ) = 0 A i ′ ( 0 ) = u i A_i'(0)=u_i A i ′ ( 0 ) = u i
⟨ A i ( t ) , A i ′ ( t ) ⟩ = t + o ( t ) \langle A_i(t),A_i'(t)\rangle=t+o(t) ⟨ A i ( t ) , A i ′ ( t )⟩ = t + o ( t ) ε 1 > 0 \varepsilon_1>0 ε 1 > 0 0 < t ≤ ε 1 0<t\le\varepsilon_1 0 < t ≤ ε 1 ⟨ A i ( t ) , A i ′ ( t ) ⟩ > 0 \langle A_i(t),A_i'(t)\rangle>0 ⟨ A i ( t ) , A i ′ ( t )⟩ > 0 ρ i ( t ) = ∥ A i ( t ) ∥ \rho_i(t)=\lVert A_i(t)\rVert ρ i ( t ) = ∥ A i ( t )∥ [ 0 , ε 1 ] [0,\varepsilon_1] [ 0 , ε 1 ] ρ i ′ ( t ) = ⟨ A i , A i ′ ⟩ / ρ i > 0 \rho_i'(t)=\langle A_i,A_i'\rangle/\rho_i>0 ρ i ′ ( t ) = ⟨ A i , A i ′ ⟩ / ρ i > 0 ρ i \rho_i ρ i C ∞ C^\infty C ∞
ϑ i ( ρ ) = arg A i ( ρ i − 1 ( ρ ) ) \vartheta_i(\rho)=\arg A_i\bigl(\rho_i^{-1}(\rho)\bigr) ϑ i ( ρ ) = arg A i ( ρ i − 1 ( ρ ) ) は( 0 , ρ i ( ε 1 ) ] (0,\rho_i(\varepsilon_1)] ( 0 , ρ i ( ε 1 )] C ∞ C^\infty C ∞ ρ ↓ 0 \rho\downarrow0 ρ ↓ 0 a i a_i a i arg \arg arg
ϑ i ′ ( ρ ) = det ( A i , A i ′ ) / ρ 2 ⟨ A i , A i ′ ⟩ / ρ = det ( A i , A i ′ ) ρ ⟨ A i , A i ′ ⟩ \vartheta_i'(\rho)=\frac{\det(A_i,A_i')/\rho^2}{\langle A_i,A_i'\rangle/\rho}=\frac{\det(A_i,A_i')}{\rho\,\langle A_i,A_i'\rangle} ϑ i ′ ( ρ ) = ⟨ A i , A i ′ ⟩ / ρ det ( A i , A i ′ ) / ρ 2 = ρ ⟨ A i , A i ′ ⟩ det ( A i , A i ′ ) である。
r > 0 r>0 r > 0 §E4.22 定義 1.2 条件 (c) の局所的な片側性がp p p r r r r < min i ρ i ( ε 1 ) r<\min_i\rho_i(\varepsilon_1) r < min i ρ i ( ε 1 ) r < dist ( p , γ ( [ ε 1 , L − ε 1 ] ) ) r<\operatorname{dist}\bigl(p,\ \gamma([\varepsilon_1,L-\varepsilon_1])\bigr) r < dist ( p , γ ([ ε 1 , L − ε 1 ]) ) γ ∣ [ 0 , L ) \gamma|_{[0,L)} γ ∣ [ 0 , L ) γ ( [ ε 1 , L − ε 1 ] ) \gamma([\varepsilon_1,L-\varepsilon_1]) γ ([ ε 1 , L − ε 1 ]) p p p
このとき∂ D ∩ B ( p , r ) \partial D\cap B(p,r) ∂ D ∩ B ( p , r ) A 1 A_1 A 1 A 2 A_2 A 2 ρ i \rho_i ρ i ρ ∈ ( 0 , r ) \rho\in(0,r) ρ ∈ ( 0 , r ) ∥ q ∥ = ρ \lVert q\rVert=\rho ∥ q ∥ = ρ A i A_i A i ϑ i ( ρ ) \vartheta_i(\rho) ϑ i ( ρ ) u 1 ≠ u 2 u_1\ne u_2 u 1 = u 2 ϑ i ( ρ ) → a i \vartheta_i(\rho)\to a_i ϑ i ( ρ ) → a i r r r ϑ 1 ( ρ ) ≠ ϑ 2 ( ρ ) \vartheta_1(\rho)\ne\vartheta_2(\rho) ϑ 1 ( ρ ) = ϑ 2 ( ρ ) ρ ∈ ( 0 , r ) \rho\in(0,r) ρ ∈ ( 0 , r ) ϑ 2 \vartheta_2 ϑ 2 ϑ 1 ( ρ ) < ϑ 2 ( ρ ) < ϑ 1 ( ρ ) + 2 π \vartheta_1(\rho)<\vartheta_2(\rho)<\vartheta_1(\rho)+2\pi ϑ 1 ( ρ ) < ϑ 2 ( ρ ) < ϑ 1 ( ρ ) + 2 π
以上により
V + = { ρ ( cos ϑ , sin ϑ ) : 0 < ρ < r , ϑ 1 ( ρ ) < ϑ < ϑ 2 ( ρ ) } , V − = { ρ ( cos ϑ , sin ϑ ) : 0 < ρ < r , ϑ 2 ( ρ ) < ϑ < ϑ 1 ( ρ ) + 2 π } V_{+}=\bigl\{\rho(\cos\vartheta,\sin\vartheta):\ 0<\rho<r,\ \vartheta_1(\rho)<\vartheta<\vartheta_2(\rho)\bigr\},\qquad
V_{-}=\bigl\{\rho(\cos\vartheta,\sin\vartheta):\ 0<\rho<r,\ \vartheta_2(\rho)<\vartheta<\vartheta_1(\rho)+2\pi\bigr\} V + = { ρ ( cos ϑ , sin ϑ ) : 0 < ρ < r , ϑ 1 ( ρ ) < ϑ < ϑ 2 ( ρ ) } , V − = { ρ ( cos ϑ , sin ϑ ) : 0 < ρ < r , ϑ 2 ( ρ ) < ϑ < ϑ 1 ( ρ ) + 2 π } と置くと、V + V_{+} V + V − V_{-} V − B ( p , r ) ∖ ∂ D = V + ∪ V − B(p,r)\setminus\partial D=V_{+}\cup V_{-} B ( p , r ) ∖ ∂ D = V + ∪ V − ( ρ , λ ) ↦ ρ ( cos ( ( 1 − λ ) ϑ 1 ( ρ ) + λ ϑ 2 ( ρ ) ) , sin ( ⋯ ) ) (\rho,\lambda)\mapsto\rho\bigl(\cos((1-\lambda)\vartheta_1(\rho)+\lambda\vartheta_2(\rho)),\ \sin(\cdots)\bigr) ( ρ , λ ) ↦ ρ ( cos (( 1 − λ ) ϑ 1 ( ρ ) + λ ϑ 2 ( ρ )) , sin ( ⋯ ) ) ( 0 , r ) × ( 0 , 1 ) (0,r)\times(0,1) ( 0 , r ) × ( 0 , 1 ) V + V_{+} V + V − V_{-} V − B ( p , r ) ∖ ∂ D B(p,r)\setminus\partial D B ( p , r ) ∖ ∂ D { V + , V − } \{V_{+},V_{-}\} { V + , V − } { Ω ∩ B ( p , r ) , ( R 2 ∖ D ) ∩ B ( p , r ) } \{\Omega\cap B(p,r),\ (\mathbb{R}^2\setminus D)\cap B(p,r)\} { Ω ∩ B ( p , r ) , ( R 2 ∖ D ) ∩ B ( p , r )}
V + V_{+} V + Ω \Omega Ω 0 < t ≤ ε 1 0<t\le\varepsilon_1 0 < t ≤ ε 1 ρ 1 ( t ) < r \rho_1(t)<r ρ 1 ( t ) < r v = A 1 ( t ) v=A_1(t) v = A 1 ( t ) w = A 1 ′ ( t ) w=A_1'(t) w = A 1 ′ ( t ) ρ = ∥ v ∥ \rho=\lVert v\rVert ρ = ∥ v ∥ q ( δ ) = v + δ J w q(\delta)=v+\delta Jw q ( δ ) = v + δ J w
d d δ arg q ( δ ) ∣ δ = 0 = det ( v , J w ) ρ 2 = ⟨ v , w ⟩ ρ 2 , d d δ ∥ q ( δ ) ∥ ∣ δ = 0 = ⟨ v , J w ⟩ ρ = − det ( v , w ) ρ \frac{d}{d\delta}\Bigl.\arg q(\delta)\Bigr|_{\delta=0}=\frac{\det(v,Jw)}{\rho^2}=\frac{\langle v,w\rangle}{\rho^2},\qquad
\frac{d}{d\delta}\Bigl.\lVert q(\delta)\rVert\Bigr|_{\delta=0}=\frac{\langle v,Jw\rangle}{\rho}=-\frac{\det(v,w)}{\rho} d δ d arg q ( δ ) δ = 0 = ρ 2 det ( v , J w ) = ρ 2 ⟨ v , w ⟩ , d δ d ∥ q ( δ )∥ δ = 0 = ρ ⟨ v , J w ⟩ = − ρ det ( v , w ) である。よって
d d δ [ arg q ( δ ) − ϑ 1 ( ∥ q ( δ ) ∥ ) ] ∣ δ = 0 = ⟨ v , w ⟩ ρ 2 + det ( v , w ) 2 ρ 2 ⟨ v , w ⟩ > 0 \frac{d}{d\delta}\Bigl.\Bigl[\arg q(\delta)-\vartheta_1\bigl(\lVert q(\delta)\rVert\bigr)\Bigr]\Bigr|_{\delta=0}
=\frac{\langle v,w\rangle}{\rho^2}+\frac{\det(v,w)^2}{\rho^2\,\langle v,w\rangle}>0 d δ d [ arg q ( δ ) − ϑ 1 ( ∥ q ( δ )∥ ) ] δ = 0 = ρ 2 ⟨ v , w ⟩ + ρ 2 ⟨ v , w ⟩ det ( v , w ) 2 > 0 である。δ = 0 \delta=0 δ = 0 0 0 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 arg q ( δ ) > ϑ 1 ( ∥ q ( δ ) ∥ ) \arg q(\delta)>\vartheta_1(\lVert q(\delta)\rVert) arg q ( δ ) > ϑ 1 (∥ q ( δ )∥) δ → 0 \delta\to0 δ → 0 arg q ( δ ) → ϑ 1 ( ρ ) < ϑ 2 ( ρ ) \arg q(\delta)\to\vartheta_1(\rho)<\vartheta_2(\rho) arg q ( δ ) → ϑ 1 ( ρ ) < ϑ 2 ( ρ ) δ \delta δ q ( δ ) ∈ V + q(\delta)\in V_{+} q ( δ ) ∈ V + D D D δ > 0 \delta>0 δ > 0 q ( δ ) = γ ( t ) + δ J γ ′ ( t ) ∈ Ω q(\delta)=\gamma(t)+\delta J\gamma'(t)\in\Omega q ( δ ) = γ ( t ) + δ J γ ′ ( t ) ∈ Ω V + V_{+} V + Ω \Omega Ω V + = Ω ∩ B ( p , r ) V_{+}=\Omega\cap B(p,r) V + = Ω ∩ B ( p , r )
結論 。D ⊆ { q : q 2 ≥ 0 } D\subseteq\{q:q_2\ge0\} D ⊆ { q : q 2 ≥ 0 } γ 2 ≥ 0 \gamma_2\ge0 γ 2 ≥ 0 D D D γ 2 \gamma_2 γ 2 q ↦ q 2 q\mapsto q_2 q ↦ q 2 D D D Ω \Omega Ω ∂ D \partial D ∂ D 0 0 0 B ( p , r ) B(p,r) B ( p , r ) B − = { q ∈ B ( p , r ) : q 2 < 0 } B^{-}=\{q\in B(p,r):q_2<0\} B − = { q ∈ B ( p , r ) : q 2 < 0 } D D D B − ⊆ ( R 2 ∖ D ) ∩ B ( p , r ) = V − B^{-}\subseteq(\mathbb{R}^2\setminus D)\cap B(p,r)=V_{-} B − ⊆ ( R 2 ∖ D ) ∩ B ( p , r ) = V −
a 2 < a 1 a_2<a_1 a 2 < a 1 ϑ 1 ( ρ ) < ϑ 2 ( ρ ) < ϑ 1 ( ρ ) + 2 π \vartheta_1(\rho)<\vartheta_2(\rho)<\vartheta_1(\rho)+2\pi ϑ 1 ( ρ ) < ϑ 2 ( ρ ) < ϑ 1 ( ρ ) + 2 π ρ ↓ 0 \rho\downarrow0 ρ ↓ 0 ϑ 1 ( ρ ) → a 1 \vartheta_1(\rho)\to a_1 ϑ 1 ( ρ ) → a 1 ϑ 2 ( ρ ) → a 2 + 2 π \vartheta_2(\rho)\to a_2+2\pi ϑ 2 ( ρ ) → a 2 + 2 π ρ \rho ρ V − V_{-} V − ( ϑ 2 ( ρ ) , ϑ 1 ( ρ ) + 2 π ) (\vartheta_2(\rho),\vartheta_1(\rho)+2\pi) ( ϑ 2 ( ρ ) , ϑ 1 ( ρ ) + 2 π ) ( a 2 + 2 π , a 1 + 2 π ) (a_2+2\pi,a_1+2\pi) ( a 2 + 2 π , a 1 + 2 π ) 2 π 2\pi 2 π 3 π 3\pi 3 π B − ⊆ V − B^{-}\subseteq V_{-} B − ⊆ V − a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a_1,a_2\in[0,\pi] a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] 3 π / 2 3\pi/2 3 π /2 7 π / 2 7\pi/2 7 π /2 ( ϑ 2 ( ρ ) , ϑ 1 ( ρ ) + 2 π ) (\vartheta_2(\rho),\vartheta_1(\rho)+2\pi) ( ϑ 2 ( ρ ) , ϑ 1 ( ρ ) + 2 π ) a 1 < a 2 a_1<a_2 a 1 < a 2
(3) を示す。γ ′ ( 0 − ) = − u 2 \gamma'(0^{-})=-u_2 γ ′ ( 0 − ) = − u 2 a 2 − π ∈ [ − π , 0 ] a_2-\pi\in[-\pi,0] a 2 − π ∈ [ − π , 0 ] γ ′ ( 0 + ) = u 1 \gamma'(0^{+})=u_1 γ ′ ( 0 + ) = u 1 a 1 ∈ [ 0 , π ] a_1\in[0,\pi] a 1 ∈ [ 0 , π ] 定義 3.2 の外角θ \theta θ a 1 − ( a 2 − π ) = a 1 − a 2 + π a_1-(a_2-\pi)=a_1-a_2+\pi a 1 − ( a 2 − π ) = a 1 − a 2 + π 2 π 2\pi 2 π ( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π ) a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a_1,a_2\in[0,\pi] a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a 1 − a 2 + π ∈ [ 0 , π ) a_1-a_2+\pi\in[0,\pi) a 1 − a 2 + π ∈ [ 0 , π ) ( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π ) θ = a 1 − a 2 + π \theta=a_1-a_2+\pi θ = a 1 − a 2 + π ▨
5 定義域の境界点を膨らませる操作 回転定理の証明は、Hopf の割線写像を三角形Δ = { ( s , t ) : 0 ≤ s ≤ t ≤ L } \Delta=\{(s,t):0\le s\le t\le L\} Δ = {( s , t ) : 0 ≤ s ≤ t ≤ L } s < t s<t s < t ( γ ( t ) − γ ( s ) ) / ∥ γ ( t ) − γ ( s ) ∥ \bigl(\gamma(t)-\gamma(s)\bigr)/\lVert\gamma(t)-\gamma(s)\rVert ( γ ( t ) − γ ( s ) ) / ∥ γ ( t ) − γ ( s )∥ s = t s=t s = t Δ \Delta Δ γ \gamma γ s j s_j s j ( s j , s j ) (s_j,s_j) ( s j , s j ) ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L )
そこで、これらの点を、近づき方を径数とする線分へ置き換える。置き換えが定義域の位相を変えないことを示すために、まず、平面のコンパクトな凸集合が閉円板と同相であることと、境界の同相写像が内部へ延びることを確かめる。用いるのは凸性だけであり、Jordan の曲線定理も Schoenflies の定理も用いない。
補題 5.1. K ⊆ R 2 K\subseteq\mathbb{R}^2 K ⊆ R 2 c c c D ‾ = { z ∈ R 2 : ∥ z ∥ ≤ 1 } \overline{\mathbb{D}}=\{z\in\mathbb{R}^2:\lVert z\rVert\le1\} D = { z ∈ R 2 : ∥ z ∥ ≤ 1 }
各u ∈ S 1 u\in S^1 u ∈ S 1 r K ( u ) = max { r ≥ 0 : c + r u ∈ K } r_K(u)=\max\{r\ge0:\ c+ru\in K\} r K ( u ) = max { r ≥ 0 : c + r u ∈ K } r K r_K r K S 1 S^1 S 1
Ξ ( 0 ) = c \Xi(0)=c Ξ ( 0 ) = c Ξ ( τ u ) = c + τ r K ( u ) u \Xi(\tau u)=c+\tau\,r_K(u)\,u Ξ ( τ u ) = c + τ r K ( u ) u u ∈ S 1 u\in S^1 u ∈ S 1 τ ∈ ( 0 , 1 ] \tau\in(0,1] τ ∈ ( 0 , 1 ] D ‾ \overline{\mathbb{D}} D K K K S 1 S^1 S 1 ∂ K \partial K ∂ K K ′ K' K ′ h : ∂ K → ∂ K ′ h\colon\partial K\to\partial K' h : ∂ K → ∂ K ′ h h h K → K ′ K\to K' K → K ′ 証明. (1) を示す。B ( c , ε ) ⊆ K B(c,\varepsilon)\subseteq K B ( c , ε ) ⊆ K ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 { r ≥ 0 : c + r u ∈ K } \{r\ge0:c+ru\in K\} { r ≥ 0 : c + r u ∈ K } K K K K K K r = 0 r=0 r = 0 [ 0 , r K ( u ) ] [0,r_K(u)] [ 0 , r K ( u )] r K ( u ) ≥ ε > 0 r_K(u)\ge\varepsilon>0 r K ( u ) ≥ ε > 0
連続性を示す。u n → u u_n\to u u n → u r K ( u n ) r_K(u_n) r K ( u n ) r r r c + r K ( u n ) u n ∈ K c+r_K(u_n)u_n\in K c + r K ( u n ) u n ∈ K K K K c + r u ∈ K c+ru\in K c + r u ∈ K r ≤ r K ( u ) r\le r_K(u) r ≤ r K ( u ) lim sup n r K ( u n ) ≤ r K ( u ) \limsup_nr_K(u_n)\le r_K(u) lim sup n r K ( u n ) ≤ r K ( u ) R = r K ( u ) R=r_K(u) R = r K ( u ) 0 < τ < 1 0<\tau<1 0 < τ < 1 B ( c , ε ) ⊆ K B(c,\varepsilon)\subseteq K B ( c , ε ) ⊆ K c + R u ∈ K c+Ru\in K c + R u ∈ K
B ( ( 1 − τ ) c + τ ( c + R u ) , ( 1 − τ ) ε ) = ( 1 − τ ) B ( c , ε ) + τ ( c + R u ) ⊆ K B\bigl((1-\tau)c+\tau(c+Ru),\ (1-\tau)\varepsilon\bigr)=(1-\tau)B(c,\varepsilon)+\tau(c+Ru)\subseteq K B ( ( 1 − τ ) c + τ ( c + R u ) , ( 1 − τ ) ε ) = ( 1 − τ ) B ( c , ε ) + τ ( c + R u ) ⊆ K である。n n n c + τ R u n c+\tau Ru_n c + τ R u n r K ( u n ) ≥ τ R r_K(u_n)\ge\tau R r K ( u n ) ≥ τ R lim inf n r K ( u n ) ≥ τ R \liminf_nr_K(u_n)\ge\tau R lim inf n r K ( u n ) ≥ τ R τ ↑ 1 \tau\uparrow1 τ ↑ 1 lim inf n r K ( u n ) ≥ R \liminf_nr_K(u_n)\ge R lim inf n r K ( u n ) ≥ R
(2) を示す。Ξ \Xi Ξ D ‾ ∖ { 0 } \overline{\mathbb{D}}\setminus\{0\} D ∖ { 0 } Ξ ( z ) = c + r K ( z / ∥ z ∥ ) z \Xi(z)=c+r_K(z/\lVert z\rVert)\,z Ξ ( z ) = c + r K ( z / ∥ z ∥) z ∥ Ξ ( z ) − c ∥ ≤ ∥ z ∥ max S 1 r K \lVert\Xi(z)-c\rVert\le\lVert z\rVert\max_{S^1}r_K ∥ Ξ ( z ) − c ∥ ≤ ∥ z ∥ max S 1 r K 0 0 0 τ u \tau u τ u τ ′ u ′ \tau'u' τ ′ u ′ Ξ ( τ u ) = Ξ ( τ ′ u ′ ) \Xi(\tau u)=\Xi(\tau'u') Ξ ( τ u ) = Ξ ( τ ′ u ′ ) τ r K ( u ) u = τ ′ r K ( u ′ ) u ′ \tau r_K(u)u=\tau'r_K(u')u' τ r K ( u ) u = τ ′ r K ( u ′ ) u ′ u = u ′ u=u' u = u ′ τ = τ ′ \tau=\tau' τ = τ ′ z ∈ K z\in K z ∈ K z ≠ c z\ne c z = c u = ( z − c ) / ∥ z − c ∥ u=(z-c)/\lVert z-c\rVert u = ( z − c ) / ∥ z − c ∥ ∥ z − c ∥ ≤ r K ( u ) \lVert z-c\rVert\le r_K(u) ∥ z − c ∥ ≤ r K ( u ) τ = ∥ z − c ∥ / r K ( u ) ∈ ( 0 , 1 ] \tau=\lVert z-c\rVert/r_K(u)\in(0,1] τ = ∥ z − c ∥ / r K ( u ) ∈ ( 0 , 1 ] Ξ ( τ u ) = z \Xi(\tau u)=z Ξ ( τ u ) = z Ξ \Xi Ξ
Ξ ( S 1 ) = ∂ K \Xi(S^1)=\partial K Ξ ( S 1 ) = ∂ K τ < 1 \tau<1 τ < 1 Ξ ( τ u ) \Xi(\tau u) Ξ ( τ u ) K K K ∂ K ⊆ Ξ ( S 1 ) \partial K\subseteq\Xi(S^1) ∂ K ⊆ Ξ ( S 1 ) c + r K ( u ) u c+r_K(u)u c + r K ( u ) u K K K c + r u c+ru c + r u r > r K ( u ) r>r_K(u) r > r K ( u ) K K K ∂ K \partial K ∂ K
(3) を示す。c ′ c' c ′ K ′ K' K ′ Ξ \Xi Ξ Ξ ′ \Xi' Ξ ′ k = ( Ξ ′ ) − 1 ∘ h ∘ Ξ ∣ S 1 k=(\Xi')^{-1}\circ h\circ\Xi|_{S^1} k = ( Ξ ′ ) − 1 ∘ h ∘ Ξ ∣ S 1 S 1 S^1 S 1 S 1 S^1 S 1 D ‾ \overline{\mathbb{D}} D k ~ ( τ u ) = τ k ( u ) \widetilde k(\tau u)=\tau\,k(u) k ( τ u ) = τ k ( u ) u ∈ S 1 u\in S^1 u ∈ S 1 τ ∈ [ 0 , 1 ] \tau\in[0,1] τ ∈ [ 0 , 1 ] k ~ \widetilde k k Ξ ′ ∘ k ~ ∘ Ξ − 1 \Xi'\circ\widetilde k\circ\Xi^{-1} Ξ ′ ∘ k ∘ Ξ − 1 ▨
以下、p ∈ R 2 p\in\mathbb{R}^2 p ∈ R 2 η > 0 \eta>0 η > 0 0 < α + − α − ≤ π 0<\alpha_+-\alpha_-\le\pi 0 < α + − α − ≤ π
Σ ( p , η , α − , α + ) = { p + ρ ( cos α , sin α ) : 0 ≤ ρ ≤ η , α − ≤ α ≤ α + } \Sigma(p,\eta,\alpha_-,\alpha_+)=\bigl\{p+\rho(\cos\alpha,\sin\alpha):\ 0\le\rho\le\eta,\ \alpha_-\le\alpha\le\alpha_+\bigr\} Σ ( p , η , α − , α + ) = { p + ρ ( cos α , sin α ) : 0 ≤ ρ ≤ η , α − ≤ α ≤ α + } と書き、これをp p p 閉扇形 という。閉扇形は、閉球B ‾ ( p , η ) \overline B(p,\eta) B ( p , η ) p p p π \pi π
補題 5.2. X ⊆ R 2 X\subseteq\mathbb{R}^2 X ⊆ R 2 p 1 , … , p m p_1,\ldots,p_m p 1 , … , p m η > 0 \eta>0 η > 0 Σ i = Σ ( p i , η , α i − , α i + ) \Sigma_i=\Sigma(p_i,\eta,\alpha^-_i,\alpha^+_i) Σ i = Σ ( p i , η , α i − , α i + ) i i i X ∩ B ‾ ( p i , η ) = Σ i X\cap\overline{B}(p_i,\eta)=\Sigma_i X ∩ B ( p i , η ) = Σ i i ≠ k i\ne k i = k Σ i ∩ Σ k = ∅ \Sigma_i\cap\Sigma_k=\varnothing Σ i ∩ Σ k = ∅
R i = [ α i − , α i + ] × [ 0 , η ] R_i=[\alpha^-_i,\alpha^+_i]\times[0,\eta] R i = [ α i − , α i + ] × [ 0 , η ] π i : R i → Σ i \pi_i\colon R_i\to\Sigma_i π i : R i → Σ i π i ( α , ρ ) = p i + ρ ( cos α , sin α ) \pi_i(\alpha,\rho)=p_i+\rho(\cos\alpha,\sin\alpha) π i ( α , ρ ) = p i + ρ ( cos α , sin α ) A i = π i ( [ α i − , α i + ] × { η } ) A_i=\pi_i\bigl([\alpha^-_i,\alpha^+_i]\times\{\eta\}\bigr) A i = π i ( [ α i − , α i + ] × { η } ) Y = X ∖ ⋃ i Σ i ‾ Y=\overline{X\setminus\bigcup_i\Sigma_i} Y = X ∖ ⋃ i Σ i Y ⊔ ⨆ i R i Y\sqcup\bigsqcup_iR_i Y ⊔ ⨆ i R i α \alpha α R i R_i R i ( α , η ) (\alpha,\eta) ( α , η ) Y Y Y π i ( α , η ) \pi_i(\alpha,\eta) π i ( α , η ) X ^ \widehat X X
X ^ \widehat X X X X X Y Y Y R i R_i R i π i \pi_i π i π : X ^ → X \pi\colon\widehat X\to X π : X → X m m m [ α i − , α i + ] × { 0 } [\alpha^-_i,\alpha^+_i]\times\{0\} [ α i − , α i + ] × { 0 } p i p_i p i 証明. まずY ∪ ⋃ i Σ i = X Y\cup\bigcup_i\Sigma_i=X Y ∪ ⋃ i Σ i = X Y ∩ Σ i = A i Y\cap\Sigma_i=A_i Y ∩ Σ i = A i Y Y Y X ∩ B ‾ ( p i , η ) = Σ i X\cap\overline B(p_i,\eta)=\Sigma_i X ∩ B ( p i , η ) = Σ i X ∖ ⋃ i Σ i = X ∖ ⋃ i B ‾ ( p i , η ) X\setminus\bigcup_i\Sigma_i=X\setminus\bigcup_i\overline B(p_i,\eta) X ∖ ⋃ i Σ i = X ∖ ⋃ i B ( p i , η ) X X X p i p_i p i η \eta η A i A_i A i Y = ( X ∖ ⋃ i Σ i ) ∪ ⋃ i A i Y=\bigl(X\setminus\bigcup_i\Sigma_i\bigr)\cup\bigcup_iA_i Y = ( X ∖ ⋃ i Σ i ) ∪ ⋃ i A i X X X
(2) を示す。Z = Y ⊔ ⨆ i R i Z=Y\sqcup\bigsqcup_iR_i Z = Y ⊔ ⨆ i R i Θ 0 : Z → X \Theta_0\colon Z\to X Θ 0 : Z → X Y Y Y R i R_i R i π i \pi_i π i Θ 0 \Theta_0 Θ 0 Y ∪ ⋃ i Σ i = X Y\cup\bigcup_i\Sigma_i=X Y ∪ ⋃ i Σ i = X Θ 0 \Theta_0 Θ 0 A i A_i A i π i ( α , η ) \pi_i(\alpha,\eta) π i ( α , η ) R i R_i R i ( α , η ) (\alpha,\eta) ( α , η ) R i R_i R i ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 π i \pi_i π i ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 p i p_i p i Θ 0 \Theta_0 Θ 0 Z → X ^ Z\to\widehat X Z → X π : X ^ → X \pi\colon\widehat X\to X π : X → X π \pi π ρ = 0 \rho=0 ρ = 0
(1) を示す。補題 5.1 (3) をK = R i K=R_i K = R i K ′ = Σ i K'=\Sigma_i K ′ = Σ i R i R_i R i Σ i \Sigma_i Σ i ∂ R i \partial R_i ∂ R i ρ = η \rho=\eta ρ = η ∂ Σ i \partial\Sigma_i ∂ Σ i A i A_i A i π i \pi_i π i ρ = η \rho=\eta ρ = η A i A_i A i h i : ∂ R i → ∂ Σ i h_i\colon\partial R_i\to\partial\Sigma_i h i : ∂ R i → ∂ Σ i 補題 5.1 (3) により、h i h_i h i F i : R i → Σ i F_i\colon R_i\to\Sigma_i F i : R i → Σ i F i F_i F i ρ = η \rho=\eta ρ = η π i \pi_i π i
Θ : Z → X \Theta\colon Z\to X Θ : Z → X Y Y Y R i R_i R i F i F_i F i Θ \Theta Θ ( ( α , η ) , π i ( α , η ) ) \bigl((\alpha,\eta),\ \pi_i(\alpha,\eta)\bigr) ( ( α , η ) , π i ( α , η ) ) Z Z Z X X X Θ \Theta Θ Θ \Theta Θ X ^ → X \widehat X\to X X → X X ^ \widehat X X ▨
X ^ \widehat X X R i R_i R i ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 p i p_i p i α \alpha α X X X p i p_i p i
6 証明方針 回転定理は、単純閉曲線についてι ( γ ) = 1 \iota(\gamma)=1 ι ( γ ) = 1
第一段は、割線写像の定義域を作る段である。γ \gamma γ L L L Δ \Delta Δ ( s j , s j ) (s_j,s_j) ( s j , s j ) j = 1 , … , N − 1 j=1,\ldots,N-1 j = 1 , … , N − 1 ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L ) 補題 5.2 によって線分へ膨らませる。膨らませた領域は正方形と同相である。曲線の側で角の跳びを補間するのではなく、定義域の側で角を膨らませる 。曲線γ \gamma γ
第二段は、割線写像の構成と連続性である。膨らませた線分の上では、その点へ近づく方向α \alpha α T j − T^{-}_j T j − T j + T^{+}_j T j + 補題 3.3 により、膨らませた線分に沿う偏角の増分はちょうど外角θ j \theta_j θ j
第三段は、持ち上げである。「位相幾何入門」の§E18.5 補題 3.1 により、割線写像はR \mathbb{R} R 補題 4.1 から、増分の総和が2 π 2\pi 2 π
7 回転定理 定理 7.1 (回転定理). γ : [ a , b ] → R 2 \gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2 γ : [ a , b ] → R 2 単純 閉曲線とし、その像を境界とする有界領域を左に見る向きに径数づける。すなわち、D D D §E4.22 定義 1.2 の意味の区分的に一階連続微分可能な正則領域であって∂ D = γ ( [ a , b ] ) \partial D=\gamma([a,b]) ∂ D = γ ([ a , b ]) γ \gamma γ D D D
ι ( γ ) = 1 , すなわち ∑ j = 1 N ∫ 弧 j d φ + ∑ j = 1 N θ j = 2 π \iota(\gamma)=1,\qquad\text{すなわち}\qquad
\sum_{j=1}^{N}\int_{\text{弧}_j}d\varphi+\sum_{j=1}^{N}\theta_j=2\pi ι ( γ ) = 1 , すなわち j = 1 ∑ N ∫ 弧 j d φ + j = 1 ∑ N θ j = 2 π が成り立つ。ここでθ j ∈ ( − π , π ) \theta_j\in(-\pi,\pi) θ j ∈ ( − π , π ) 定義 3.2 の外角である。
証明. 命題 3.5 (3) により、径数を弧長へ取り替えてもι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ ) γ : [ 0 , L ] → R 2 \gamma\colon[0,L]\to\mathbb{R}^2 γ : [ 0 , L ] → R 2 L L L R \mathbb{R} R γ 2 \gamma_2 γ 2 γ ( 0 ) \gamma(0) γ ( 0 ) 命題 3.5 (2) により分割の取り方はι ( γ ) \iota(\gamma) ι ( γ ) 0 = s 0 < s 1 < ⋯ < s N = L 0=s_0<s_1<\cdots<s_N=L 0 = s 0 < s 1 < ⋯ < s N = L γ ( 0 ) = 0 \gamma(0)=0 γ ( 0 ) = 0 γ 2 ≥ 0 \gamma_2\ge0 γ 2 ≥ 0
T j − T^{-}_j T j − T j + T^{+}_j T j + 定義 3.1 のとおりとし、外角をθ j \theta_j θ j T N + = T 0 + = γ ′ ( 0 + ) = u 1 T^{+}_N=T^{+}_0=\gamma'(0^{+})=u_1 T N + = T 0 + = γ ′ ( 0 + ) = u 1 T N − = γ ′ ( 0 − ) = − u 2 T^{-}_N=\gamma'(0^{-})=-u_2 T N − = γ ′ ( 0 − ) = − u 2 θ N \theta_N θ N γ ( 0 ) \gamma(0) γ ( 0 ) 補題 4.1 によりa 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a_1,a_2\in[0,\pi] a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a 1 < a 2 a_1<a_2 a 1 < a 2 θ N = a 1 − a 2 + π ∈ [ 0 , π ) \theta_N=a_1-a_2+\pi\in[0,\pi) θ N = a 1 − a 2 + π ∈ [ 0 , π )
第一段。膨らませた定義域 。Δ = { ( s , t ) ∈ R 2 : 0 ≤ s ≤ t ≤ L } \Delta=\{(s,t)\in\mathbb{R}^2:0\le s\le t\le L\} Δ = {( s , t ) ∈ R 2 : 0 ≤ s ≤ t ≤ L } Δ \Delta Δ 補題 5.1 (2) により閉円板と同相である。[ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [ 0 , 1 ] 2 Δ \Delta Δ [ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [ 0 , 1 ] 2 d = min 1 ≤ j ≤ N ( s j − s j − 1 ) d=\min_{1\le j\le N}(s_j-s_{j-1}) d = min 1 ≤ j ≤ N ( s j − s j − 1 ) η \eta η 0 < η < min { d / 2 , L / 4 } 0<\eta<\min\{d/2,\ L/4\} 0 < η < min { d /2 , L /4 } p j = ( s j , s j ) p_j=(s_j,s_j) p j = ( s j , s j ) 1 ≤ j ≤ N − 1 1\le j\le N-1 1 ≤ j ≤ N − 1 p N = ( 0 , L ) p_N=(0,L) p N = ( 0 , L )
1 ≤ j ≤ N − 1 1\le j\le N-1 1 ≤ j ≤ N − 1 p j p_j p j s = 0 s=0 s = 0 s j ≥ d s_j\ge d s j ≥ d t = L t=L t = L L − s j ≥ d L-s_j\ge d L − s j ≥ d η < d \eta<d η < d B ‾ ( p j , η ) \overline B(p_j,\eta) B ( p j , η ) 0 ≤ s 0\le s 0 ≤ s t ≤ L t\le L t ≤ L
Δ ∩ B ‾ ( p j , η ) = { ( s , t ) : s ≤ t } ∩ B ‾ ( p j , η ) = Σ ( p j , η , π 4 , 5 π 4 ) \Delta\cap\overline B(p_j,\eta)=\{(s,t):s\le t\}\cap\overline B(p_j,\eta)=\Sigma\Bigl(p_j,\eta,\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\Bigr) Δ ∩ B ( p j , η ) = {( s , t ) : s ≤ t } ∩ B ( p j , η ) = Σ ( p j , η , 4 π , 4 5 π ) である。p N p_N p N η < L / 4 \eta<L/4 η < L /4 B ‾ ( p N , η ) \overline B(p_N,\eta) B ( p N , η ) s ≤ η < L − η ≤ t s\le\eta<L-\eta\le t s ≤ η < L − η ≤ t s ≤ t s\le t s ≤ t
Δ ∩ B ‾ ( p N , η ) = { ( s , t ) : s ≥ 0 , t ≤ L } ∩ B ‾ ( p N , η ) = Σ ( p N , η , − π 2 , 0 ) \Delta\cap\overline B(p_N,\eta)=\{(s,t):s\ge0,\ t\le L\}\cap\overline B(p_N,\eta)=\Sigma\Bigl(p_N,\eta,-\frac{\pi}{2},0\Bigr) Δ ∩ B ( p N , η ) = {( s , t ) : s ≥ 0 , t ≤ L } ∩ B ( p N , η ) = Σ ( p N , η , − 2 π , 0 ) である。相異なる二点の距離は2 η 2\eta 2 η j ≠ k j\ne k j = k N N N ∥ p j − p k ∥ = 2 ∣ s j − s k ∣ ≥ 2 d > 2 η \lVert p_j-p_k\rVert=\sqrt2\,\lvert s_j-s_k\rvert\ge\sqrt2\,d>2\eta ∥ p j − p k ∥ = 2 ∣ s j − s k ∣ ≥ 2 d > 2 η ∥ p j − p N ∥ = s j 2 + ( L − s j ) 2 ≥ L / 2 > L / 2 > 2 η \lVert p_j-p_N\rVert=\sqrt{s_j^2+(L-s_j)^2}\ge L/\sqrt2>L/2>2\eta ∥ p j − p N ∥ = s j 2 + ( L − s j ) 2 ≥ L / 2 > L /2 > 2 η 補題 5.2 の仮定が満たされる。同補題によって得られる領域をΔ ^ \widehat\Delta Δ π : Δ ^ → Δ \pi\colon\widehat\Delta\to\Delta π : Δ → Δ 補題 5.2 (1) によりΔ ^ \widehat\Delta Δ Δ \Delta Δ [ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [ 0 , 1 ] 2
p j p_j p j 1 ≤ j ≤ N − 1 1\le j\le N-1 1 ≤ j ≤ N − 1 R j = [ π / 4 , 5 π / 4 ] × [ 0 , η ] R_j=[\pi/4,5\pi/4]\times[0,\eta] R j = [ π /4 , 5 π /4 ] × [ 0 , η ] p N p_N p N R N R_N R N R N R_N R N χ = α + π / 2 ∈ [ 0 , π / 2 ] \chi=\alpha+\pi/2\in[0,\pi/2] χ = α + π /2 ∈ [ 0 , π /2 ]
π N ( χ , ρ ) = ( s , t ) = ( ρ sin χ , L − ρ cos χ ) \pi_N(\chi,\rho)=(s,t)=\bigl(\rho\sin\chi,\ L-\rho\cos\chi\bigr) π N ( χ , ρ ) = ( s , t ) = ( ρ sin χ , L − ρ cos χ ) と書き直す。χ = 0 \chi=0 χ = 0 s = 0 s=0 s = 0 χ = π / 2 \chi=\pi/2 χ = π /2 t = L t=L t = L 0 < ϵ ≤ η 0<\epsilon\le\eta 0 < ϵ ≤ η R i R_i R i ρ < ϵ \rho<\epsilon ρ < ϵ Δ ^ \widehat\Delta Δ π \pi π Δ \Delta Δ ϵ \epsilon ϵ π \pi π N N N Δ ∖ { p 1 , … , p N } \Delta\setminus\{p_1,\ldots,p_N\} Δ ∖ { p 1 , … , p N }
第二段。割線写像とその連続性 。Ψ : Δ ^ → S 1 \Psi\colon\widehat\Delta\to S^1 Ψ : Δ → S 1
π \pi π s < t s<t s < t Ψ = γ ( t ) − γ ( s ) ∥ γ ( t ) − γ ( s ) ∥ \Psi=\dfrac{\gamma(t)-\gamma(s)}{\lVert\gamma(t)-\gamma(s)\rVert} Ψ = ∥ γ ( t ) − γ ( s )∥ γ ( t ) − γ ( s ) ( s , t ) ≠ ( 0 , L ) (s,t)\ne(0,L) ( s , t ) = ( 0 , L ) γ ∣ [ 0 , L ) \gamma|_{[0,L)} γ ∣ [ 0 , L ) γ ( L ) = γ ( 0 ) \gamma(L)=\gamma(0) γ ( L ) = γ ( 0 ) γ ( s ) ≠ γ ( t ) \gamma(s)\ne\gamma(t) γ ( s ) = γ ( t ) π \pi π ( s ˉ , s ˉ ) (\bar s,\bar s) ( s ˉ , s ˉ ) s ˉ ∉ { s 1 , … , s N − 1 } \bar s\notin\{s_1,\ldots,s_{N-1}\} s ˉ ∈ / { s 1 , … , s N − 1 } Ψ = γ ′ ( s ˉ ) \Psi=\gamma'(\bar s) Ψ = γ ′ ( s ˉ ) γ ′ ( s ˉ ) \gamma'(\bar s) γ ′ ( s ˉ ) s ˉ \bar s s ˉ s ˉ = 0 \bar s=0 s ˉ = 0 γ ′ ( 0 + ) = u 1 \gamma'(0^{+})=u_1 γ ′ ( 0 + ) = u 1 s ˉ = L \bar s=L s ˉ = L γ ′ ( L − ) = − u 2 \gamma'(L^{-})=-u_2 γ ′ ( L − ) = − u 2 R j R_j R j 1 ≤ j ≤ N − 1 1\le j\le N-1 1 ≤ j ≤ N − 1 ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 Ψ ( α , 0 ) = Z j ( Λ ( α ) ) , Z j ( μ ) = ( 1 − μ ) T j − + μ T j + ∥ ( 1 − μ ) T j − + μ T j + ∥ \Psi(\alpha,0)=Z_j\bigl(\Lambda(\alpha)\bigr),\qquad
Z_j(\mu)=\frac{(1-\mu)T^{-}_j+\mu T^{+}_j}{\bigl\lVert(1-\mu)T^{-}_j+\mu T^{+}_j\bigr\rVert} Ψ ( α , 0 ) = Z j ( Λ ( α ) ) , Z j ( μ ) = ( 1 − μ ) T j − + μ T j + ( 1 − μ ) T j − + μ T j + とする。ここで
Λ ( α ) = { 1 , π 4 ≤ α ≤ π 2 , sin α sin α − cos α , π 2 ≤ α ≤ π , 0 , π ≤ α ≤ 5 π 4 \Lambda(\alpha)=
\begin{cases}
1, & \dfrac{\pi}{4}\le\alpha\le\dfrac{\pi}{2},\\[2mm]
\dfrac{\sin\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}, & \dfrac{\pi}{2}\le\alpha\le\pi,\\[2mm]
0, & \pi\le\alpha\le\dfrac{5\pi}{4}
\end{cases} Λ ( α ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 , sin α − cos α sin α , 0 , 4 π ≤ α ≤ 2 π , 2 π ≤ α ≤ π , π ≤ α ≤ 4 5 π である。
4.R N R_N R N ρ = 0 \rho=0 ρ = 0
Ψ ( χ , 0 ) = cos χ u 2 − sin χ u 1 ∥ cos χ u 2 − sin χ u 1 ∥ \Psi(\chi,0)=\frac{\cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1}{\lVert\cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1\rVert} Ψ ( χ , 0 ) = ∥ cos χ u 2 − sin χ u 1 ∥ cos χ u 2 − sin χ u 1 とする。
3 のZ j Z_j Z j γ \gamma γ T j − ≠ − T j + T^{-}_j\ne-T^{+}_j T j − = − T j + 補題 3.3 (1) による。Λ \Lambda Λ α = π / 2 \alpha=\pi/2 α = π /2 1 1 1 α = π \alpha=\pi α = π 0 0 0 sin α − cos α = 2 sin ( α − π / 4 ) \sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt2\sin(\alpha-\pi/4) sin α − cos α = 2 sin ( α − π /4 ) ( π / 4 , 5 π / 4 ) (\pi/4,5\pi/4) ( π /4 , 5 π /4 ) [ π / 2 , π ] [\pi/2,\pi] [ π /2 , π ]
Λ ′ ( α ) = cos α ( sin α − cos α ) − sin α ( cos α + sin α ) ( sin α − cos α ) 2 = − 1 ( sin α − cos α ) 2 < 0 \Lambda'(\alpha)=\frac{\cos\alpha(\sin\alpha-\cos\alpha)-\sin\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)}{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}
=\frac{-1}{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}<0 Λ ′ ( α ) = ( sin α − cos α ) 2 cos α ( sin α − cos α ) − sin α ( cos α + sin α ) = ( sin α − cos α ) 2 − 1 < 0 であるから、Λ \Lambda Λ [ π / 4 , 5 π / 4 ] [\pi/4,5\pi/4] [ π /4 , 5 π /4 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 補題 4.1 (1) によりu 1 ≠ u 2 u_1\ne u_2 u 1 = u 2 − u 1 ≠ − u 2 -u_1\ne-u_2 − u 1 = − u 2 u 2 u_2 u 2 − u 1 -u_1 − u 1 補題 3.3 (3) を適用することができることによる。
Ψ \Psi Ψ γ \gamma γ
対角線の点における連続性 。s ˉ ∈ [ 0 , L ] \bar s\in[0,L] s ˉ ∈ [ 0 , L ] s ˉ ∉ { s 1 , … , s N − 1 } \bar s\notin\{s_1,\ldots,s_{N-1}\} s ˉ ∈ / { s 1 , … , s N − 1 } s ˉ \bar s s ˉ [ s j − 1 , s j ] [s_{j-1},s_j] [ s j − 1 , s j ] s ≤ t s\le t s ≤ t s ˉ \bar s s ˉ §D1.19 定理 2.1 ）により
γ ( t ) − γ ( s ) = ( t − s ) γ ′ ( s ˉ ) + r ( s , t ) , ∥ r ( s , t ) ∥ ≤ ( t − s ) sup s ≤ u ≤ t ∥ γ ′ ( u ) − γ ′ ( s ˉ ) ∥ \gamma(t)-\gamma(s)=(t-s)\,\gamma'(\bar s)+r(s,t),\qquad
\lVert r(s,t)\rVert\le(t-s)\sup_{s\le u\le t}\lVert\gamma'(u)-\gamma'(\bar s)\rVert γ ( t ) − γ ( s ) = ( t − s ) γ ′ ( s ˉ ) + r ( s , t ) , ∥ r ( s , t )∥ ≤ ( t − s ) s ≤ u ≤ t sup ∥ γ ′ ( u ) − γ ′ ( s ˉ )∥ である。γ ′ \gamma' γ ′ ( s , t ) → ( s ˉ , s ˉ ) (s,t)\to(\bar s,\bar s) ( s , t ) → ( s ˉ , s ˉ ) 0 0 0 t − s t-s t − s Ψ → γ ′ ( s ˉ ) \Psi\to\gamma'(\bar s) Ψ → γ ′ ( s ˉ ) Δ ^ \widehat\Delta Δ π \pi π Δ \Delta Δ
R j R_j R j 1 ≤ j ≤ N − 1 1\le j\le N-1 1 ≤ j ≤ N − 1 0 < ρ ≤ η 0<\rho\le\eta 0 < ρ ≤ η
ε j ( ρ ) = sup s j − ρ ≤ u ≤ s j ∥ γ ′ ( u ) − T j − ∥ + sup s j ≤ u ≤ s j + ρ ∥ γ ′ ( u ) − T j + ∥ \varepsilon_j(\rho)=\sup_{s_j-\rho\le u\le s_j}\bigl\lVert\gamma'(u)-T^{-}_j\bigr\rVert
+\sup_{s_j\le u\le s_j+\rho}\bigl\lVert\gamma'(u)-T^{+}_j\bigr\rVert ε j ( ρ ) = s j − ρ ≤ u ≤ s j sup γ ′ ( u ) − T j − + s j ≤ u ≤ s j + ρ sup γ ′ ( u ) − T j + と置く。左の上限ではγ ∣ [ s j − 1 , s j ] \gamma|_{[s_{j-1},s_j]} γ ∣ [ s j − 1 , s j ] γ ∣ [ s j , s j + 1 ] \gamma|_{[s_j,s_{j+1}]} γ ∣ [ s j , s j + 1 ] η < d / 2 \eta<d/2 η < d /2 s j s_j s j T j − T^{-}_j T j − T j + T^{+}_j T j + ε j ( ρ ) → 0 \varepsilon_j(\rho)\to0 ε j ( ρ ) → 0 ρ ↓ 0 \rho\downarrow0 ρ ↓ 0
α ∈ ( π / 4 , 5 π / 4 ) \alpha\in(\pi/4,5\pi/4) α ∈ ( π /4 , 5 π /4 ) 0 < ρ ≤ η 0<\rho\le\eta 0 < ρ ≤ η ( s , t ) = π j ( α , ρ ) (s,t)=\pi_j(\alpha,\rho) ( s , t ) = π j ( α , ρ ) s < t s<t s < t s , t ∈ [ s j − ρ , s j + ρ ] s,t\in[s_j-\rho,s_j+\rho] s , t ∈ [ s j − ρ , s j + ρ ] m m m s s s s j s_j s j t t t m = min { max { s , s j } , t } m=\min\{\max\{s,s_j\},\ t\} m = min { max { s , s j } , t } s ≤ m ≤ t s\le m\le t s ≤ m ≤ t [ s , m ] [s,m] [ s , m ] γ \gamma γ s j s_j s j [ m , t ] [m,t] [ m , t ]
γ ( t ) − γ ( s ) = ∫ s m γ ′ ( u ) d u + ∫ m t γ ′ ( u ) d u = ( m − s ) T j − + ( t − m ) T j + + r , ∥ r ∥ ≤ ( t − s ) ε j ( ρ ) \gamma(t)-\gamma(s)=\int_s^m\gamma'(u)\,du+\int_m^t\gamma'(u)\,du
=(m-s)T^{-}_j+(t-m)T^{+}_j+r,\qquad
\lVert r\rVert\le(t-s)\,\varepsilon_j(\rho) γ ( t ) − γ ( s ) = ∫ s m γ ′ ( u ) d u + ∫ m t γ ′ ( u ) d u = ( m − s ) T j − + ( t − m ) T j + + r , ∥ r ∥ ≤ ( t − s ) ε j ( ρ ) である。m m m Λ \Lambda Λ ( t − m ) / ( t − s ) = Λ ( α ) (t-m)/(t-s)=\Lambda(\alpha) ( t − m ) / ( t − s ) = Λ ( α ) cos α > 0 \cos\alpha>0 cos α > 0 s > s j s>s_j s > s j m = s m=s m = s 1 1 1 α < π / 2 \alpha<\pi/2 α < π /2 Λ ( α ) = 1 \Lambda(\alpha)=1 Λ ( α ) = 1 sin α < 0 \sin\alpha<0 sin α < 0 t < s j t<s_j t < s j m = t m=t m = t 0 0 0 α > π \alpha>\pi α > π Λ ( α ) = 0 \Lambda(\alpha)=0 Λ ( α ) = 0 cos α ≤ 0 ≤ sin α \cos\alpha\le0\le\sin\alpha cos α ≤ 0 ≤ sin α π / 2 ≤ α ≤ π \pi/2\le\alpha\le\pi π /2 ≤ α ≤ π m = s j m=s_j m = s j
t − m t − s = ρ sin α ρ ( sin α − cos α ) = Λ ( α ) \frac{t-m}{t-s}=\frac{\rho\sin\alpha}{\rho(\sin\alpha-\cos\alpha)}=\Lambda(\alpha) t − s t − m = ρ ( sin α − cos α ) ρ sin α = Λ ( α ) である。したがってw ( α ) = ( 1 − Λ ( α ) ) T j − + Λ ( α ) T j + w(\alpha)=(1-\Lambda(\alpha))T^{-}_j+\Lambda(\alpha)T^{+}_j w ( α ) = ( 1 − Λ ( α )) T j − + Λ ( α ) T j +
γ ( t ) − γ ( s ) t − s = w ( α ) + r ′ , ∥ r ′ ∥ ≤ ε j ( ρ ) \frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{t-s}=w(\alpha)+r',\qquad\lVert r'\rVert\le\varepsilon_j(\rho) t − s γ ( t ) − γ ( s ) = w ( α ) + r ′ , ∥ r ′ ∥ ≤ ε j ( ρ ) である。補題 3.3 (1) によりμ ↦ ∥ ( 1 − μ ) T j − + μ T j + ∥ \mu\mapsto\lVert(1-\mu)T^{-}_j+\mu T^{+}_j\rVert μ ↦ ∥( 1 − μ ) T j − + μ T j + ∥ [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] c j c_j c j α \alpha α ∥ w ( α ) ∥ ≥ c j \lVert w(\alpha)\rVert\ge c_j ∥ w ( α )∥ ≥ c j ε j ( ρ ) < c j \varepsilon_j(\rho)<c_j ε j ( ρ ) < c j ρ \rho ρ w ( α ) + r ′ ≠ 0 w(\alpha)+r'\ne0 w ( α ) + r ′ = 0 w w w w + r ′ w+r' w + r ′
w + r ′ ∥ w + r ′ ∥ − w ∥ w ∥ = r ′ ∥ w + r ′ ∥ + w ( 1 ∥ w + r ′ ∥ − 1 ∥ w ∥ ) \frac{w+r'}{\lVert w+r'\rVert}-\frac{w}{\lVert w\rVert}
=\frac{r'}{\lVert w+r'\rVert}+w\left(\frac{1}{\lVert w+r'\rVert}-\frac{1}{\lVert w\rVert}\right) ∥ w + r ′ ∥ w + r ′ − ∥ w ∥ w = ∥ w + r ′ ∥ r ′ + w ( ∥ w + r ′ ∥ 1 − ∥ w ∥ 1 ) であり、∣ ∥ w + r ′ ∥ − ∥ w ∥ ∣ ≤ ∥ r ′ ∥ \bigl\lvert\lVert w+r'\rVert-\lVert w\rVert\bigr\rvert\le\lVert r'\rVert ∥ w + r ′ ∥ − ∥ w ∥ ≤ ∥ r ′ ∥
∥ w + r ′ ∥ w + r ′ ∥ − w ∥ w ∥ ∥ ≤ 2 ∥ r ′ ∥ ∥ w + r ′ ∥ \left\lVert\frac{w+r'}{\lVert w+r'\rVert}-\frac{w}{\lVert w\rVert}\right\rVert\le\frac{2\lVert r'\rVert}{\lVert w+r'\rVert} ∥ w + r ′ ∥ w + r ′ − ∥ w ∥ w ≤ ∥ w + r ′ ∥ 2 ∥ r ′ ∥ が成り立つ。∥ w + r ′ ∥ ≥ c j − ε j ( ρ ) \lVert w+r'\rVert\ge c_j-\varepsilon_j(\rho) ∥ w + r ′ ∥ ≥ c j − ε j ( ρ ) ε j ( ρ ) ≤ c j / 2 \varepsilon_j(\rho)\le c_j/2 ε j ( ρ ) ≤ c j /2 ρ \rho ρ ∥ Ψ ( α , ρ ) − Z j ( Λ ( α ) ) ∥ ≤ 4 ε j ( ρ ) / c j \lVert\Psi(\alpha,\rho)-Z_j(\Lambda(\alpha))\rVert\le4\varepsilon_j(\rho)/c_j ∥ Ψ ( α , ρ ) − Z j ( Λ ( α ))∥ ≤ 4 ε j ( ρ ) / c j α ∈ { π / 4 , 5 π / 4 } \alpha\in\{\pi/4,5\pi/4\} α ∈ { π /4 , 5 π /4 } s = t s=t s = t Ψ = γ ′ ( s ) \Psi=\gamma'(s) Ψ = γ ′ ( s ) ∥ γ ′ ( s ) − T j + ∥ ≤ ε j ( ρ ) \lVert\gamma'(s)-T^{+}_j\rVert\le\varepsilon_j(\rho) ∥ γ ′ ( s ) − T j + ∥ ≤ ε j ( ρ ) α = π / 4 \alpha=\pi/4 α = π /4 ∥ γ ′ ( s ) − T j − ∥ ≤ ε j ( ρ ) \lVert\gamma'(s)-T^{-}_j\rVert\le\varepsilon_j(\rho) ∥ γ ′ ( s ) − T j − ∥ ≤ ε j ( ρ ) α = 5 π / 4 \alpha=5\pi/4 α = 5 π /4 Z j ( Λ ( π / 4 ) ) = T j + Z_j(\Lambda(\pi/4))=T^{+}_j Z j ( Λ ( π /4 )) = T j + Z j ( Λ ( 5 π / 4 ) ) = T j − Z_j(\Lambda(5\pi/4))=T^{-}_j Z j ( Λ ( 5 π /4 )) = T j −
以上によりΨ ( α , ρ ) \Psi(\alpha,\rho) Ψ ( α , ρ ) ρ ↓ 0 \rho\downarrow0 ρ ↓ 0 Z j ( Λ ( α ) ) Z_j(\Lambda(\alpha)) Z j ( Λ ( α )) α \alpha α α ↦ Z j ( Λ ( α ) ) \alpha\mapsto Z_j(\Lambda(\alpha)) α ↦ Z j ( Λ ( α )) Ψ \Psi Ψ R j R_j R j ρ = 0 \rho=0 ρ = 0
R N R_N R N ε N ( ρ ) \varepsilon_N(\rho) ε N ( ρ ) T N − = γ ′ ( L − ) = − u 2 T^{-}_N=\gamma'(L^{-})=-u_2 T N − = γ ′ ( L − ) = − u 2 T N + = γ ′ ( 0 + ) = u 1 T^{+}_N=\gamma'(0^{+})=u_1 T N + = γ ′ ( 0 + ) = u 1 0 < ρ ≤ η 0<\rho\le\eta 0 < ρ ≤ η χ ∈ [ 0 , π / 2 ] \chi\in[0,\pi/2] χ ∈ [ 0 , π /2 ] ( s , t ) = π N ( χ , ρ ) (s,t)=\pi_N(\chi,\rho) ( s , t ) = π N ( χ , ρ ) γ ( L ) = γ ( 0 ) = 0 \gamma(L)=\gamma(0)=0 γ ( L ) = γ ( 0 ) = 0
γ ( t ) − γ ( s ) = ( γ ( L − ρ cos χ ) − γ ( L ) ) − ( γ ( ρ sin χ ) − γ ( 0 ) ) \gamma(t)-\gamma(s)=\bigl(\gamma(L-\rho\cos\chi)-\gamma(L)\bigr)-\bigl(\gamma(\rho\sin\chi)-\gamma(0)\bigr) γ ( t ) − γ ( s ) = ( γ ( L − ρ cos χ ) − γ ( L ) ) − ( γ ( ρ sin χ ) − γ ( 0 ) ) であり、それぞれの差に上と同じ積分の評価を適用すると
γ ( t ) − γ ( s ) ρ = − cos χ γ ′ ( L − ) − sin χ γ ′ ( 0 + ) + r ′ ′ = cos χ u 2 − sin χ u 1 + r ′ ′ , ∥ r ′ ′ ∥ ≤ ε N ( ρ ) \frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{\rho}
=-\cos\chi\,\gamma'(L^{-})-\sin\chi\,\gamma'(0^{+})+r''
=\cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1+r'',\qquad
\lVert r''\rVert\le\varepsilon_N(\rho) ρ γ ( t ) − γ ( s ) = − cos χ γ ′ ( L − ) − sin χ γ ′ ( 0 + ) + r ′′ = cos χ u 2 − sin χ u 1 + r ′′ , ∥ r ′′ ∥ ≤ ε N ( ρ ) である。主要項はχ ∈ [ 0 , π / 2 ] \chi\in[0,\pi/2] χ ∈ [ 0 , π /2 ] χ \chi χ Ψ \Psi Ψ ρ ↓ 0 \rho\downarrow0 ρ ↓ 0 Ψ ( χ , 0 ) \Psi(\chi,0) Ψ ( χ , 0 ) χ \chi χ Ψ \Psi Ψ R N R_N R N ρ = 0 \rho=0 ρ = 0
第三段。持ち上げと三つの増分 。Δ ^ \widehat\Delta Δ [ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [ 0 , 1 ] 2 §E18.5 補題 2.1 を用いて持ち上げを定め、次に§E18.5 補題 3.1 を適用すると、連続写像Ψ ~ : Δ ^ → R \widetilde\Psi\colon\widehat\Delta\to\mathbb{R} Ψ : Δ → R
Ψ = ( cos Ψ ~ , sin Ψ ~ ) \Psi=\bigl(\cos\widetilde\Psi,\ \sin\widetilde\Psi\bigr) Ψ = ( cos Ψ , sin Ψ ) を満たすものが得られる。Δ ^ \widehat\Delta Δ O O O ( s , t ) = ( 0 , 0 ) (s,t)=(0,0) ( s , t ) = ( 0 , 0 ) Q Q Q ( s , t ) = ( L , L ) (s,t)=(L,L) ( s , t ) = ( L , L ) P 0 P_0 P 0 P π / 2 P_{\pi/2} P π /2 R N R_N R N ( χ , ρ ) = ( 0 , 0 ) (\chi,\rho)=(0,0) ( χ , ρ ) = ( 0 , 0 ) ( π / 2 , 0 ) (\pi/2,0) ( π /2 , 0 ) A = Ψ ~ ( O ) A=\widetilde\Psi(O) A = Ψ ( O ) B 0 = Ψ ~ ( P 0 ) B_0=\widetilde\Psi(P_0) B 0 = Ψ ( P 0 ) C = Ψ ~ ( P π / 2 ) C=\widetilde\Psi(P_{\pi/2}) C = Ψ ( P π /2 ) E = Ψ ~ ( Q ) E=\widetilde\Psi(Q) E = Ψ ( Q ) Ψ ~ \widetilde\Psi Ψ Δ ^ \widehat\Delta Δ
対角線 。Δ ^ \widehat\Delta Δ O O O Q Q Q Γ \Gamma Γ { ( s , s ) } \{(s,s)\} {( s , s )} R j R_j R j 1 ≤ j ≤ N − 1 1\le j\le N-1 1 ≤ j ≤ N − 1 α = 5 π / 4 \alpha=5\pi/4 α = 5 π /4 ρ \rho ρ η \eta η 0 0 0 ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 α \alpha α 5 π / 4 5\pi/4 5 π /4 π / 4 \pi/4 π /4 α = π / 4 \alpha=\pi/4 α = π /4 ρ \rho ρ 0 0 0 η \eta η s s s π j ( 5 π / 4 , ρ ) = ( s j − ρ / 2 , s j − ρ / 2 ) \pi_j(5\pi/4,\rho)=(s_j-\rho/\sqrt2,\ s_j-\rho/\sqrt2) π j ( 5 π /4 , ρ ) = ( s j − ρ / 2 , s j − ρ / 2 ) π j ( π / 4 , ρ ) = ( s j + ρ / 2 , s j + ρ / 2 ) \pi_j(\pi/4,\rho)=(s_j+\rho/\sqrt2,\ s_j+\rho/\sqrt2) π j ( π /4 , ρ ) = ( s j + ρ / 2 , s j + ρ / 2 ) Γ \Gamma Γ s s s 0 0 0 L L L Ψ = γ ′ ( s ) \Psi=\gamma'(s) Ψ = γ ′ ( s )
Γ \Gamma Γ [ s j − 1 , s j ] [s_{j-1},s_j] [ s j − 1 , s j ] Ψ = γ ′ ( s ) \Psi=\gamma'(s) Ψ = γ ′ ( s ) 定義 3.4 のφ j \varphi_j φ j φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) \varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1}) φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) R j R_j R j ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 Λ \Lambda Λ 5 π / 4 5\pi/4 5 π /4 π / 4 \pi/4 π /4 0 0 0 1 1 1 Ψ \Psi Ψ Z j ( μ ) Z_j(\mu) Z j ( μ ) μ \mu μ 0 0 0 1 1 1 Z j ∘ Λ Z_j\circ\Lambda Z j ∘ Λ Z j Z_j Z j Λ \Lambda Λ Z j Z_j Z j 補題 3.3 (2) によりその値はθ j \theta_j θ j
E − A = ∑ j = 1 N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + ∑ j = 1 N − 1 θ j E-A=\sum_{j=1}^{N}\bigl(\varphi_j(s_j)-\varphi_j(s_{j-1})\bigr)+\sum_{j=1}^{N-1}\theta_j E − A = j = 1 ∑ N ( φ j ( s j ) − φ j ( s j − 1 ) ) + j = 1 ∑ N − 1 θ j であり、定義 3.4 により
2 π ι ( γ ) = ( E − A ) + θ N 2\pi\,\iota(\gamma)=(E-A)+\theta_N 2 π ι ( γ ) = ( E − A ) + θ N である。示すべきことは( E − A ) + θ N = 2 π (E-A)+\theta_N=2\pi ( E − A ) + θ N = 2 π
辺s = 0 s=0 s = 0 。O O O P 0 P_0 P 0 { ( 0 , t ) : 0 ≤ t ≤ L − η } \{(0,t):0\le t\le L-\eta\} {( 0 , t ) : 0 ≤ t ≤ L − η } R N R_N R N χ = 0 \chi=0 χ = 0 ρ \rho ρ η \eta η 0 0 0 t = L − ρ t=L-\rho t = L − ρ L − η L-\eta L − η L L L t t t 0 0 0 L L L 0 < t < L 0<t<L 0 < t < L
Ψ = γ ( t ) − γ ( 0 ) ∥ γ ( t ) − γ ( 0 ) ∥ \Psi=\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{\lVert\gamma(t)-\gamma(0)\rVert} Ψ = ∥ γ ( t ) − γ ( 0 )∥ γ ( t ) − γ ( 0 ) であり、γ 2 ≥ 0 \gamma_2\ge0 γ 2 ≥ 0 γ 2 ( 0 ) = 0 \gamma_2(0)=0 γ 2 ( 0 ) = 0 Ψ ( O ) = γ ′ ( 0 + ) = u 1 \Psi(O)=\gamma'(0^{+})=u_1 Ψ ( O ) = γ ′ ( 0 + ) = u 1 a 1 ∈ [ 0 , π ] a_1\in[0,\pi] a 1 ∈ [ 0 , π ] Ψ ( P 0 ) = u 2 \Psi(P_0)=u_2 Ψ ( P 0 ) = u 2 a 2 ∈ [ 0 , π ] a_2\in[0,\pi] a 2 ∈ [ 0 , π ] Ψ \Psi Ψ
閉じた上半円周に値を取る連続写像の持ち上げの像は、互いに交わらない閉区間の族{ [ 2 π k , 2 π k + π ] } k ∈ Z \bigl\{[2\pi k,2\pi k+\pi]\bigr\}_{k\in\mathbb{Z}} { [ 2 π k , 2 π k + π ] } k ∈ Z k k k A = 2 π k + a 1 A=2\pi k+a_1 A = 2 π k + a 1 B 0 = 2 π k + a 2 B_0=2\pi k+a_2 B 0 = 2 π k + a 2
B 0 − A = a 2 − a 1 B_0-A=a_2-a_1 B 0 − A = a 2 − a 1 である。
膨らませた線分ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 。この線分ではΨ ( χ , 0 ) \Psi(\chi,0) Ψ ( χ , 0 ) cos χ u 2 − sin χ u 1 \cos\chi\,u_2-\sin\chi\,u_1 cos χ u 2 − sin χ u 1 cos χ \cos\chi cos χ sin χ \sin\chi sin χ χ ∈ [ 0 , π / 2 ] \chi\in[0,\pi/2] χ ∈ [ 0 , π /2 ] 補題 3.3 (3) をw 0 = u 2 w_0=u_2 w 0 = u 2 w 1 = − u 1 w_1=-u_1 w 1 = − u 1 c 0 = cos χ c_0=\cos\chi c 0 = cos χ c 1 = sin χ c_1=\sin\chi c 1 = sin χ Ψ ( χ , 0 ) = Z ( μ ) \Psi(\chi,0)=Z(\mu) Ψ ( χ , 0 ) = Z ( μ ) μ = sin χ / ( cos χ + sin χ ) \mu=\sin\chi/(\cos\chi+\sin\chi) μ = sin χ / ( cos χ + sin χ ) χ ↦ μ \chi\mapsto\mu χ ↦ μ [ 0 , π / 2 ] [0,\pi/2] [ 0 , π /2 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] Z Z Z
u 2 u_2 u 2 a 2 a_2 a 2 − u 1 -u_1 − u 1 a 1 + π a_1+\pi a 1 + π 補題 4.1 (2) とa 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a_1,a_2\in[0,\pi] a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ]
0 ≤ a 1 + π − a 2 < π 0\le a_1+\pi-a_2<\pi 0 ≤ a 1 + π − a 2 < π である。すなわちu 2 u_2 u 2 − u 1 -u_1 − u 1 定義 3.2 の意味の符号つき角は( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π ) a 1 + π − a 2 a_1+\pi-a_2 a 1 + π − a 2 補題 4.1 (3) によりこれはθ N \theta_N θ N 補題 3.3 (2) により
C − B 0 = a 1 + π − a 2 = θ N C-B_0=a_1+\pi-a_2=\theta_N C − B 0 = a 1 + π − a 2 = θ N である。
辺t = L t=L t = L 。P π / 2 P_{\pi/2} P π /2 Q Q Q R N R_N R N χ = π / 2 \chi=\pi/2 χ = π /2 ρ \rho ρ 0 0 0 η \eta η s = ρ s=\rho s = ρ 0 0 0 η \eta η { ( s , L ) : η ≤ s ≤ L } \{(s,L):\eta\le s\le L\} {( s , L ) : η ≤ s ≤ L } s s s 0 0 0 L L L 0 < s < L 0<s<L 0 < s < L γ ( L ) = γ ( 0 ) \gamma(L)=\gamma(0) γ ( L ) = γ ( 0 )
Ψ ( s , L ) = γ ( L ) − γ ( s ) ∥ γ ( L ) − γ ( s ) ∥ = − γ ( s ) − γ ( 0 ) ∥ γ ( s ) − γ ( 0 ) ∥ = − Ψ ( 0 , s ) \Psi(s,L)=\frac{\gamma(L)-\gamma(s)}{\lVert\gamma(L)-\gamma(s)\rVert}=-\frac{\gamma(s)-\gamma(0)}{\lVert\gamma(s)-\gamma(0)\rVert}=-\Psi(0,s) Ψ ( s , L ) = ∥ γ ( L ) − γ ( s )∥ γ ( L ) − γ ( s ) = − ∥ γ ( s ) − γ ( 0 )∥ γ ( s ) − γ ( 0 ) = − Ψ ( 0 , s ) である。端点でもΨ ( P π / 2 ) = − u 1 = − Ψ ( O ) \Psi(P_{\pi/2})=-u_1=-\Psi(O) Ψ ( P π /2 ) = − u 1 = − Ψ ( O ) Ψ ( Q ) = γ ′ ( L − ) = − u 2 = − Ψ ( P 0 ) \Psi(Q)=\gamma'(L^{-})=-u_2=-\Psi(P_0) Ψ ( Q ) = γ ′ ( L − ) = − u 2 = − Ψ ( P 0 ) P π / 2 P_{\pi/2} P π /2 Q Q Q s s s 0 0 0 L L L O O O P 0 P_0 P 0 t t t 0 0 0 L L L f , g : [ 0 , L ] → S 1 f,g\colon[0,L]\to S^1 f , g : [ 0 , L ] → S 1 g = − f g=-f g = − f f ~ , g ~ \widetilde f,\widetilde g f , g g ~ − f ~ − π \widetilde g-\widetilde f-\pi g − f − π 2 π Z 2\pi\mathbb{Z} 2 π Z
E − C = B 0 − A = a 2 − a 1 E-C=B_0-A=a_2-a_1 E − C = B 0 − A = a 2 − a 1 である。
総和 。三つを合わせると
E − A = ( B 0 − A ) + ( C − B 0 ) + ( E − C ) = ( a 2 − a 1 ) + θ N + ( a 2 − a 1 ) = 2 ( a 2 − a 1 ) + θ N E-A=(B_0-A)+(C-B_0)+(E-C)=(a_2-a_1)+\theta_N+(a_2-a_1)=2(a_2-a_1)+\theta_N E − A = ( B 0 − A ) + ( C − B 0 ) + ( E − C ) = ( a 2 − a 1 ) + θ N + ( a 2 − a 1 ) = 2 ( a 2 − a 1 ) + θ N である。θ N = a 1 − a 2 + π \theta_N=a_1-a_2+\pi θ N = a 1 − a 2 + π
E − A = 2 ( a 2 − a 1 ) + ( a 1 − a 2 + π ) = ( a 2 − a 1 ) + π E-A=2(a_2-a_1)+(a_1-a_2+\pi)=(a_2-a_1)+\pi E − A = 2 ( a 2 − a 1 ) + ( a 1 − a 2 + π ) = ( a 2 − a 1 ) + π であり
2 π ι ( γ ) = ( E − A ) + θ N = ( a 2 − a 1 ) + π + ( a 1 − a 2 + π ) = 2 π 2\pi\,\iota(\gamma)=(E-A)+\theta_N=(a_2-a_1)+\pi+(a_1-a_2+\pi)=2\pi 2 π ι ( γ ) = ( E − A ) + θ N = ( a 2 − a 1 ) + π + ( a 1 − a 2 + π ) = 2 π である。したがってι ( γ ) = 1 \iota(\gamma)=1 ι ( γ ) = 1 ▨
8 例 例 8.1 (三角形の回転指数). R 2 \mathbb{R}^2 R 2 A = ( 0 , 0 ) A=(0,0) A = ( 0 , 0 ) B = ( 1 , 0 ) B=(1,0) B = ( 1 , 0 ) C = ( 0 , 1 ) C=(0,1) C = ( 0 , 1 ) D D D A → B → C → A A\to B\to C\to A A → B → C → A
T A B = ( 1 , 0 ) , T B C = 1 2 ( − 1 , 1 ) , T C A = ( 0 , − 1 ) T_{AB}=(1,0),\qquad
T_{BC}=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1),\qquad
T_{CA}=(0,-1) T A B = ( 1 , 0 ) , T B C = 2 1 ( − 1 , 1 ) , T C A = ( 0 , − 1 ) である。定ベクトルであるから、各弧に沿う偏角の増分は0 0 0 0 0 0
外角を定義 3.2 に従って計算する。J ( a , b ) = ( − b , a ) J(a,b)=(-b,a) J ( a , b ) = ( − b , a ) B B B T − = T A B = ( 1 , 0 ) T^-=T_{AB}=(1,0) T − = T A B = ( 1 , 0 ) T + = T B C T^+=T_{BC} T + = T B C
cos θ B = ⟨ ( 1 , 0 ) , 1 2 ( − 1 , 1 ) ⟩ = − 1 2 , sin θ B = ⟨ J ( 1 , 0 ) , 1 2 ( − 1 , 1 ) ⟩ = ⟨ ( 0 , 1 ) , 1 2 ( − 1 , 1 ) ⟩ = 1 2 \cos\theta_B=\langle(1,0),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)\rangle=-\frac{1}{\sqrt2},\qquad
\sin\theta_B=\langle J(1,0),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)\rangle=\langle(0,1),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)\rangle=\frac{1}{\sqrt2} cos θ B = ⟨( 1 , 0 ) , 2 1 ( − 1 , 1 )⟩ = − 2 1 , sin θ B = ⟨ J ( 1 , 0 ) , 2 1 ( − 1 , 1 )⟩ = ⟨( 0 , 1 ) , 2 1 ( − 1 , 1 )⟩ = 2 1 であるからθ B = 3 π / 4 \theta_B=3\pi/4 θ B = 3 π /4 C C C T − = T B C T^-=T_{BC} T − = T B C T + = T C A = ( 0 , − 1 ) T^+=T_{CA}=(0,-1) T + = T C A = ( 0 , − 1 )
cos θ C = ⟨ 1 2 ( − 1 , 1 ) , ( 0 , − 1 ) ⟩ = − 1 2 , sin θ C = ⟨ 1 2 ( − 1 , − 1 ) , ( 0 , − 1 ) ⟩ = 1 2 \cos\theta_C=\langle\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1),\ (0,-1)\rangle=-\frac{1}{\sqrt2},\qquad
\sin\theta_C=\langle\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,-1),\ (0,-1)\rangle=\frac{1}{\sqrt2} cos θ C = ⟨ 2 1 ( − 1 , 1 ) , ( 0 , − 1 )⟩ = − 2 1 , sin θ C = ⟨ 2 1 ( − 1 , − 1 ) , ( 0 , − 1 )⟩ = 2 1 であるからθ C = 3 π / 4 \theta_C=3\pi/4 θ C = 3 π /4 A A A T − = T C A = ( 0 , − 1 ) T^-=T_{CA}=(0,-1) T − = T C A = ( 0 , − 1 ) T + = T A B = ( 1 , 0 ) T^+=T_{AB}=(1,0) T + = T A B = ( 1 , 0 )
cos θ A = ⟨ ( 0 , − 1 ) , ( 1 , 0 ) ⟩ = 0 , sin θ A = ⟨ J ( 0 , − 1 ) , ( 1 , 0 ) ⟩ = ⟨ ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) ⟩ = 1 \cos\theta_A=\langle(0,-1),(1,0)\rangle=0,\qquad
\sin\theta_A=\langle J(0,-1),\ (1,0)\rangle=\langle(1,0),(1,0)\rangle=1 cos θ A = ⟨( 0 , − 1 ) , ( 1 , 0 )⟩ = 0 , sin θ A = ⟨ J ( 0 , − 1 ) , ( 1 , 0 )⟩ = ⟨( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 )⟩ = 1 であるからθ A = π / 2 \theta_A=\pi/2 θ A = π /2
θ A + θ B + θ C = π 2 + 3 π 4 + 3 π 4 = 2 π \theta_A+\theta_B+\theta_C=\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=2\pi θ A + θ B + θ C = 2 π + 4 3 π + 4 3 π = 2 π であり、定義 3.4 によりι = 1 2 π ( 0 + 2 π ) = 1 \iota=\frac{1}{2\pi}(0+2\pi)=1 ι = 2 π 1 ( 0 + 2 π ) = 1 定理 7.1 と一致する。
外角と内角の関係も確かめることができる。三角形の内角はA A A π / 2 \pi/2 π /2 B B B π / 4 \pi/4 π /4 C C C π / 4 \pi/4 π /4 + + + = π =\pi = π π \pi π 2 π 2\pi 2 π
例 8.2 (三角形で回転定理の証明を追う). 例 8.1 の三角形について、定理 7.1 の証明に現れる量を実際に計算する。弧長で径数づけ、γ 2 \gamma_2 γ 2 B = ( 1 , 0 ) B=(1,0) B = ( 1 , 0 ) L = 2 + 2 L=2+\sqrt2 L = 2 + 2 s 1 = 2 s_1=\sqrt2 s 1 = 2 C C C s 2 = 2 + 1 s_2=\sqrt2+1 s 2 = 2 + 1 A A A s 3 = L s_3=L s 3 = L B B B γ ( 0 ) = 0 \gamma(0)=0 γ ( 0 ) = 0 γ 2 ≥ 0 \gamma_2\ge0 γ 2 ≥ 0
支持点の補題の値 。u 1 = γ ′ ( 0 + ) = T B C = 1 2 ( − 1 , 1 ) u_1=\gamma'(0^{+})=T_{BC}=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1) u 1 = γ ′ ( 0 + ) = T B C = 2 1 ( − 1 , 1 ) u 2 = − γ ′ ( 0 − ) = − T A B = ( − 1 , 0 ) u_2=-\gamma'(0^{-})=-T_{AB}=(-1,0) u 2 = − γ ′ ( 0 − ) = − T A B = ( − 1 , 0 ) a 1 = 3 π / 4 a_1=3\pi/4 a 1 = 3 π /4 a 2 = π a_2=\pi a 2 = π a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a_1,a_2\in[0,\pi] a 1 , a 2 ∈ [ 0 , π ] a 1 < a 2 a_1<a_2 a 1 < a 2 補題 4.1 (3) の値は
θ 3 = a 1 − a 2 + π = 3 π 4 \theta_3=a_1-a_2+\pi=\frac{3\pi}{4} θ 3 = a 1 − a 2 + π = 4 3 π であって、例 8.1 が頂点B B B
膨らませた線分の上の値 。内部の角s 1 s_1 s 1 C C C T 1 − = T B C T^{-}_1=T_{BC} T 1 − = T B C T 1 + = T C A = ( 0 , − 1 ) T^{+}_1=T_{CA}=(0,-1) T 1 + = T C A = ( 0 , − 1 ) λ \lambda λ Z 1 ( λ ) Z_1(\lambda) Z 1 ( λ )
Z 1 ( 0 ) = 1 2 ( − 1 , 1 ) ( 偏角 3 π 4 ) , Z 1 ( 1 2 ) = 1 4 − 2 2 ( − 1 , 1 − 2 ) ( 偏角 9 π 8 ) , Z 1 ( 1 ) = ( 0 , − 1 ) ( 偏角 3 π 2 ) Z_1(0)=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1)\ \ (\text{偏角}\ \tfrac{3\pi}{4}),\qquad
Z_1\Bigl(\frac12\Bigr)=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt2}}\bigl(-1,\ 1-\sqrt2\bigr)\ \ (\text{偏角}\ \tfrac{9\pi}{8}),\qquad
Z_1(1)=(0,-1)\ \ (\text{偏角}\ \tfrac{3\pi}{2}) Z 1 ( 0 ) = 2 1 ( − 1 , 1 ) ( 偏角 4 3 π ) , Z 1 ( 2 1 ) = 4 − 2 2 1 ( − 1 , 1 − 2 ) ( 偏角 8 9 π ) , Z 1 ( 1 ) = ( 0 , − 1 ) ( 偏角 2 3 π ) であり、三つとも相異なる。この三つは、点( s 1 , s 1 ) (s_1,s_1) ( s 1 , s 1 )
( s , t ) = ( s 1 − ε , s 1 + ε 2 ) , ( s , t ) = ( s 1 − ε , s 1 + ε ) , ( s , t ) = ( s 1 − ε 2 , s 1 + ε ) (s,t)=(s_1-\varepsilon,\ s_1+\varepsilon^2),\qquad
(s,t)=(s_1-\varepsilon,\ s_1+\varepsilon),\qquad
(s,t)=(s_1-\varepsilon^2,\ s_1+\varepsilon) ( s , t ) = ( s 1 − ε , s 1 + ε 2 ) , ( s , t ) = ( s 1 − ε , s 1 + ε ) , ( s , t ) = ( s 1 − ε 2 , s 1 + ε ) に沿う割線の方向の極限である。実際、λ = ( t − s 1 ) / ( t − s ) \lambda=(t-s_1)/(t-s) λ = ( t − s 1 ) / ( t − s ) 0 0 0 1 / 2 1/2 1/2 1 1 1 Δ \Delta Δ Ψ \Psi Ψ ( s 1 , s 1 ) (s_1,s_1) ( s 1 , s 1 ) Ψ ( s 1 , s 1 ) \Psi(s_1,s_1) Ψ ( s 1 , s 1 ) 補題 3.3 (2) により3 π 2 − 3 π 4 = 3 π 4 \frac{3\pi}{2}-\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} 2 3 π − 4 3 π = 4 3 π C C C θ 1 \theta_1 θ 1 s 2 s_2 s 2 A A A θ 2 = π / 2 \theta_2=\pi/2 θ 2 = π /2
三つの増分 。各辺の上で単位接ベクトルは定ベクトルであるから、弧に沿う増分はすべて0 0 0
E − A = 0 + ( θ 1 + θ 2 ) = 3 π 4 + π 2 = 5 π 4 E-A=0+(\theta_1+\theta_2)=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4} E − A = 0 + ( θ 1 + θ 2 ) = 4 3 π + 2 π = 4 5 π である。境界の三つの弧に沿う値でも同じ量が得られる。B 0 − A = a 2 − a 1 = π / 4 B_0-A=a_2-a_1=\pi/4 B 0 − A = a 2 − a 1 = π /4 C − B 0 = θ 3 = 3 π / 4 C-B_0=\theta_3=3\pi/4 C − B 0 = θ 3 = 3 π /4 E − C = a 2 − a 1 = π / 4 E-C=a_2-a_1=\pi/4 E − C = a 2 − a 1 = π /4 π / 4 + 3 π / 4 + π / 4 = 5 π / 4 \pi/4+3\pi/4+\pi/4=5\pi/4 π /4 + 3 π /4 + π /4 = 5 π /4
2 π ι ( γ ) = ( E − A ) + θ 3 = 5 π 4 + 3 π 4 = 2 π 2\pi\,\iota(\gamma)=(E-A)+\theta_3=\frac{5\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=2\pi 2 π ι ( γ ) = ( E − A ) + θ 3 = 4 5 π + 4 3 π = 2 π であり、+ 2 π +2\pi + 2 π 補題 4.1 (2) がa 2 < a 1 a_2<a_1 a 2 < a 1 − 2 π -2\pi − 2 π
例 8.3 (円と、向きを反転した円). 半径r > 0 r>0 r > 0 γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) \gamma(t)=(r\cos t,\ r\sin t) γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t\le2\pi 0 ≤ t ≤ 2 π T ( t ) = ( − sin t , cos t ) T(t)=(-\sin t,\cos t) T ( t ) = ( − sin t , cos t ) φ ( t ) = t + π / 2 \varphi(t)=t+\pi/2 φ ( t ) = t + π /2 2 π 2\pi 2 π 0 0 0 ι ( γ ) = 1 \iota(\gamma)=1 ι ( γ ) = 1 J T ( t ) = ( − cos t , − sin t ) JT(t)=(-\cos t,-\sin t) J T ( t ) = ( − cos t , − sin t )
向きを反転してγ ~ ( t ) = γ ( − t ) \widetilde\gamma(t)=\gamma(-t) γ ( t ) = γ ( − t ) T ~ ( t ) = ( − sin t , − cos t ) \widetilde T(t)=(-\sin t,-\cos t) T ( t ) = ( − sin t , − cos t ) − t − π / 2 -t-\pi/2 − t − π /2 − 2 π -2\pi − 2 π ι ( γ ~ ) = − 1 \iota(\widetilde\gamma)=-1 ι ( γ ) = − 1 定理 7.1 が向きの指定を含むことは省くことができない。
単位速度に取り直すとκ s ≡ 1 / r \kappa_s\equiv1/r κ s ≡ 1/ r 補題 2.2 により
∫ 0 2 π r κ s d s = 1 r ⋅ 2 π r = 2 π \int_0^{2\pi r}\kappa_s\,ds=\frac{1}{r}\cdot2\pi r=2\pi ∫ 0 2 π r κ s d s = r 1 ⋅ 2 π r = 2 π である。反転した向きでは命題 1.2 (2) によりκ s ≡ − 1 / r \kappa_s\equiv-1/r κ s ≡ − 1/ r − 2 π -2\pi − 2 π
例 8.4 (単純でない閉曲線). γ ( t ) = ( sin 2 t , sin t ) \gamma(t)=(\sin2t,\ \sin t) γ ( t ) = ( sin 2 t , sin t ) 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t\le2\pi 0 ≤ t ≤ 2 π γ ( 0 ) = γ ( π ) = γ ( 2 π ) = ( 0 , 0 ) \gamma(0)=\gamma(\pi)=\gamma(2\pi)=(0,0) γ ( 0 ) = γ ( π ) = γ ( 2 π ) = ( 0 , 0 ) γ ′ ( t ) = ( 2 cos 2 t , cos t ) \gamma'(t)=(2\cos2t,\ \cos t) γ ′ ( t ) = ( 2 cos 2 t , cos t ) cos t = 0 \cos t=0 cos t = 0 cos 2 t = − 1 \cos2t=-1 cos 2 t = − 1 γ ′ ( t ) ≠ 0 \gamma'(t)\ne0 γ ′ ( t ) = 0 γ \gamma γ ι ( γ ) = 0 \iota(\gamma)=0 ι ( γ ) = 0 T ( t ) T(t) T ( t ) T ( t + π ) T(t+\pi) T ( t + π )
γ ′ ( t + π ) = ( 2 cos ( 2 t + 2 π ) , cos ( t + π ) ) = ( 2 cos 2 t , − cos t ) \gamma'(t+\pi)=(2\cos(2t+2\pi),\ \cos(t+\pi))=(2\cos2t,\ -\cos t) γ ′ ( t + π ) = ( 2 cos ( 2 t + 2 π ) , cos ( t + π )) = ( 2 cos 2 t , − cos t ) の正規化であるから、T T T π \pi π t ↦ t + π t\mapsto t+\pi t ↦ t + π φ ( π ) − φ ( 0 ) \varphi(\pi)-\varphi(0) φ ( π ) − φ ( 0 ) φ ( 2 π ) − φ ( π ) \varphi(2\pi)-\varphi(\pi) φ ( 2 π ) − φ ( π ) 0 0 0
9 第一基本形式で測った角への置き換え 定理 7.1 は、パラメータ平面の Euclid 内積で測った偏角についての主張である。次の記事が必要とするのは、曲面の第一基本形式で測った角についての同じ主張である。二つは同じ量ではない。偏角の増分も外角の値も、角をどの内積で測るかによって変わる。この隔たりを埋めるのが次の命題である。
定義 9.1. U ⊆ R 2 U\subseteq\mathbb{R}^2 U ⊆ R 2 g g g U U U C ∞ C^\infty C ∞ q ∈ U q\in U q ∈ U R 2 \mathbb{R}^2 R 2 g q g_q g q q q q C ∞ C^\infty C ∞ γ : [ a , b ] → U \gamma\colon[a,b]\to U γ : [ a , b ] → U
各点q ∈ U q\in U q ∈ U g q g_q g q ( ε 1 , ε 2 ) (\varepsilon_1,\varepsilon_2) ( ε 1 , ε 2 )
f 1 ( q ) = ε 1 g q ( ε 1 , ε 1 ) , f 2 ( q ) = ε 2 − g q ( ε 2 , f 1 ( q ) ) f 1 ( q ) ∥ ε 2 − g q ( ε 2 , f 1 ( q ) ) f 1 ( q ) ∥ g q f_1(q)=\frac{\varepsilon_1}{\sqrt{g_q(\varepsilon_1,\varepsilon_1)}},\qquad
f_2(q)=\frac{\varepsilon_2-g_q(\varepsilon_2,f_1(q))\,f_1(q)}{\bigl\lVert\varepsilon_2-g_q(\varepsilon_2,f_1(q))\,f_1(q)\bigr\rVert_{g_q}} f 1 ( q ) = g q ( ε 1 , ε 1 ) ε 1 , f 2 ( q ) = ε 2 − g q ( ε 2 , f 1 ( q )) f 1 ( q ) g q ε 2 − g q ( ε 2 , f 1 ( q )) f 1 ( q ) と置くと、( f 1 ( q ) , f 2 ( q ) ) (f_1(q),f_2(q)) ( f 1 ( q ) , f 2 ( q )) g q g_q g q q q q C ∞ C^\infty C ∞ w w w g g g angle with respect to a metric )
w ∥ w ∥ g q = cos α f 1 ( q ) + sin α f 2 ( q ) \frac{w}{\lVert w\rVert_{g_q}}=\cos\alpha\,f_1(q)+\sin\alpha\,f_2(q) ∥ w ∥ g q w = cos α f 1 ( q ) + sin α f 2 ( q ) を満たすα \alpha α 補題 2.1 、定義 3.2 、定義 3.4 をそのままg g g ι g ( γ ) \iota_g(\gamma) ι g ( γ ) δ \delta δ f 1 = ε 1 f_1=\varepsilon_1 f 1 = ε 1 f 2 = ε 2 f_2=\varepsilon_2 f 2 = ε 2 ι δ ( γ ) = ι ( γ ) \iota_\delta(\gamma)=\iota(\gamma) ι δ ( γ ) = ι ( γ )
命題 9.2. U ⊆ R 2 U\subseteq\mathbb{R}^2 U ⊆ R 2 g g g U U U C ∞ C^\infty C ∞ γ : [ a , b ] → U \gamma\colon[a,b]\to U γ : [ a , b ] → U γ \gamma γ g g g g g g ( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π )
ι g ( γ ) = ι ( γ ) \iota_g(\gamma)=\iota(\gamma) ι g ( γ ) = ι ( γ ) が成り立つ。とくにγ \gamma γ 定理 7.1 の仮定を満たすならばι g ( γ ) = 1 \iota_g(\gamma)=1 ι g ( γ ) = 1
証明. t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t ∈ [ 0 , 1 ]
g t = ( 1 − t ) g + t δ g_t=(1-t)\,g+t\,\delta g t = ( 1 − t ) g + t δ と置く。ここでδ \delta δ q ∈ U q\in U q ∈ U w ∈ R 2 w\in\mathbb{R}^2 w ∈ R 2
( g t ) q ( w , w ) = ( 1 − t ) g q ( w , w ) + t δ ( w , w ) > 0 (g_t)_q(w,w)=(1-t)\,g_q(w,w)+t\,\delta(w,w)>0 ( g t ) q ( w , w ) = ( 1 − t ) g q ( w , w ) + t δ ( w , w ) > 0 であるから、( g t ) q (g_t)_q ( g t ) q t t t q q q C ∞ C^\infty C ∞ g 0 = g g_0=g g 0 = g g 1 = δ g_1=\delta g 1 = δ
各t t t 定義 9.1 の Gram–Schmidt 直交化をg t g_t g t ( f 1 t , f 2 t ) (f_1^t,f_2^t) ( f 1 t , f 2 t ) g t g_t g t f i t ( q ) f_i^t(q) f i t ( q ) ( t , q ) (t,q) ( t , q )
F ( t ) = ι g t ( γ ) F(t)=\iota_{g_t}(\gamma) F ( t ) = ι g t ( γ ) F F F [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 2 π 2\pi 2 π
弧に沿う増分については次のように見る。各弧[ t j − 1 , t j ] [t_{j-1},t_j] [ t j − 1 , t j ] g t g_t g t
w t ( u ) = γ ′ ( u ) ∥ γ ′ ( u ) ∥ ( g t ) γ ( u ) w_t(u)=\frac{\gamma'(u)}{\lVert\gamma'(u)\rVert_{(g_t)_{\gamma(u)}}} w t ( u ) = ∥ γ ′ ( u ) ∥ ( g t ) γ ( u ) γ ′ ( u ) を標構( f 1 t , f 2 t ) (f_1^t,f_2^t) ( f 1 t , f 2 t )
W ( t , u ) = ( ( g t ) γ ( u ) ( w t ( u ) , f 1 t ( γ ( u ) ) ) , ( g t ) γ ( u ) ( w t ( u ) , f 2 t ( γ ( u ) ) ) ) ∈ S 1 W(t,u)=\Bigl(\ (g_t)_{\gamma(u)}\bigl(w_t(u),f_1^t(\gamma(u))\bigr),\ \ (g_t)_{\gamma(u)}\bigl(w_t(u),f_2^t(\gamma(u))\bigr)\ \Bigr)\in S^1 W ( t , u ) = ( ( g t ) γ ( u ) ( w t ( u ) , f 1 t ( γ ( u )) ) , ( g t ) γ ( u ) ( w t ( u ) , f 2 t ( γ ( u )) ) ) ∈ S 1 は( t , u ) (t,u) ( t , u ) W W W [ 0 , 1 ] × [ t j − 1 , t j ] [0,1]\times[t_{j-1},t_j] [ 0 , 1 ] × [ t j − 1 , t j ] §E18.5 補題 3.1 によってR \mathbb{R} R
Δ j ( t ) = W ~ ( t , t j ) − W ~ ( t , t j − 1 ) \Delta_j(t)=\widetilde W(t,t_j)-\widetilde W(t,t_{j-1}) Δ j ( t ) = W ( t , t j ) − W ( t , t j − 1 ) はt t t
外角については次のように見る。t j t_j t j g t g_t g t θ j ( t ) \theta_j(t) θ j ( t )
cos θ j ( t ) = ( g t ) ( T j − ^ , T j + ^ ) , sin θ j ( t ) = ( g t ) ( J t T j − ^ , T j + ^ ) \cos\theta_j(t)=(g_t)\bigl(\widehat{T^-_j},\widehat{T^+_j}\bigr),\qquad
\sin\theta_j(t)=(g_t)\bigl(\widehat{J_t T^-_j},\widehat{T^+_j}\bigr) cos θ j ( t ) = ( g t ) ( T j − , T j + ) , sin θ j ( t ) = ( g t ) ( J t T j − , T j + ) で定まる。ここで ^ \widehat{\ } g t g_t g t J t J_t J t ( f 1 t , f 2 t ) (f_1^t,f_2^t) ( f 1 t , f 2 t ) t t t cos θ j ( t ) ≠ − 1 \cos\theta_j(t)\ne-1 cos θ j ( t ) = − 1 t = 0 t=0 t = 0 t = 1 t=1 t = 1 cos θ j ( t ) = − 1 \cos\theta_j(t)=-1 cos θ j ( t ) = − 1 t t t g t g_t g t cos θ j ( t ) = − 1 \cos\theta_j(t)=-1 cos θ j ( t ) = − 1 T j + ^ = − T j − ^ \widehat{T^+_j}=-\widehat{T^-_j} T j + = − T j − T j + T^+_j T j + T j − T^-_j T j − t t t t = 0 t=0 t = 0 t = 1 t=1 t = 1 t t t θ j ( t ) ∈ ( − π , π ) \theta_j(t)\in(-\pi,\pi) θ j ( t ) ∈ ( − π , π ) t t t cos θ j \cos\theta_j cos θ j sin θ j \sin\theta_j sin θ j θ j \theta_j θ j t t t
以上により
F ( t ) = 1 2 π ( ∑ j Δ j ( t ) + ∑ j θ j ( t ) ) F(t)=\frac{1}{2\pi}\left(\sum_{j}\Delta_j(t)+\sum_j\theta_j(t)\right) F ( t ) = 2 π 1 ( j ∑ Δ j ( t ) + j ∑ θ j ( t ) ) は[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 命題 3.5 (1) の証明は、内積をg t g_t g t g t g_t g t F F F F ( 0 ) = F ( 1 ) F(0)=F(1) F ( 0 ) = F ( 1 ) ι g ( γ ) = ι δ ( γ ) = ι ( γ ) \iota_g(\gamma)=\iota_\delta(\gamma)=\iota(\gamma) ι g ( γ ) = ι δ ( γ ) = ι ( γ ) ▨
10 演習 問題 10.1.
定理 7.1 の証明では、内部の角の跳びを曲線の側で補間せず、定義域の側で角を膨らませた。曲線の単位接ベクトル場を角の近傍で回転によって補間した連続な場σ \sigma σ Ψ \Psi Ψ σ \sigma σ Ψ \Psi Ψ s j s_j s j 例 8.2 の三点の極限を用いて、前者を具体的に示せ。定理 7.1 の証明で、p N = ( 0 , L ) p_N=(0,L) p N = ( 0 , L ) Ψ \Psi Ψ 補題 5.2 を用いずに三角形のまま議論すると、出発点が角である場合にΨ \Psi Ψ 定理 7.1 の第三段で、出発点γ ( 0 ) \gamma(0) γ ( 0 ) χ = 0 \chi=0 χ = 0 Ψ \Psi Ψ B 0 − A B_0-A B 0 − A 補題 4.1 の証明で、a 2 < a 1 a_2<a_1 a 2 < a 1 V − V_{-} V − D D D 例 8.1 の計算を、三角形の向きを反転した場合について実行せよ。三つの外角の値と回転指数を求め、定理 7.1 の向きの仮定がどこで効いているかを述べよ。命題 3.5 (1) の証明では、単位複素数の積が電話帳式に相殺することを用いた。この相殺が成り立つために、外角の定義においてe i θ j = T j + T j − ‾ e^{i\theta_j}=T^+_j\overline{T^-_j} e i θ j = T j + T j − 定義 3.2 の二つの等式からこの式を導け。命題 9.2 の証明で、g t = ( 1 − t ) g + t δ g_t=(1-t)g+t\delta g t = ( 1 − t ) g + t δ t t t 命題 9.2 の結論を用いずに、第一基本形式で測った外角と Euclid 内積で測った外角が一般に異なることを、具体的な二次形式g = d i a g ( 1 , 4 ) g=\mathrm{diag}(1,4) g = diag ( 1 , 4 ) 例 8.1 の三角形について確かめよ。三つの外角の値が変わり、総和が2 π 2\pi 2 π 例 8.4 の曲線について、回転指数が0 0 0 命題 1.2 (3) により、鏡映で符号つき曲率の符号が変わる。この事実と補題 2.2 を用いて、鏡映によって回転指数の符号が変わることを、滑らかな正則単純閉曲線の場合に示せ。 11 境界と次 Jordan の曲線定理を用いていないこと 。定理 7.1 は、曲線の像が平面を二つに分けることを結論として使わない。領域D D D §E4.22 定義 1.2 の定義に仮定として含まれている。本単元は Jordan の曲線定理と Schoenflies の定理を扱わない。証明で用いたのは、D D D
尖点を扱わないこと 。定義 3.2 はT j − ≠ − T j + T^-_j\ne-T^+_j T j − = − T j + ± π \pm\pi ± π
回転指数が1 1 1 。例 8.4 のとおり、単純でない閉曲線の回転指数は1 1 1 1 1 1
曲線の大域的な性質を扱わないこと 。全曲率に関する定理と四頂点定理は本単元が扱わない範囲である。本記事の符号つき曲率は、平面曲線の局所的な量として導入し、回転指数の積分表示を与えるためだけに用いる。
次の記事へ渡すもの 。定理 7.1 は、局所 Gauss–Bonnet の定理の右辺が2 π 2\pi 2 π 命題 9.2 は、その定理の証明において、パラメータ平面の Euclid 角で成り立つ主張を第一基本形式で測った角へ移すために用いる。この橋渡しを落とすと、境界の外角が二通りの測り方で異なる値を持つまま、証明の鎖が閉じない。定義 1.1 は、平面領域を測地曲率の計算の基準として用いるときに再び現れる。