§E19.3正則曲面・接平面・向き

証明.$d\boldsymbol{x}_q(a,b)=a\,\boldsymbol{x}_u(q)+b\,\boldsymbol{x}_v(q)$であるから、$d\boldsymbol{x}_q$が単射であることと$\boldsymbol{x}_u(q),\boldsymbol{x}_v(q)$が一次独立であることは同値である。

一次従属であるとする。一方が零ベクトルならば§E19.2 補題 1.2 (2)の線形性からベクトル積は零である。ともに零でなければ$\boldsymbol{x}_v(q)=\lambda\boldsymbol{x}_u(q)$と書くことができ、§E19.2 補題 1.2 (2)の線形性と$u\times u=\boldsymbol{0}$からベクトル積は零である。

一次独立であるとする。$w$を$(\boldsymbol{x}_u(q),\boldsymbol{x}_v(q),w)$が$\mathbb{R}^3$の基底になるように取ると、§E19.2 補題 1.2 (1)により

であるから、ベクトル積は零でない。▨

証明.$U$を$2$次元$C^\infty$多様体、$\mathbb{R}^3$を$3$次元$C^\infty$多様体と見る（§E17.1 例 2.4）。§E17.3 命題 5.5により$d\boldsymbol{y}_q$の階数は Jacobi 行列の階数に等しく、はめ込みであることから、$U$の各点で階数は$2$である。とくに$q_0$のある近傍の上で階数は定数$2$である。

§E17.5 定理 3.1を$k=2$として適用すると、$q_0$を含む$U$のチャート$(V,\phi)$と$\boldsymbol{y}(q_0)$を含む$\mathbb{R}^3$のチャート$(W,\psi)$であって、$\boldsymbol{y}(V)\subseteq W$かつ

を満たすものが存在する。$\mathrm{pr}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$を最初の二成分への射影とし、$\pi_0=\mathrm{pr}\circ\psi\colon W\to\mathbb{R}^2$と置くと、上の式から

が成り立つ。

$\Omega=W\cap\pi_0^{-1}\bigl(\phi(V)\bigr)$と置く。$\pi_0$は連続で$\phi(V)$は開であるから$\Omega$は開集合であり、$\pi_0(\boldsymbol{y}(q_0))=\phi(q_0)\in\phi(V)$であるから$\boldsymbol{y}(q_0)\in\Omega$である。同じ理由で$\boldsymbol{y}(V)\subseteq\Omega$である。$U_1=V$と置き、$\pi=\phi^{-1}\circ\pi_0|_{\Omega}$と定める。$\phi^{-1}$は$C^\infty$であるから$\pi$は$C^\infty$であり、$q\in U_1$に対して$\pi(\boldsymbol{y}(q))=\phi^{-1}(\phi(q))=q$である。

最後の主張を示す。$\boldsymbol{y}(q)=\boldsymbol{y}(q')$（$q,q'\in U_1$）ならば$q=\pi(\boldsymbol{y}(q))=\pi(\boldsymbol{y}(q'))=q'$であるから単射である。逆写像は$\boldsymbol{y}(U_1)$の上で$\pi$の制限に一致し、$\pi$は連続であるから、$\boldsymbol{y}|_{U_1}$は像への同相写像である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$p\in M$とし、スライスチャート$(\Omega,\varphi)$を取る。$U=\{a\in\mathbb{R}^2\mid(a,0)\in\varphi(\Omega)\}$と置くと、$a\mapsto(a,0)$は連続で$\varphi(\Omega)$は開であるから$U$は$\mathbb{R}^2$の開集合である。

と定める。$\varphi^{-1}$は$C^\infty$であるから$\boldsymbol{x}$は$C^\infty$である。$d\boldsymbol{x}_a$は、単射線形写像$w\mapsto(w,0)$と線形同型$d(\varphi^{-1})_{(a,0)}$の合成であるから単射である。$\varphi^{-1}$が単射であることから$\boldsymbol{x}$も単射である。像は

であり、これは$M$の開集合であって$p$を含む。逆写像は$\boldsymbol{x}^{-1}=\mathrm{pr}\circ\varphi|_{\Omega\cap M}$であり、連続写像の制限であるから連続である。よって$\boldsymbol{x}$は 2 の条件を満たす。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$p\in M$とし、2 の$\boldsymbol{x}\colon U\to\mathbb{R}^3$を取り、$q_0=\boldsymbol{x}^{-1}(p)$と置く。補題 1.5の証明と同じく§E17.5 定理 3.1を適用して、$q_0$を含む$U$のチャート$(V,\phi)$と$p$を含む$\mathbb{R}^3$のチャート$(W,\psi)$で、$\boldsymbol{x}(V)\subseteq W$かつ

を満たすものを取る。とくに

である。

$\boldsymbol{x}$は像への同相写像であり$V$は開であるから、$\boldsymbol{x}(V)$は$\boldsymbol{x}(U)$の開集合である。仮定より$\boldsymbol{x}(U)$は$M$の開集合であるから、$\boldsymbol{x}(V)$は$M$の開集合であり、$\mathbb{R}^3$の開集合$G$を取って$\boldsymbol{x}(V)=M\cap G$と書くことができる。

と置く。$\psi$は連続であり$\phi(V)\times\mathbb{R}$は$\mathbb{R}^3$の開集合であるから$\Omega$は開集合である。$p\in W$、$p\in\boldsymbol{x}(V)\subseteq G$、$\psi(p)=(\phi(q_0),0)$かつ$\phi(q_0)\in\phi(V)$であるから$p\in\Omega$である。

$(\Omega,\psi|_{\Omega})$がスライスチャートであることを示す。

包含$\psi(\Omega\cap M)\subseteq\psi(\Omega)\cap(\mathbb{R}^2\times\{0\})$を示す。$z\in\Omega\cap M$とすると$z\in G\cap M=\boldsymbol{x}(V)$であるから$\psi(z)\in\phi(V)\times\{0\}\subseteq\mathbb{R}^2\times\{0\}$である。

逆の包含を示す。$y\in\psi(\Omega)\cap(\mathbb{R}^2\times\{0\})$とし、$y=(a,0)$、$y=\psi(z)$（$z\in\Omega$）と書く。$z\in\psi^{-1}(\phi(V)\times\mathbb{R})$であるから$a\in\phi(V)$である。$q=\phi^{-1}(a)\in V$と置くと

であり、$\boldsymbol{x}(q)\in\boldsymbol{x}(V)\subseteq W$、$z\in\Omega\subseteq W$であって$\psi$は$W$の上で単射であるから$z=\boldsymbol{x}(q)\in M$である。よって$z\in\Omega\cap M$であり$y\in\psi(\Omega\cap M)$である。

したがって$\varphi=\psi|_{\Omega}$はスライスチャートを与え、$p$は任意であったから$M$は正則曲面である。▨

証明.(2)は補題 1.5そのものである。(1)を示す。

$q_0\in V$を取り、$p=\boldsymbol{y}(q_0)$と置く。$M$は正則曲面であるから、$p$を含むスライスチャート$(\Omega_M,\varphi)$を取ることができる。定理 1.6 (1)から 2 を導く部分の構成をこのスライスチャートへ適用すると、正則パラメータ表示

が得られ、その像は$\Omega_M\cap M$（$M$の開集合）であり、逆写像は$\boldsymbol{w}^{-1}=\mathrm{pr}\circ\varphi|_{\Omega_M\cap M}$である。

$V_0=\boldsymbol{y}^{-1}(\Omega_M)$と置く。$\boldsymbol{y}$は連続であるから$V_0$は$V$の開集合であり、$q_0\in V_0$である。$F=\mathrm{pr}\circ\varphi\circ\boldsymbol{y}|_{V_0}\colon V_0\to\mathbb{R}^2$と定めると、$\varphi$と$\boldsymbol{y}$が$C^\infty$であるから$F$は$C^\infty$である。$q\in V_0$に対して$\boldsymbol{y}(q)\in\Omega_M\cap M$であるから$\varphi(\boldsymbol{y}(q))\in\mathbb{R}^2\times\{0\}$であり、$\varphi(\boldsymbol{y}(q))=(F(q),0)$と書くことができる。とくに$F(q)\in U_M$であり

が成り立つ。

§E4.3 定理 1.1により$d\boldsymbol{w}_{F(q_0)}\circ dF_{q_0}=d\boldsymbol{y}_{q_0}$である。右辺は単射であるから$dF_{q_0}$は単射であり、$2$次の正方行列であるから可逆である。§E4.7 定理 2.1と§E17.5 補題 1.1により、$q_0$の開近傍$V_2\subseteq V_0$が存在して$F(V_2)$は$\mathbb{R}^2$の開集合であり、$F|_{V_2}$は$F(V_2)$への$C^\infty$微分同相である。

$F(V_2)\subseteq U_M$であるから、$\boldsymbol{w}$が$U_M$から$\Omega_M\cap M$への同相写像であることにより、$\boldsymbol{y}(V_2)=\boldsymbol{w}(F(V_2))$は$\Omega_M\cap M$の開集合である。$\Omega_M\cap M$は$M$の開集合であるから、$\boldsymbol{y}(V_2)$は$M$の開集合であって$p$を含み$\boldsymbol{y}(V)$に含まれる。$q_0$は任意であったから、$\boldsymbol{y}(V)$は$M$の各点の近傍であり、$M$の開集合である。▨

証明.命題 1.7 (1)により$\boldsymbol{y}(V)$は$M$の開集合であるから、$W$は$\boldsymbol{x}(U)$の開集合である。$\boldsymbol{x}$は$U$から$\boldsymbol{x}(U)$への同相写像であるから$\boldsymbol{x}^{-1}(W)$は$U$の開集合である。$\boldsymbol{y}$についても同様である。

$h$は全単射であり、逆写像は$\boldsymbol{x}^{-1}\circ\boldsymbol{y}$である。$\boldsymbol{x}$が連続、$\boldsymbol{y}^{-1}$が$\boldsymbol{y}(V)$の上で連続であるから、$h$は連続である。同じ理由で$h^{-1}$も連続である。

滑らかさを示す。$a_0\in\boldsymbol{x}^{-1}(W)$を取り、$q_0=h(a_0)$と置く。命題 1.7 (2)により、$q_0$の開近傍$U_1\subseteq V$、$\boldsymbol{y}(q_0)$の開近傍$\Omega\subseteq\mathbb{R}^3$、および$C^\infty$写像$\pi\colon\Omega\to\mathbb{R}^2$で$\boldsymbol{y}(U_1)\subseteq\Omega$かつ$\pi\circ\boldsymbol{y}=\mathrm{id}$（$U_1$の上で）を満たすものが存在する。

$h$は連続であるから$A=h^{-1}(U_1)$は$\boldsymbol{x}^{-1}(W)$の開集合であり$a_0\in A$である。$a\in A$に対して$\boldsymbol{x}(a)=\boldsymbol{y}(h(a))$であり$h(a)\in U_1$であるから$\boldsymbol{x}(a)\in\Omega$であり

が成り立つ。すなわち$A$の上で$h=\pi\circ\boldsymbol{x}$である。右辺は$\mathbb{R}^2$の開集合から$\mathbb{R}^3$の開集合を経て$\mathbb{R}^2$へ至る$C^\infty$写像の合成であるから$C^\infty$である。よって$h$は$a_0$の近傍で$C^\infty$であり、$a_0$は任意であったから$C^\infty$である。$\boldsymbol{x}$と$\boldsymbol{y}$を入れ替えると$h^{-1}$も$C^\infty$である。▨

証明.$\boldsymbol{x}$は$C^\infty$である。$\boldsymbol{x}_u=(1,0,f_u)$、$\boldsymbol{x}_v=(0,1,f_v)$であるから

であり、補題 1.4により$\boldsymbol{x}$ははめ込みである。最初の二成分を見れば$\boldsymbol{x}$は単射であり、逆写像は$\mathrm{pr}$の$M$への制限であるから連続である。像は$M$そのものであり、$M$の開集合である。定理 1.6により$M$は正則曲面である。▨

証明.$\Omega$は$\mathbb{R}^3$の開集合であるから$3$次元$C^\infty$多様体であり、$\mathbb{R}$は$1$次元$C^\infty$多様体である。§E17.3 命題 5.5により$df_p$の表示行列は$1\times3$行列$\bigl(\partial_1f(p),\partial_2f(p),\partial_3f(p)\bigr)$であるから、$df_p$が全射であることと$\nabla f(p)\ne\boldsymbol{0}$であることは同値である。よって$c$は$f$の正則値であり、§E17.5 定理 4.3により$M$は$\Omega$の$3-1=2$次元埋め込み部分多様体である。

$\Omega$は$\mathbb{R}^3$の開集合であるから、$\Omega$のチャートは$\mathbb{R}^3$のチャートでもある。したがって$M$に対して$\Omega$の中で取ったスライスチャートは$\mathbb{R}^3$のスライスチャートであり、$M$は$\mathbb{R}^3$の$2$次元埋め込み部分多様体、すなわち正則曲面である。▨

証明.定理 1.6により、$M$の正則パラメータ表示$\boldsymbol{x}\colon U_0\to\mathbb{R}^3$で$p\in\boldsymbol{x}(U_0)$かつ$\boldsymbol{x}(U_0)$が$M$の開集合であるものを取り、$q_0=\boldsymbol{x}^{-1}(p)$と置く。$\boldsymbol{x}$の$q_0$における Jacobi 行列は$3\times2$行列であって階数が$2$であるから、二つの行$i<j$を選んで、その二行からなる$2$次小行列式が零でないようにすることができる。残る番号を$k$と書く。

$P\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$を$P(x)=(x_i,x_j)$とし、$F=P\circ\boldsymbol{x}$と置く。$dF_{q_0}$の表示行列は上の$2$次小行列であるから可逆である。§E4.7 定理 2.1と§E17.5 補題 1.1により、$q_0$の開近傍$U_1\subseteq U_0$が存在して$U=F(U_1)$は開集合であり、$F|_{U_1}\colon U_1\to U$は$C^\infty$微分同相である。その逆写像を$g\colon U\to U_1$と書き、$f(a)=\boldsymbol{x}_k\bigl(g(a)\bigr)$（$\boldsymbol{x}_k$は$\boldsymbol{x}$の第$k$成分）と定める。$f$は$C^\infty$である。

$a\in U$に対して$x=\boldsymbol{x}(g(a))$と置くと$(x_i,x_j)=F(g(a))=a$かつ$x_k=f(a)$である。逆に$x\in\boldsymbol{x}(U_1)$ならば$x=\boldsymbol{x}(q)$（$q\in U_1$）であり、$a=F(q)\in U$、$g(a)=q$であるから$(x_i,x_j)=a$かつ$x_k=f(a)$である。よって$\boldsymbol{x}(U_1)$は主張の$W$に等しい。$U_1$は開であり$\boldsymbol{x}$は像への同相写像であるから、$W=\boldsymbol{x}(U_1)$は$\boldsymbol{x}(U_0)$の開集合であり、したがって$M$の開集合である。$p=\boldsymbol{x}(q_0)\in W$である。▨

証明.$\boldsymbol{x}\colon U\to\mathbb{R}^3$と$\boldsymbol{y}\colon V\to\mathbb{R}^3$を$M$の正則パラメータ表示、$\boldsymbol{x}(q)=\boldsymbol{y}(q')=p$とする。$W=\boldsymbol{x}(U)\cap\boldsymbol{y}(V)$は$p$を含むので空でなく、定理 1.8により$h=\boldsymbol{y}^{-1}\circ\boldsymbol{x}$は$\boldsymbol{x}^{-1}(W)$から$\boldsymbol{y}^{-1}(W)$への$C^\infty$微分同相であり、$h(q)=q'$である。$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\circ h$が$\boldsymbol{x}^{-1}(W)$の上で成り立つので、§E4.3 定理 1.1により

である。$h$は微分同相であるから$dh_q$は$\mathbb{R}^2$の線形同型であり、$dh_q(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2$である。よって

である。▨

証明. 右辺を$S$と書き、$\boldsymbol{x}\colon U\to\mathbb{R}^3$を$\boldsymbol{x}(q)=p$を満たす$M$の正則パラメータ表示とする。

$T_pM\subseteq S$を示す。$w=d\boldsymbol{x}_q(a)\in T_pM$（$a\in\mathbb{R}^2$）とする。$U$は開であるから、$\varepsilon>0$を十分小さく取れば$q+ta\in U$（$\lvert t\rvert<\varepsilon$）である。$\alpha(t)=\boldsymbol{x}(q+ta)$と定めると、$\alpha$は$C^\infty$で像は$\boldsymbol{x}(U)\subseteq M$に含まれ、$\alpha(0)=p$、§E4.3 定理 1.1により$\alpha'(0)=d\boldsymbol{x}_q(a)=w$である。

$S\subseteq T_pM$を示す。$\alpha$を右辺の条件を満たす写像とする。命題 1.7 (2)により、$q$の開近傍$U_1\subseteq U$、$p$の開近傍$\Omega\subseteq\mathbb{R}^3$、および$C^\infty$写像$\pi\colon\Omega\to\mathbb{R}^2$で、$\boldsymbol{x}(U_1)\subseteq\Omega$かつ$U_1$の上で$\pi\circ\boldsymbol{x}=\mathrm{id}$となるものを取る。$\boldsymbol{x}|_{U_1}$も$M$の正則パラメータ表示であるから、命題 1.7 (1)により$\boldsymbol{x}(U_1)$は$M$の開集合であり、$\mathbb{R}^3$の開集合$G$を取って$\boldsymbol{x}(U_1)=M\cap G$と書くことができる。

$\alpha$は連続で$\alpha(0)=p\in G\cap\Omega$であるから、$\varepsilon$を小さく取り直して$\alpha((-\varepsilon,\varepsilon))\subseteq G\cap\Omega$としてよい。このとき$\alpha(t)\in M\cap G=\boldsymbol{x}(U_1)$である。$\beta=\pi\circ\alpha$と置くと$\beta$は$C^\infty$であり、$\alpha(t)=\boldsymbol{x}(q_t)$（$q_t\in U_1$）と書くと$\beta(t)=\pi(\boldsymbol{x}(q_t))=q_t$であるから

が成り立つ。§E4.3 定理 1.1により$\alpha'(0)=d\boldsymbol{x}_{\beta(0)}(\beta'(0))=d\boldsymbol{x}_q(\beta'(0))\in T_pM$である。▨